一類非線性波動方程的新的精確解

劉世杰, 周鈺謙, 皮金鑫

(成都信息工程學院數(shù)學學院,四川成都610225)

0 引言

隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的發(fā)展,越來越多復雜的現(xiàn)象都可以用非線性波動方程來描述。例如流體力學,光電通信,大氣環(huán)流等。因此尋求新的解決問題的方法就勢在必行。近些年來許多行之有效的方法被提出如,sine-cosine展開法[1],齊次平衡法[2],Darbour變換法[3],截斷的Painleve展開法[4],Jacobi橢圓函數(shù)展開法[5],tanh函數(shù)展開方法及其推廣方法[6],雙曲正切函數(shù)展開法[7]等。現(xiàn)在應用較為廣泛的是王明亮提出的(G′/G)展開法[8-11],使用起來簡潔,高效。

文中研究的非線性波動方程[12]

當k=1,q=0時方程變形為著名的Klein-Gordon方程utt-uxx+pu+su3=0.當p=0,q=m2,s=g2時方程變形為著名的Landou-Ginburg-Higgss方程utt-uxx-m2u+g2u3=0.

主要借助改進的(G′/G)展開法[10]來求解方程(1)。首先介紹改進的(G′/G)展開法。

1 預備知識

考慮非線性發(fā)展方程

其中 x,t為自變量,H為u及u的偏導數(shù)的多項式。為了得到方程的(2)的行波解,做一個行波變換u(x,t)=U(ξ),ξ=x+ct則方程可化為

設方程(3)的解的形式為

其中G(ξ)滿足二階常微分方程

由方程(5)易得,當 G′(ξ)≠0時,

2 用改進的(G′/G)方法求解非線性波動方程

首先對方程(1)作行波變換 ξ=x+ct.令 u(x,t)=U(ξ),則方程(1)化為

平衡方程(7)中的最高階導數(shù)項U″與非線性項U3,得到平衡系數(shù)n=1,由方程(4),則可以令方程的解為:

將解(8)帶入方程(7)中,得到方程(7)中的各項為

將(8)、(9)、(10)、(11)式代入方程(7),合并的同類項,并令其同次冪為0。則得到關(guān)于a1,b1,c0,λ,μ的代數(shù)方程組:

利用Maple軟件求解以上代數(shù)方程組,得到關(guān)于a1,b1,c0,λ,μ的幾組解:

為了更好地理解方程解的情況,給出第7組解的數(shù)值模擬圖,不妨令K1=1,K2=2.

圖1 利用Maple軟件得到關(guān)于 a1,b1,c0,λ,μ的第7組解的數(shù)值模擬圖

3 結(jié)論

借用改進的(G′/G)展開法求解了一類非線性方程,得到了7組不同的精確解,并單獨給出了第7組解的數(shù)值模擬圖。加深了對方程解的理解。

致謝:感謝成都信息工程學院科研項目(CSRF20100)對本文的資助

[1] 閆振亞.淺水波近似方程的顯式精確解[J].煙臺大學學報,2000,13(1):8-17.

[2] Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equation[J].Physics Letter A,1995,199:169-172.

[3] 范恩貴.可積系統(tǒng)與計算機代數(shù)[M].北京:北京科學出版社,2004.

[4] Parkes E J,Duffy B R.Traveling solitary wave solution to a compound KdV-Burgers equation[J].Physics Letters A,1997,229:217-220.

[5] 劉式適,付遵濤,劉式達.變系數(shù)非線性方程的Jacobi橢圓函數(shù)展開解[J].物理學報,2002,51:1923.

[6] Parkes E J,Duffy B R.An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations[J].Computer Physics Communication,1996,98:288-300.

[7] 李志斌,張善卿.非線性波方程準確孤立波解的符號計算[J].數(shù)學物理學報,1997,17(1):81-89.

[8] 王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應用[J].蘭州大學學報,1999,98:8-16.

[9] 劉倩,周鈺謙,王法官.長短波相互作用方程的精確行波解[J].四川大學學報(自然科學版),2011:524-528.

[10] 王法官,劉合春.攝動Wadati-Segur-Ablowitz方程的精確行波解[J].成都信息工程學報,2010,25(5):542-546.

[11] 劉合春,王法官.非線性發(fā)展方程的精確解[J].成都信息工程學院學報,2010,25(5):551-556.

[12] 劉煜,范立群.一類非線性波動方程新的顯式精確解[J].河南科技大學學報,2008,12:83-85.