旋轉矢量法的對稱性分析*

尹社會 曹輝

(河南工業職業技術學院 河南 南陽 473009)

旋轉矢量法是直觀研究簡諧振動的幾何方法，在分析簡諧振動的合成駐波[1～3]、受迫振動[4]以及“拍”現象[5]等問題的研究中非常有效.對稱性分析則是貫穿于整個物理學的幾乎所有分支，比如,在力學、電磁學、光學、熱學中的應用等，它在基本粒子物理學中更是必不可少的重要手段之一，甚至在物理實驗中對稱性思維也處處閃爍著睿智的火花，像圓環擺實驗中儀器的設置、物理天平測質量的交換法、橋式電路的平衡分析法等.

本文擬結合振動和波中的問題用旋轉矢量法處理過程做對稱性分析.

1 旋轉矢量法的本質

簡諧振動的運動學方程為

x=Acos(ωt+φ0)

(1)

式(1)中x表示質點偏離平衡位置的位移，A表示簡諧振動的振幅，ω表示簡諧振動的固有角頻率，φ0表示初相位，ωt+φ0表示相位.

下面考慮旋轉矢量.如圖1所示，設在t=0時，矢量A與x軸的夾角為φ0，使矢量A以勻角速度ω繞點O逆時針旋轉，則在任意時刻t，矢量A與x軸的夾角為ωt+φ0，則矢量A末端點M在x軸上投影點的運動方程為

x=Acos(ωt+φ0)

這與簡諧振動的運動學方程具有相同的形式，所以,可以用矢量表示簡諧振動，這種方法就稱為旋轉矢量法.比較波動方程和振動方程會發現，振動方程初相位變為隨著位移而變化的形式就是描述波的傳播形式的波動方程，因此，波動方程也可以采用旋轉矢量法來描述.旋轉矢量法就是指在旋轉矢量與正弦量之間存在著一一對應關系的情況下，用旋轉矢量表示正弦量的一種幾何方法.

圖1 旋轉矢量示意圖

這里矢量旋轉所圍繞的點是坐標原點O，表示簡諧振動的平衡位置，旋轉矢量的長度等于簡諧振動的振幅，旋轉矢量與軸的夾角表示簡諧振動的相位.

2 駐波的旋轉矢量法合成

一般的駐波是由入射波和界面處反射回來的反射波疊加形成的.假設初始時刻，入射波某一波峰位置為坐標原點，一般即為振源所在位置，界面距原點的距離為l，角頻率為ω，入射波振幅為A，反射波振幅為A′，則入射波和反射波方程分別為

y=Acos(ωt-kx)

(2)

y′=A′cos(ωt+kx-2kl-β)

(3)

當A′=A時，由式(2)和式(3)可得到合成波為駐波，其方程為

(4)

若A′≠A，其合成波的表達式就不易用分析法來處理了.至于合成波是否為駐波及其與振幅和二者的初相位之間的關系如何就更難以定論.因此，采用旋轉矢量法是處理這類問題的首選方案.

下面簡單討論幾種情形.

(1)當A′=A，l=λ，β=0時，式(3)可簡化為

y′=Acos(ωt+kx)

(5)

圖2 兩列波合成矢量圖

在t=0時，由矢量圖(圖2)可以直接看出合成波的振幅為2Acoskx，初相位為α=0，駐波方程為

(6)

y′=Acos(ωt+kx-π)

(7)

圖3 兩列波合成矢量圖

(8)

(9)

(10)

圖4 兩列波合成矢量圖

由上述3種情形可以看出，t>0時方程的形式不發生變化，表現在旋轉矢量圖中A沿順時針方向轉動，A′沿逆時針方向轉動，由對稱性可知，合矢量AT方向不變.

(11)

圖5 兩列波合成矢量圖

在t=0時，由矢量圖(圖5)可以直接看出合成波的振幅為

初相位為

駐波方程為

(12)

在上述情形中，t>0時，在旋轉矢量圖中，A沿順時針方向轉動，A′沿逆時針方向轉動，由于對稱性遭到破壞，可知合矢量AT方向不再保持不變，對應的量的計算也就變得比較復雜，我們一般不再進行具體的計算，但是定性的分析還是很方便的.通過分析這些特例，可以看出，當反射波振幅不等于入射波振幅時，合成波就不再是駐波，而是一種復雜的波動情形.

3 旋轉矢量法分析受迫振動

系統在周期性外力作用下被迫進行的振動稱為受迫振動.假設系統中為輕質彈簧，忽略彈簧質量，其勁度系數為κ，振子的質量為m，周期性外力為F0cosωt，阻尼力與速度成反比，記作f=-cv，c為阻尼系數.則受迫振動的動力學方程為

(13)

通常的做法是求解這個非齊次常系數微分方程，數學計算比較復雜.如果采用旋轉矢量法分析會直觀簡單得多.本文中的旋轉矢量是廣義上的，既包括位移旋轉矢量，也包括速度旋轉矢量和加速度旋轉矢量.在討論受迫振動等問題時，就是這個意義上的旋轉矢量.

假設受迫振動達到穩定狀態時的運動學方程為x=Acos(ωt-δ)，則式(13)中各項分別用旋轉矢量表示可記為

F=B+C+D

(14)

通過簡單的計算分析表明B⊥C,C⊥D.

圖6 受迫振動旋轉矢量圖

如圖6所示，圖中B,C,D,F分別表示對應的旋轉矢量，根據圖示容易求出受迫振動的振幅和初相位.

4 旋轉矢量法分析“拍”現象

在談到同方向不同頻率的簡諧振動的合成時，一般都會涉及到“拍”現象.所謂“拍”現象是指兩個頻率都比較大，而兩頻率之差卻不大的同方向簡諧振動合成時，合振動的振幅就會出現時大時小的現象.由于穩頻激光器的出現，光拍頻現象很容易實現.光拍頻技術已經是無線電技術中非常重要的技術之一.如果把光的拍頻和光的干涉現象進行對比研究會發現，它們都是強度隨相位差而發生變化的一種運動形式.對于光的干涉只是由于空間觀測點的不同，兩束光的光程差不同，造成了強度隨空間變化的分布.光的拍頻是因為兩束光有頻差，隨時間的變化而引起相位的變化而表現出的強度隨時間變化的形式.如果我們采取旋轉矢量法分析光的“拍”現象，從理論上是可行的，并已經有人進行了相關研究[5].這樣,就能夠把旋轉矢量法的簡潔、直觀的特性顯露出來，這里不再贅述，詳情請參考文獻[5].

5 旋轉矢量法的對稱性分析

若規定用順時針旋轉的矢量表示沿軸負方向傳播的行波，用逆時針旋轉的矢量表示沿軸正方向傳播的行波，兩者疊加，得到一個不再旋轉，模隨時間呈周期性變化的矢量表示駐波[6].這一結論非常直觀，有助于學生把握駐波現象的本質.

在處理駐波的問題中，從矢量圖上看，當合成圖形為菱形時，即振幅相等時，該系統具有幾何對稱性，合成的波為駐波.當合成圖形不是菱形時，系統失去了幾何對稱性，其合成波也不再是駐波.

在研究受迫振動時，應用的正是自然數為底的指數函數的導數形式不變的特性，根據歐拉公式，反映到旋轉矢量圖中就是位移旋轉矢量與速度旋轉矢量相互垂直，速度旋轉矢量與加速度旋轉矢量相互垂直這一特性.

在光“拍”現象的問題中，雖然表面上看旋轉矢量法只是在表述方式上直觀形象，其實也正是其本質上的對稱性導致這一方法的有效性.

參考文獻

1 李增林.用旋轉矢量法研究駐波問題.大學物理,1993(2):24～26

2 張韜，李奇楠.用旋轉矢量分析駐波.齊齊哈爾大學學報，2001(4)：69～72

3 蘇景順.用旋轉矢量分析駐波.河北建筑工程學院學報，2011(4)：94～97

4 徐友文，許弟余.用旋轉矢量法求受迫振動的振幅和初相.物理與工程,2006(4)：20～21

5 蘇未安，陳秀洪.用旋轉矢量法研究“拍”現象.江西理工大學學報，2009(1)：60～63

6 楊慶怡，劉奕新，郭進.用旋轉矢量描述波形及振動曲線與波形的轉換.廣西科學院學報，2010(2)：107～109