彈簧質(zhì)量對(duì)彈簧振子周期的影響研究

王文濤

(江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

1 理想彈簧振子的周期

圖1

如圖1所示的彈簧振子，除振子外不計(jì)其他質(zhì)

量，不計(jì)一切摩擦，根據(jù)牛頓第二定律可得

ma=-κx

x=Acos(ωt+φ)

2 考慮彈簧振子質(zhì)量的振子周期

若考慮彈簧振子的質(zhì)量，可以通過(guò)振動(dòng)過(guò)程中的能量求解其周期．如圖2所示，設(shè)彈簧質(zhì)量為m0，在距離固定點(diǎn)O距離為x處取一小段微元dx，設(shè)彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)，那么這段微元的質(zhì)量為dm，那么

圖2

所以彈簧的總動(dòng)能為

此時(shí)振子的動(dòng)能為

系統(tǒng)的總動(dòng)能為

若將其等效為一個(gè)理想的彈簧振子，其等效振子質(zhì)量為M，則應(yīng)該滿足

所以可得

因此可得考慮彈簧質(zhì)量的振子周期為

其周期大于理想彈簧振子的周期．

以上結(jié)論可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，取彈簧質(zhì)量小于振子質(zhì)量，通過(guò)多次周期的測(cè)定可以計(jì)算出m0前的系數(shù)，約為0.3～0.35，與理論結(jié)果基本相符．

3 實(shí)際彈簧振子的周期

在上述研究中，認(rèn)為彈簧質(zhì)量較小，并且彈簧的伸長(zhǎng)是均勻的．但是，如果彈簧的質(zhì)量同振子的質(zhì)量類(lèi)似，或者彈簧的長(zhǎng)度較長(zhǎng)，彈簧的變化實(shí)際并非呈線性變化．此時(shí)由于振子的運(yùn)動(dòng)在彈簧中實(shí)際上形成了縱波．所以要解決實(shí)際彈簧振子的周期可以利用彈簧的縱波解來(lái)輔助研究．

由縱波傳播方程可以得到，考慮彈簧質(zhì)量振子的運(yùn)動(dòng)方程實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其運(yùn)動(dòng)方程如下

彈簧的等效質(zhì)量為0.35m0．

4 結(jié)論

如果彈簧振子的質(zhì)量遠(yuǎn)小于振子的質(zhì)量，那么可以當(dāng)作理想的彈簧振子，其周期公式滿足T=

參考文獻(xiàn)

1 吳百詩(shī).大學(xué)物理.西安：西安交通大學(xué)出版社,1994.244～245

2 徐延燕.彈簧振子近似作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1997,21(1)