全站儀免置平自由設站及其測量方法

朱洪濤,徐宜敏,吳維軍,2

(1.南昌大學機電工程學院,南昌 330031；2.江西日月明鐵道設備開發有限公司,南昌 330029)

工程測量時，全站儀需在測量前先行設站以確定全站儀的自身位置，即站點坐標。全站儀設站的首要工作是將全站儀精密置平，電子氣泡居中，使全站儀內部平面坐標系X-Y與大地坐標系中的水準平面X′-Y′平行。在置平狀態下，可通過內置算法把斜距、水平角及垂直角(通常采用天頂距法)等測量信息映射到大地坐標系中。當全站儀設站不滿足置平要求，將導致測量成果偏離真值。以準確度等級為Ⅱ級的全站儀為例，當斜距為100 m，水平偏差為0.001°條件下，其點位誤差可達1.74 mm。因此全站儀正確設站和測量的先決條件是全站儀必須處于置平狀態。

全站儀的精密置平需要人工完成，其置平效果很大程度上依賴于操作者的經驗與技能。我國的高速鐵路無砟軌道平順性主要是通過各級精測網聯測進行控制[1]，其設站間距為60～120 m[2]。頻繁換站并置平將降低測量作業效率，增加人力和時間成本。研究全站儀在非置平狀態下的自由設站和三維測量技術，對于充分發揮全站儀的作用，提高全站儀的使用效能，保證高速鐵路運營的安全性、舒適性，具有顯著的理論和現實意義。

1 全站儀免置平自由設站

全站儀自由設站的實質是后方交會，因置站于非已知點，站點位置的選擇比較自由而得名，它通過對2個及以上已知點的聯測，快速確定設站點坐標[3]；在此基礎上，以設站點為已知點，對待測點進行測量[4]。

如前所述，由于全站儀在置平狀態下其內部坐標系X-Y平面與大地水準平面X′-Y′平行，此時測量得到的水平角和天頂距都是以大地水準平面為參考水平面。全站儀在非置平狀態下直接測量得到的水平角和天頂距是基于其內部坐標系X-Y平面，由于全站儀內部坐標系X-Y平面與大地水準平面X′-Y′之間存在夾角，全站儀在置平和非置平狀態下測量得到的水平角和天頂距是不同的。傳統的一邊一角后方交會，雙邊單角后方交會等自由設站方法[5]都是以全站儀置平為前提的，這些設站算法及其測量方法在非置平狀態下將不再適用。

1.1 全站儀免置平自由設站站點坐標計算模型

根據全站儀測距原理可知，無論全站儀在置平或者非置平狀態下，斜距測量精度基本相當。所以全站儀在非置平狀態下完成自由設站，要充分利用全站儀在非置平狀態下的斜距測量信息。

如圖1所示，設已知基準點P1、P2、P3的大地坐標分別為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)、(x3，y3，z3)，并已知全站儀站點P與各基準點的斜距分別為s1、s2、s3，設全站儀站點P在大地坐標系上的坐標為(x0，y0，z0)，則有方程

(1)

圖1 全站儀自由設站示意

1.2 全站儀免置平自由設站的多值問題

可通過解析方法或數值計算方法求解非線性方程組(1)。由于非線性方程組(1)中每個方程關于未知量x0，y0，z0的結構形式相同，只有x1，y1，z1，s1…x3，y3，z3，s3等常量不同，所以可以通過消元法進行求解，即使相鄰的2個方程相減消去方程組中次數為二次的未知量。

由于方程組(1)是三元二次方程組，所以方程組(1)可能存在多解問題。最簡單的方法是通過第4個大地基準點P4(x4，y4，z4)進行如下判斷：根據第4個大地基準點P4的坐標與方程組的某個解，反算第4個大地基準點與全站儀站點之間的距離，與實際測量得到的距離s4進行比較，如果反算得到的距離與測量得到的距離s4相等或者誤差在一定范圍內，則認為該組解就是全站儀的站點坐標P(x0，y0，z0)。如果反算得到的距離與測量得到的距離s4誤差超差，則認為該組解不是設站點坐標，將該解剔除。如果可利用的大地基準點多于4個，可通過全站儀對多余的基準點進行多余測量，通過平差計算[6]以提高全站儀設站的站點坐標精度。

在選擇第4個基準點有困難的情況下，可充分利用全站儀免置平測量方法中的方向余弦矩陣，方向余弦矩陣中的元素為全站儀坐標軸X軸、Y軸、Z軸在大地坐標系中的方向余弦。在實際工程測量中，全站儀即使沒有置平其坐標軸Z軸的正方向始終是朝上，不會指向地面，即全站儀坐標軸Z軸的正方向與大地坐標系的Z′軸的正方向的夾角小于90°，即全站儀坐標軸Z軸的正方向與大地坐標系Z′軸的正方向的余弦值始終是大于零的。由(1)式解出全站儀設站點坐標的2個解是關于大地坐標系X′O′Y′平面對稱的，必然存在1個解使得全站儀坐標軸Z軸的正方向與大地坐標系的Z′的正方向的余弦值大于零，一個小于零。即使得全站儀坐標軸Z軸的正方向與大地坐標系的Z′的正方向的余弦值小于零的解不是設站點坐標，大于零的解為設站點坐標。

2 全站儀免置平自由設站的測量算法

全站儀在非置平狀態下，不能通過全站儀內置算法將待測點在全站儀內部坐標系中的測量成果映射到大地坐標系中，需重新設計全站儀免置平自由設站后的測量算法，即重新建立全站儀內部坐標系與大地坐標系之間的三維坐標轉換模型。三維坐標轉換模型有基于旋轉角的非線性模型[7]，四元素法[8]，基于方向余弦矩陣等方法，本文采用基于方向余弦矩陣的三維坐標轉換模型。

基于方向余弦矩陣的三維坐標系轉換模型[9]見式(2)

(2)

其中，[X′Y′Z′]T為P點在大地坐標系X′Y′Z′中的坐標；[XYZ]T為其在全站儀內部坐標系XYZ中的坐標；[ΔXΔYΔZ]T為平移量；μ為尺度比；R為方向余弦矩陣。

其中方向余弦矩陣R中的元素由全站儀坐標軸X軸、Y軸、Z軸在大地坐標系中的方向余弦組成，(a10，a20，a30)為全站儀X軸在大地坐標系中的方向余弦，(a11，a21，a31)為全站儀Y軸在大地坐標系中的方向余弦，(a12，a22，a32)為全站儀Z軸在大地坐標系中的方向余弦。并且全站儀坐標系與大地坐標系的尺度比μ等于1。

則(2)式可以轉換為

(3)

其中：

(4)

其中：

又因為R為正交矩陣，滿足RRT=RTR=E，即矩陣R中的元素滿足以下6個條件

(5)

式(5)表明矩陣R中的9個元素之間存在關系。由式(4)和式(5)構成附有限制條件的間接平差模型。對于只有2個或2個以下公共點，可以采用附有限制條件的間接平差模型[11]求解。在實際工程中至少都有3個或3個以上公共點，則可以直接采用以下最小二乘法形式進行求解，則有

(6)

當把式(3)中的12個待估參數求解出來之后，然后利用全站儀測量待測點得到待測點在全站儀坐標系統下的坐標[XYZ]T，代入(3)式，即可求得待測點在大地坐標系上的坐標[X′Y′Z′]T，完成全站儀在非置平狀態下的工程測量。全站儀免置平自由設站及其測量算法中沒有進行任何線性化處理，因此該方法適用于任意傾斜狀態下的全站儀自由設站及其測量。

3 方法驗證及數據測量

根據以上理論推導，采用VC++6.0編譯軟件編寫程序代碼，實現了功能，并采用Leica TPS1200系列全站儀等儀器進行實驗。

實驗環境如下。

溫度：23～26 ℃；氣壓：1 011～1 012 hP；濕度：50%～60%；空氣：有風(3～4級風速)。

儀器型號：Leica TCRP 1201+400；儀器精度：1′(測角)；1+1.5 ppm(測距)。

實驗方法如下。

在實驗測量現場布設5個已知坐標的基準點，任取5個基準點中的4個作為已知坐標基準點，另一個基準點作為未知點，然后自由移動全站儀，讓全站儀在每個站點進行免置平自由設站及其測量。其中，對式(1)采用消元法求解，對式(3)采用最小二乘法求解，得到全站儀的站點坐標和測量轉換參數，然后對未知點進行測量。為分析測量重復性，實驗中前后移動全站儀6次并分別進行設站和測量第5個點的坐標，然后通過式(3)把測量得到的全站儀內部坐標轉換到大地坐標系上。實驗數據見表1。

表1 對第5個基準點測量得到的全站儀坐標以及轉換后的大地坐標 mm

根據表1所得的數據分別計算第5個點轉換后所得大地坐標系中X、Y、Z的標準不確定度[12]。標準不確定度計算公式為

(7)

(8)

實驗結果表明，免置平狀態下測量精度與置平狀態下測量精度相當，能夠滿足對大型建筑物精密測量的要求。

4 結語

本文研究的全站儀免置平自由設站及其測量方法，能夠較好地克服目前全站儀設站及其測量只能在置平狀態下進行的缺點。首先通過全站儀在非置平狀態下測量至少3個大地基準點的斜距、水平角和天頂距，充分利用斜距信息建立自由設站模型，獲得全站儀在大地坐標系上的站點坐標；其次，在非置平狀態下完成自由設站之后，根據基于余弦矩陣的三維坐標系轉換模型，通過最小二乘法進行求解，得到全站儀內部坐標系與大地坐標系之間的轉換關系；最后，對待測點進行測量獲得待測點的三維大地坐標。通過測量實驗，表明本文所提出的全站儀免置平自由設站及其測量方法精度較高，可靠性好，同時算法原理簡單，易于編程實現。全站儀免置平自由設站及其測量技術在保證精度的前提下，能夠為建筑、水利等的工程測量及鐵道建筑的精測節約成本、提高效率。

[1] 中華人民共和國鐵道部.鐵建設[2009]674號 高速鐵路無砟軌道施工精調作業指南[S].北京：中國鐵道出版社，2009．

[2] 李明領.高速鐵路無砟軌道CPⅢ控制網建立與精度控制[J].鐵道標準設計，2010(1)：84-86．

[3] 王江，楊旭輝.全站儀在曲線測量中的應用[J].鐵道標準設計，2002(11)：14-17．

[4] 王慶，于先文.顧及已知點精度的自由設站算法及精度分析[J].東南大學學報：自然科學版，2009，39(2)：372-376．

[5] 朱洪濤，吳維軍.提高全站儀自由設站精度方法研究[J].鐵道工程學報，2004(5)：21-23．

[6] 王解先，高小兵，候東亞，等.高速鐵路CPⅢ點整體三維嚴密平差[J].測繪通報，2011 (1)：46-48．

[7] 曾文憲，陶本藻.三維坐標轉換的非線性模型[J].武漢大學學報：信息科學版，2003，28(5)：566-568．

[8] 滕志遠，張愛武.單位四元素法在激光點云坐標轉換中的應用[J].測繪通報，2011 (11)：7-10．

[9] 陳義，沈中云，劉大杰.適用于大旋轉角的三維基準轉換的一種簡便模型[J].武漢大學學報：信息科學版，2004,29(12):1101-1104.

[10] 陸鈺，陳義，鄭波.總體最小二乘法在三維坐標轉換中的應用[J].大地測量與地球動力學，2008，28(5)：77-80．

[11] 武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎[M].武漢大學出版社,2003．

[12] 張春富，張軍，許文海，唐文彥.激光跟蹤儀現場測量不確定度的評定[J].計量學報，2005，26(1)：20-22．