樁基礎(chǔ)支撐的周期性高架橋結(jié)構(gòu)的缺陷態(tài)研究

陸建飛,雷 力

(江蘇大學(xué)土木工程系,江蘇鎮(zhèn)江 202013)

高速鐵路是一個(gè)地區(qū)乃至整個(gè)國(guó)家的生命工程線。高速鐵路對(duì)地基沉降有嚴(yán)格的要求,而高架橋恰能有效解決軟土地基不均勻沉降的問(wèn)題,因此,高架橋結(jié)構(gòu)在高速鐵路建設(shè)中得到了廣泛應(yīng)用。例如,京滬高速鐵路中多數(shù)路段均采用高架橋結(jié)構(gòu)[1]。為便于施工,高架鐵路的常規(guī)路段常設(shè)計(jì)成由相同的橋跨構(gòu)成,因此,上述高架鐵路可簡(jiǎn)化為周期性結(jié)構(gòu)。然而,由于地理環(huán)境等因素的影響,在工程實(shí)際中也常使得高架橋結(jié)構(gòu)的某一跨或相鄰幾跨在材料或幾何參數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)跨不一致。根據(jù)周期性理論,上述與標(biāo)準(zhǔn)跨不一致的跨為高架橋結(jié)構(gòu)的一種缺陷。在本文中,將不同于標(biāo)準(zhǔn)跨的跨定義為缺陷跨,稱包含缺陷跨的周期性高架橋?yàn)槿毕葜芷谛愿呒軜颉?/p>

波在周期性結(jié)構(gòu)中傳播可追溯到1883年Floquet對(duì)一維Mathieus’s方程的研究。Mead、Lin等人對(duì)波在周期性梁類結(jié)構(gòu)中傳播的研究表明,規(guī)則的周期性結(jié)構(gòu)具有“通頻”和“禁頻”特性[2-5]。通常缺陷能改變周期性結(jié)構(gòu)的波動(dòng)特性,因此,波在含缺陷周期性結(jié)構(gòu)中傳播比在標(biāo)準(zhǔn)周期性結(jié)構(gòu)中傳播更為復(fù)雜。例如,Sigalas[6]的研究表明缺陷使得周期性結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了額外的能帶,且其波動(dòng)局域在缺陷處。吳福根[7]對(duì)二維周期性結(jié)構(gòu)的研究表明,當(dāng)頻率為缺陷頻率時(shí),缺陷態(tài)壓強(qiáng)在結(jié)構(gòu)的缺陷處呈現(xiàn)出極大值。后來(lái),Khelif[8]從理論和實(shí)驗(yàn)上研究了周期性結(jié)構(gòu)的缺陷態(tài)特性,均得到與上述理論相吻合的結(jié)果。

雖然目前存在一些關(guān)于周期性結(jié)構(gòu)缺陷態(tài)的文獻(xiàn)[5-8],但現(xiàn)存的研究均局限于周期性連續(xù)梁結(jié)構(gòu),對(duì)簡(jiǎn)支梁型的周期性結(jié)構(gòu)缺乏研究。正如工程實(shí)際中的高架橋由單獨(dú)梁組成,并通過(guò)橋墩和樁基礎(chǔ)支撐,因而把高架橋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為連續(xù)梁是不合理的。再者,由于目前尚未建立缺陷周期性梁類結(jié)構(gòu)的超原胞方法,故對(duì)其超原胞的缺陷態(tài)也缺少研究。

本文主要目的是建立一個(gè)數(shù)值計(jì)算模型,求解簡(jiǎn)支梁型周期性高架橋結(jié)構(gòu)缺陷態(tài)。本文的主體框架如下所述：為獲得樁基礎(chǔ)的柔度,首先利用邊界元方法處理樁-土相互作用問(wèn)題；然后,利用所得樁基礎(chǔ)的柔度,梁和墩的傳遞矩陣及梁-梁-墩接頭的聯(lián)結(jié)條件,推導(dǎo)高架橋單跨的傳遞矩陣。基于超原胞的思想,建立了求解高架橋結(jié)構(gòu)缺陷態(tài)的超原胞方法。最后,文中給出了樁基礎(chǔ)支撐的周期性高架橋結(jié)構(gòu)的缺陷態(tài)。

1 樁-土相互作用的邊界元模型

在工程實(shí)際中,高架橋的每跨包含一個(gè)或多個(gè)橋墩,而每個(gè)橋墩由群樁基礎(chǔ)支撐。為了簡(jiǎn)化,假設(shè)高架橋的每跨只包含一個(gè)橋墩,且高架橋的樁基礎(chǔ)由單樁組成,高架橋的樁與橋墩之間為剛性聯(lián)結(jié),高架橋每跨中的梁與梁及梁與橋墩之間均通過(guò)彈簧連接。基于上述假設(shè),周期性高架橋的每跨可簡(jiǎn)化為由單根樁基礎(chǔ),1個(gè)橋墩,左、右橫梁及3根聯(lián)結(jié)彈簧所組成的單元(圖1)。另外,本節(jié)將建立樁-土耦合邊界元模型處理樁-土相互作用問(wèn)題。

圖1 含缺陷周期性高架橋結(jié)構(gòu)示意

1.1 彈性介質(zhì)的邊界積分方程

在本文中,把樁和土體均處理成彈性介質(zhì)。彈性介質(zhì)在頻域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為[9]

μui,jj+(λ+μ)uj,ji=-ρω2ui(1)

式中,λ和μ為彈性介質(zhì)的拉梅常數(shù)；ui和ρ分別為彈性介質(zhì)的位移和密度；ω為角頻率。另外,彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為[9]

σij=2μεij+λδije(2)

式中,σij和εij分別為彈性介質(zhì)的應(yīng)力和應(yīng)變分量；e和δij分別為體積應(yīng)變和內(nèi)羅內(nèi)克符號(hào)。基于動(dòng)力互易定理, 彈性介質(zhì)在頻域內(nèi)的邊界積分方程為[10]

1.2 樁-土耦合邊界元模型

在本節(jié)中,依據(jù)彈性介質(zhì)的邊界積分方程推導(dǎo)了樁和土體的邊界元公式,并基于上述公式建立了樁-土耦合邊界元模型。在如圖1所示的樁-土耦合系統(tǒng)中存在3種邊界面：樁和土體相交的界面為邊界面Γ1；樁頂部為邊界面Γ2；土體表面為邊界面Γ3。

利用樁的邊界積分方程,可得樁的邊界元公式為

H(p)u(p)=G(p)t(p)(4)

式中,上標(biāo)p代表樁；u(p)和t(p)分別為樁邊界面上單元節(jié)點(diǎn)的位移向量和面力向量；G(p)和H(p)代表系數(shù)矩陣。公式(4)可重新推導(dǎo)為

在樁和土體的邊界面Γ1和Γ3上,有如下連續(xù)性和邊界條件成立

(7)

基于公式(5)到(7),可得樁-土耦合邊界元模型為

高架橋結(jié)構(gòu)發(fā)生面外振動(dòng)時(shí),樁頂部有扭矩,剪力和彎矩作用。設(shè)高架橋第n號(hào)樁頂部的位移向量和力向量可分別表示為

(10)

式中,Cp為樁基礎(chǔ)的柔度矩陣。

2 周期性高架橋單跨的傳遞矩陣

為便于描述高架橋第n跨的響應(yīng),在第n跨上建立如圖1所示的局部坐標(biāo)系。由于本文只考慮高架橋結(jié)構(gòu)的面外振動(dòng),這里的梁和墩將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)及面外彎曲振動(dòng),因此,梁和墩的傳遞矩陣可利用桿件的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和Bernoulli-Euler梁的彎曲振動(dòng)理論推導(dǎo)。高架橋第n跨中的梁在扭轉(zhuǎn)和面外彎曲振動(dòng)下的控制方程分別為[11]

高架橋第n跨任意梁截面的狀態(tài)向量可表示為

(15)

式中,Ld為橋墩的高度。

忽略3根聯(lián)結(jié)彈簧質(zhì)量,并利用公式(13)到(15)、梁-梁-墩接頭處的平衡條件、彈簧的本構(gòu)關(guān)系及墩的傳遞矩陣,可得高架橋第n跨梁-梁-墩(BBP)接頭的左、右兩端梁截面的狀態(tài)向量所滿足的關(guān)系式為

(16)

利用梁和BBP接頭的傳遞矩陣及傳遞矩陣方法[13],可得高架橋第n跨左、右兩端梁截面的狀態(tài)向量所滿足的關(guān)系式為

3 含缺陷周期性高架橋的超原胞方法及缺陷態(tài)

由連續(xù)介質(zhì)組成的聲子晶體中的缺陷會(huì)使其產(chǎn)生缺陷態(tài)[5-8],這里的周期性高架橋結(jié)構(gòu)可認(rèn)為是一種聲子晶體結(jié)構(gòu)。值得指出的是,目前尚未有文獻(xiàn)研究簡(jiǎn)支梁型周期性結(jié)構(gòu)的缺陷態(tài)。因此,本文基于超原胞的思想,建立缺陷高架橋結(jié)構(gòu)的超原胞方法,求解周期性梁類結(jié)構(gòu)的缺陷態(tài)。

為實(shí)施缺陷高架橋結(jié)構(gòu)的超原胞方法,首先須選定含缺陷跨的超原胞,且超原胞包含的跨數(shù)必須使得缺陷態(tài)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)在超原胞的端部趨于零。設(shè)含缺陷周期高架橋的超原胞由2n+1跨組成,且中間跨為缺陷跨(第0跨),利用高架橋標(biāo)準(zhǔn)跨及缺陷跨的傳遞矩陣,可得超原胞兩端的狀態(tài)向量所滿足的關(guān)系式為

基于Bloch定理[14]和公式,可得高架橋超原胞的特征方程為

(19)

式中,LS=2nLb+L0為超原胞的長(zhǎng)度；L0為缺陷跨的長(zhǎng)度；κ為高架橋超原胞中的特征波波數(shù)。

4 數(shù)值結(jié)果和分析

基于公式(19),可得含缺陷周期性高架橋超原胞的缺陷態(tài)。在算例中,將考慮缺陷跨的梁和橋墩存在缺陷對(duì)高架橋的影響。假設(shè)樁和橋墩的橫截面均為圓形,梁的橫截面為矩形。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)跨,各參數(shù)的取值如表1所示。對(duì)于缺陷跨,與標(biāo)準(zhǔn)跨不一致參數(shù)的取值如下所示：橋墩的半徑為0.5 m；右梁橫截面高、寬分別為0.6 m和2.0 m,右梁的楊氏模量為2.2×1010Pa。

表1 樁、土、橋墩、梁和彈簧剛度等參數(shù)取值

注：BBP接頭把梁為左、右梁

如圖1所示的周期性高架橋在面外振動(dòng)下存在3種特征波,由于第一、二種特征波是衰減波,因此,本文僅給出第三種特征波的結(jié)果。圖2為高架橋超原胞中第三種特征波的能帶。從圖2(b)可知,頻率5.0 Hz位于標(biāo)準(zhǔn)超原胞(15跨均為標(biāo)準(zhǔn)跨)的禁帶內(nèi),但其又位于缺陷超原胞(由15跨組成,且中間一跨為缺陷跨)的通帶內(nèi),這表明頻率5.0 Hz為缺陷高架橋超原胞的缺陷態(tài)頻率。顯然,這個(gè)附加的通帶頻率由高架橋結(jié)構(gòu)中含缺陷跨所引起。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)和缺陷超原胞,圖2(b)還顯示第三種特征波的虛部在高頻范圍內(nèi)均很大。

圖2 超原胞中第三種特征波的能帶

圖3給出了超原胞內(nèi)各跨梁左端和墩底在缺陷頻率處的模態(tài)。圖3(a)顯示扭轉(zhuǎn)角在缺陷跨兩端的響應(yīng)明顯大于超原胞的其他跨,且遠(yuǎn)離缺陷跨的響應(yīng)很小。對(duì)于超原胞內(nèi)各跨墩底的扭轉(zhuǎn)角,上述現(xiàn)象表現(xiàn)更為明顯(圖3(b))。此外,缺陷超原胞的模態(tài)還表明：波動(dòng)局域在缺陷跨附近,并通過(guò)缺陷跨放大,類似于固體力學(xué)中的應(yīng)力集中現(xiàn)象。

圖3 超原胞在缺陷頻率5.0 Hz處的模態(tài)

5 結(jié)論

本文建立了簡(jiǎn)支梁型周期性高架橋結(jié)構(gòu)缺陷態(tài)計(jì)算模型,建立了計(jì)算高架橋結(jié)構(gòu)缺陷態(tài)的超原胞方法。在模型中,引入聯(lián)結(jié)彈簧把高架橋的梁-梁-墩接頭處理成彈性接頭。本文的計(jì)算結(jié)果表明，缺陷會(huì)使周期性高架橋結(jié)構(gòu)產(chǎn)生額外的能帶,即缺陷態(tài)；當(dāng)頻率為缺陷態(tài)頻率時(shí),超原胞的缺陷態(tài)模態(tài)在高架橋的缺陷跨處產(chǎn)生了顯著的應(yīng)力集中現(xiàn)象,顯然,這對(duì)周期性高架橋結(jié)構(gòu)的受力是極為不利的。本文所建立的模型可應(yīng)用于求解高架橋支撐在層狀地基上的缺陷態(tài),還可推廣用于處理高架橋結(jié)構(gòu)含多個(gè)相鄰缺陷跨的情形。

附錄A：公式(16)的表達(dá)式

公式(16)中矩陣A和B的表達(dá)式為

式中,

其中,Cd為橋墩的柔度矩陣,即

(A.2)

[1] 孫樹(shù)禮.京滬高速鐵路橋梁工程[J].鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì),2008(6)：1-4．

[2] Mead D J. Free wave propagation in periodically supported infinite beams[J]. Journal of Sound and Vibration, 1970,11(2):181-197．

[3] Mead D J, Markus S. Coupled flexural longitudinal wave motion in a periodic beam [J]. Journal of Sound and Vibration, 1983,90(1):1-24．

[4] Lin Y K. Free vibrations of a continuous beam on elastic supports [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 1962,4(5):409-423．

[5] 溫熙森,等.聲子晶體[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2009．

[6] Sigalas M M. Elastic wave band gaps and defect states in two-dimensional composites[J]. Journal of Acoustical Society of America, 1997,101(3):1256-1261.

[7] 吳福根,劉有延.二維周期性復(fù)合介質(zhì)中聲波帶隙結(jié)構(gòu)及其缺陷態(tài)[J].物理學(xué)報(bào),2002,51(7)：1434-1438．

[8] Khelif A, et al. Trapping and guiding of acoustic waves by defect modes in a full-band-gap ultrasonic crystal[J]. Physical Review B, 2003,68(1):214301．

[9] Achenbach J D. Wave Propagation in Elastic Solids[M]. Amsterdam: North-Holland, 1973．

[10] Banerjee P K, Butterfield R. Boundary Element Methods in Engineering Science[M]. UK: McGraw-Hill, 1981．

[11] Graff K F. Wave Motion in Elastic Solids[M]. Oxdord: Clarendon Press, 1975．

[12] Lu J F, Jeng D S. Energy bands of a periodic viaduct in out-of-plane vibration: Coupling with a half-space[J]. Europuean Journal of Mechanics-A/Solids, 2012,31(1):21-36．

[13] Dowling J P. Sonic Band structure in fluids with periodic density variations[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1992,91(5):2539-2543．

[14] 閻守勝.固體物理基礎(chǔ)[M].北京：北京大學(xué)出版社,2011．