基于攝動(dòng)理論的壓電阻抗損傷識別分析

李 潔

（上海城興市政工程設(shè)計(jì)有限公司，上海 200233）

0 前言

鋼筋混凝土梁是土木工程結(jié)構(gòu)中最常使用的一類構(gòu)件，然而由于其運(yùn)營過程中材料老化、超載使用、環(huán)境侵蝕、缺乏合理管理養(yǎng)護(hù)等原因，這類構(gòu)件的性能隨時(shí)間劣化嚴(yán)重，因此需要開發(fā)有效的檢測手段診斷該類構(gòu)件的損傷情況為后續(xù)的結(jié)構(gòu)性能評估和管養(yǎng)方案的確定服務(wù)。盡管近些年來，國內(nèi)外研究人員在基于動(dòng)力特性的損傷識別方法方面取得了許多理論和試驗(yàn)進(jìn)展[1,2]，但是由于土木工程結(jié)構(gòu)的特殊性和復(fù)雜性，其在土木工程中的應(yīng)用受到了限制，特別是在診斷結(jié)構(gòu)的微損傷、弄清損傷演化規(guī)律、實(shí)現(xiàn)健康監(jiān)測方面還存在一系列問題無法解決。其中一個(gè)關(guān)鍵問題是結(jié)構(gòu)早期程度較小的損傷對結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響很小。大量的研究表明[3]，即使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)較大損傷，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)也可能沒有明顯變化，再加上噪聲的影響，現(xiàn)有的許多方法就無法準(zhǔn)確識別小損傷，更何況像裂縫這樣的微損傷。

智能材料的發(fā)展為土木工程結(jié)構(gòu)長期實(shí)時(shí)健康監(jiān)測提供了新的研究方向。這些智能材料具有傳感、或者傳感與驅(qū)動(dòng)的雙重功能，能夠與工程結(jié)構(gòu)融合在一起組成智能健康監(jiān)測系統(tǒng)。基于壓電陶瓷（piezoelectric ceramic，簡稱 PZT）電 -機(jī)阻抗技術(shù)（electro-mechanical impedance，簡稱 EMI）以其對結(jié)構(gòu)初始損傷敏感、對外界環(huán)境影響的免疫力強(qiáng)，實(shí)用成本低、適宜在線監(jiān)測的特點(diǎn)得到了越來越多的關(guān)注[4-6]。PZT質(zhì)量輕，對本體結(jié)構(gòu)影響很小，可以粘貼在已有結(jié)構(gòu)的表面或埋入新建結(jié)構(gòu)的內(nèi)部對結(jié)構(gòu)進(jìn)行監(jiān)測，是“主動(dòng)”的健康監(jiān)測方法。基于壓電阻抗的健康監(jiān)測技術(shù)從提出到現(xiàn)在已經(jīng)有上十年，其研究領(lǐng)域主要集中在航空和機(jī)械工程[7-11]，近年來在土木工程領(lǐng)域也開展了一定的研究，如Park[12]等采用阻抗法測試了幾種典型的土木結(jié)構(gòu)構(gòu)件，Soh[13]等人開展了壓電阻抗技術(shù)在混凝土材料和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中的研究，Tseng[14]采用有限元軟件研究了單個(gè)PZT粘貼混凝土梁表面識別損傷情況，并將有限元分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，采取RMSD指標(biāo)評價(jià)損傷情況，Giurgiutiu[15]近來還對壓電片與基體結(jié)構(gòu)之間力相互作用進(jìn)行了有限元數(shù)值仿真研究，并將有限元分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，并且推導(dǎo)出PZT與梁的耦合振動(dòng)的有效剛度公式，但是并沒有得到損傷梁的有效剛度公式。

梁結(jié)構(gòu)作為工程中經(jīng)常采用的結(jié)構(gòu)，在復(fù)雜的工作環(huán)境下可能會產(chǎn)生裂紋損傷，這些裂紋損傷對結(jié)構(gòu)的正常工作是相當(dāng)不利的，為了識別這些裂紋損傷，從理論上分析裂紋損傷對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響顯得十分必要。Lestari[16]根據(jù)δ函數(shù)性質(zhì)，給出了受損梁結(jié)構(gòu)的具體模態(tài)參數(shù)表達(dá)式，該表達(dá)式形式復(fù)雜，且普遍性不夠。本文利用一階攝動(dòng)方法給出了攝動(dòng)項(xiàng)的一般表達(dá)式，以此推導(dǎo)了受損簡支梁固有頻率和模態(tài)振型的解析表達(dá)式，然后代入PZT與梁的耦合動(dòng)態(tài)剛度公式得到受損梁的阻抗值，從而得到PZT激勵(lì)受損梁的電導(dǎo)納信號，并與完整梁的電導(dǎo)納信號進(jìn)行比較，通過RMSD損傷指標(biāo)分析結(jié)構(gòu)損傷對電導(dǎo)納信號的影響。

1 受損簡支梁的模態(tài)振型

圖1為一矩形截面簡支梁模型，梁的長、寬、高分別為l、b、h。假定在梁的xd處有一裂紋損傷，裂紋深度為hd，寬度為△l，在損傷部分梁的截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

同理，令m0=ρbh，ρ為材料密度，在梁的損傷部分，單位長度梁的質(zhì)量為：

如果在梁的xd處的極小區(qū)域內(nèi)發(fā)生裂紋損傷，考慮在梁的全部長度上，其截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的函數(shù)表達(dá)式為：

式中：H（ξ）為 Heaviside函數(shù)，H（ξ）=0（ξ＜0），H（ξ）=1（ξ＞0），且 δ（ξ）=dH（ξ）/dξ，δ（ξ）為 δ函數(shù)。

根據(jù)式（4），在△l微小的情況下，梁在全部長度上的截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以用δ函數(shù)表示：

同理，在梁的全長上，單位長度的質(zhì)量也可以表示為：

將式（5）和式（6）及彈性模量代入Euler-Bernoulli梁的自由振動(dòng)方程，則受損梁的自由振動(dòng)方程可表達(dá)為：

受損梁的自由振動(dòng)特征值表達(dá)式為：

考慮到梁的局部微小損傷，因而ε、△l都是一個(gè)很小的量，假定損傷后結(jié)構(gòu)的特征值和模態(tài)振型是損傷前的一個(gè)微小擾動(dòng)，根據(jù)一階攝動(dòng)理論，損傷后的特征值和模態(tài)振型可表示為：

將式（9）和式（10）代入式（8），并按系數(shù)項(xiàng)展開，略去兩階以上的項(xiàng)，整理后可得[17]：

式（11）的解為：

式中：kp=pπ/l（p=1,2，…）為第 P 階主振動(dòng)的波數(shù)。

將式（15）代入式（12），可得：

式（17）中右端的第一項(xiàng)積分部分可簡化為：

將式（18）代入式（17），并考慮式（13）可得：

由式（19）并考慮模態(tài)正交性可得：

由于模態(tài)振型具有正交性，即：

將式（6）和式（10）代入上式，并按系數(shù)項(xiàng)展開，略去兩階以上的項(xiàng)，整理后可得：

當(dāng)p=q時(shí)，式（25）可化簡為：

將式（24）代入式（26）可得：

將式（13）和式（20）代入式（9）可求得受損簡支梁的特征值為：

將式（14）、式（15）、式（21）、式（27）代入式（10）可求得受損梁的模態(tài)振型為：

2 受損簡支梁的阻抗模型

壓電效應(yīng)是Curie兄弟于1880年發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)對壓電元件施加外力產(chǎn)生機(jī)械變形時(shí)，會引起內(nèi)部正負(fù)電荷中心發(fā)生相對移動(dòng)而產(chǎn)生點(diǎn)的極化，從而導(dǎo)致元件兩個(gè)表面上出現(xiàn)符號相反的束縛電荷，且電荷密度與外力成比例。這種現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)。正壓電效應(yīng)反映了壓電材料具有將機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿哪芰Γ瑱z測出壓電元件上的電荷變化即得知元件或元件埋入處結(jié)構(gòu)的變形量。因此利用正壓電效應(yīng)可將壓電材料制成傳感元件。反之，在壓電元件兩個(gè)表而上通以電壓，由于電場的作用，造成壓電元件內(nèi)部正負(fù)電荷中心產(chǎn)生相對位移，導(dǎo)致壓電元件的變形，即逆壓電效應(yīng)。逆壓電效應(yīng)反映了壓電材料具有將電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的能力。可以用于制造驅(qū)動(dòng)器的，用來結(jié)構(gòu)變形或者改變應(yīng)力狀態(tài)。

結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)能夠引起結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗發(fā)生變化，但結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗難以通過直接測試得到。基于壓電陶瓷的機(jī)械阻抗法就是應(yīng)用壓電陶瓷的力-電耦合特性，綜合考慮PZT的動(dòng)態(tài)特性和被測結(jié)構(gòu)的阻抗信息而提出的一種實(shí)時(shí)監(jiān)測方法。給粘貼在結(jié)構(gòu)上的PZT施加交流電場，PZT產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)（逆壓電效應(yīng)），結(jié)構(gòu)也會隨其一起變形并且對振動(dòng)產(chǎn)生近處的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。單片PZT能夠激勵(lì)的面積區(qū)域因結(jié)構(gòu)和材料的不同而異。本體結(jié)構(gòu)的機(jī)械振動(dòng)又傳遞到壓電材料中，機(jī)械振動(dòng)能夠使PZT產(chǎn)生電響應(yīng)（正壓電效應(yīng)），表現(xiàn)為電阻抗的變化。由于不同程度的結(jié)構(gòu)損傷會導(dǎo)致的電響應(yīng)不同，所以可以通過分析這種電響應(yīng)的變化來判斷結(jié)構(gòu)受損情況。其實(shí)電響應(yīng)反映出來就是PZT的電阻抗，結(jié)構(gòu)受到損傷會造成PZT電阻抗幅值和相角的變化。通過與結(jié)構(gòu)在無損狀態(tài)時(shí)PZT的電阻抗信號進(jìn)行比較，可以診斷結(jié)構(gòu)內(nèi)部的損傷情況。

基于阻抗法的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)，建模時(shí)需考慮PZT的動(dòng)態(tài)特征和本體結(jié)構(gòu)的阻抗。采用一維模型建立PZT與本體結(jié)構(gòu)之間的相互作用（見圖2）。PZT通常用高強(qiáng)度導(dǎo)電膠直接粘貼在本體結(jié)構(gòu)的表面，粘貼后的PZT在交變電壓作用下被看成一個(gè)薄片，僅能產(chǎn)生縱向膨脹和收縮。

其壓電方程可表示為：

式中：S1為產(chǎn)生的應(yīng)變；T1為所受的應(yīng)力（1+iη）為電場強(qiáng)度E3為零（或常數(shù)）時(shí)的復(fù)彈性模量，η為機(jī)械損耗因數(shù)；d31為壓電應(yīng)變常數(shù)；E3為所加電場強(qiáng)度；D3為產(chǎn)生的電位移（1-iδ）為應(yīng)力T1為零（或常數(shù)）時(shí)的復(fù)介電常數(shù)，δ為介電損耗因數(shù)。

由式（30）和（31）得到PZT與結(jié)構(gòu)耦合作用下的電導(dǎo)納公式[18]：

式中：i為虛數(shù)單位；ω為所加激勵(lì)的角頻率；wa、ha、la分別為 PZT的寬度、厚度和長度；κ=為PZT的密度；za為PZT的機(jī)械阻抗；zs為結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗。

由式（32）中可以看出，對圖2所示的模型，PZT耦合電導(dǎo)納不僅與PZT的幾何尺寸、介電常數(shù)、壓電常數(shù)、楊氏模量、機(jī)械阻抗有關(guān)，與所加激勵(lì)的角頻率有關(guān)，還與結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗有關(guān)。對于已經(jīng)確定的壓電系統(tǒng)來說，PZT自身的機(jī)械阻抗又是常數(shù)，外部結(jié)構(gòu)的機(jī)械阻抗值則是唯一影響第二項(xiàng)的參數(shù)，從而控制壓電系統(tǒng)全部導(dǎo)納的變化。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)健康狀況的破壞造成外部結(jié)構(gòu)機(jī)械阻抗的變化，則可通過壓電元件的導(dǎo)納反映出來，也就是說如果機(jī)械結(jié)構(gòu)因松動(dòng)或裂紋等損傷而引起其機(jī)械阻抗zs變化，則PZT沿z方向的耦合電導(dǎo)納也會發(fā)生變化。

PZT在電場諧激勵(lì)作用下對梁產(chǎn)生一對平衡的軸向力和彎矩，本文只考慮PZT的軸向力，即PZT對梁施加平衡的軸向力，即：

式中：H（ξ）為 Heaviside函數(shù)，H（ξ）=0（ξ＜0），H（ξ）=1（ξ＞0），且 δ（ξ）=dH（ξ）/dξ，δ（ξ）為 δ函數(shù)。梁所受的 PZT激勵(lì)力

梁的軸向振動(dòng)方程為：

將式（34）代入式（35）可得：

假設(shè)位移為：

式中：Xn（x）為正交模態(tài)振型；Cn為模態(tài)系數(shù)。模態(tài)振型滿足自由振動(dòng)方程：

對方程同時(shí)乘以Xn（x）并在整個(gè)梁長度上積分，可得：

因此：

將式（40）代入式（41）可得：

從而梁的阻抗為：

結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷前后PZT電導(dǎo)納信號的差異只能定性分析出結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷，但不能給出損傷的程度。因此需要定義一個(gè)指標(biāo)，并用它來衡量結(jié)構(gòu)破壞的程度。在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中所采用的結(jié)構(gòu)健康定量判定方法有很多，包括差值平均法、差方均法、均方根差值法等，基本上都是將結(jié)構(gòu)完好無損情況下的阻抗-頻率信息作為基線，然后將結(jié)構(gòu)受損情況下的阻抗-頻率信息與這個(gè)基線做定量比較，得出結(jié)構(gòu)健康判定結(jié)果。由于前兩種方法都要求結(jié)構(gòu)受損進(jìn)行測量時(shí)所采用的頻率范圍、頻率點(diǎn)等參數(shù)一樣，而且沒有對原結(jié)構(gòu)阻抗進(jìn)行對比分析。為了更精確地分析結(jié)構(gòu)的損傷情況，這里引入阻抗均方根差值（CC）來客觀地反應(yīng)損傷前后阻抗的變化：

式中：σM1和σM0分別為損傷和無損狀態(tài)時(shí)的導(dǎo)納的標(biāo)準(zhǔn)差；Cov（M1，M0）為 M1和 M0的協(xié)方差。

將式（29）代入式（43）即可求得受損簡支梁的阻抗，然后代入式（32）即可求得PZT與簡支梁的耦合電導(dǎo)納信號，并與完整梁的耦合電導(dǎo)納信號進(jìn)行比較，并通過CC損傷指標(biāo)識別損傷程度和位置。

3 數(shù)值算例

現(xiàn)以一個(gè)簡支梁結(jié)構(gòu)作為數(shù)值算例來研究損傷對PZT電導(dǎo)納信號的影響，其結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。PZT和梁的參數(shù)見表1和表2所列，PZT的激勵(lì)頻率為0～3 kHz。圖3和圖4為PZT位于梁的0.6 L處時(shí)的損傷深度ε=0.3、損傷位置xd=0.4的PZT和梁的耦合電導(dǎo)納信號的實(shí)部和虛部。圖5為局部放大后的導(dǎo)納信號的實(shí)部。圖6為PZT位于梁的0.6 L處時(shí)隨著損傷深度ε變化而變化的PZT和梁的耦合信號的損傷指標(biāo)，圖7為隨著損傷深度ε變化和損傷位置變化而變化的信號的損傷指標(biāo)。

表1 PZT的機(jī)電和幾何特性一覽表

表2 梁的材料特性一覽表

從圖3～圖5可以看出，梁出現(xiàn)微小裂紋時(shí)，PZT的電導(dǎo)納信號也隨之發(fā)生變化。從圖6、圖7可以看出，當(dāng)梁的損傷位置相同時(shí)，PZT的CC損傷指標(biāo)隨著損傷程度的增加有減小的趨勢。因此可以根據(jù)PZT對梁激勵(lì)產(chǎn)生電導(dǎo)納信號獲得的損傷指標(biāo)識別損傷的程度。

圖8為PZT分別位于梁的 0.2L、0.5L、0.8L處對梁激勵(lì)產(chǎn)生導(dǎo)納損傷指標(biāo)，損傷深度為ε=0.3，損傷位置分別為xd=0.1、xd=0.5、xd=0.9。從圖8可以看出隨著PZT距離損傷位置的逐步增大，損傷指標(biāo)逐步減小。因此可以采取多個(gè)PZT對梁激勵(lì)產(chǎn)生電導(dǎo)納信號，根據(jù)損傷指標(biāo)獲得損傷的大致位置。

4 結(jié)論

本文利用一階攝動(dòng)方法給出了攝動(dòng)項(xiàng)的一般表達(dá)式，推導(dǎo)了受損簡支梁的模態(tài)振型公式，并以此得到了受損簡支梁的阻抗計(jì)算公式，利用壓電阻抗方法得到了受損簡支梁的電導(dǎo)納信號公式。從計(jì)算公式可知PZT與簡支梁耦合作用下的電導(dǎo)納信號的變化量與損傷尺寸有直接的關(guān)系，從而定性和定量識別結(jié)構(gòu)的損傷程度和位置。

從數(shù)值算例得到的結(jié)果可以明顯地看出，當(dāng)梁的損傷位置相同時(shí)，PZT的CC損傷指標(biāo)隨著損傷程度的增加有減小的趨勢，因此可以根據(jù)PZT對梁激勵(lì)產(chǎn)生電導(dǎo)納信號獲得的損傷指標(biāo)識別損傷的程度。當(dāng)梁的損傷程度一定時(shí)，隨著PZT距離損傷位置的逐步增大，損傷指標(biāo)逐步減小，可以大致識別損傷的位置。

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