壓縮映射的構造及Banach不動點定理的應用

李 晗

（吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000）

壓縮映射的構造及Banach不動點定理的應用

李 晗

（吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000）

Banach不動點定理是泛函分析中最常用、最簡單的存在性定理之一，也是數學分析中許多定理結果的特殊情形。因其應用廣泛，倍受學者們青睞，關于該定理的應用性文章也層出不窮。然而，應用Banach不動點定理的關鍵是合理的定義壓縮映射。基于此，筆者給出了3種不同條件下構造壓縮映射的方法：即利用區間長度的比例構造壓縮映射、利用線性方程組形的定義形式構造壓縮映射和利用Lipschitz條件構造壓縮映射，并對所構造的壓縮映射進行了證明。同時，針對每種情況，舉例說明了該種構造方法在應用Banach不動點定理解決問題中的作用。

Banach不動點定理；壓縮映射；應用

對于Banach定理，多見于舉例討論其應用性［1－9］，其關鍵所在——合理構造壓縮映射，討論尚不充分。本文將通過具體問題，給出構造壓縮映射的方法，并進一步舉例說明Banach定理的應用性。

1 利用區間長度的比例構造壓縮映射

定理1設［a，b］，［c，d］為實軸上2個非零區間，且滿足［a，b］?［c，d］，則映射

為壓縮映射。

證明 顯然T為R1上區間［c，d］到自身上的映射。又因為［a，b］?［c，d］，所以于是，在R1中所定義的距離的意義下，T為壓縮映射。

下面用此種構造壓縮映射的方法證明Weierstrass聚點定理［10］。

證明 1）（選取區間）因為S有界，所以?M＞0，使得

將區間［a1，b1］兩等分，因為S是無限點集，則其中至少有一個區間包含S中無窮多個點，若區間［a1，（a1＋b1）／2］含有S中無窮多個點，則記a2＝a1，b2＝（a1＋b1）／2，否則記a2＝（a1＋b1）／2，b2＝b1，則區間［a2，b2］也含有S中無窮多個點。

如此進行下去，則得到區間序列｛［an，bn］｝，n＝1，2…，滿足：

①每個［an，bn］都包含S中無窮多個點；

3）（證明x0是聚點）事實上，由［an，bn］的選取可知而［an，bn］包含S中無窮多個點，即U（x0，ε）中包含S中無窮多個點。所以x0為S的一個聚點。證畢。

2 利用線性方程組形的定義形式構造壓縮映射

3 利用Lipschitz條件構造壓縮映射

在有些求解微分方程的問題中，可先將其轉化成等價的積分方程，再利用特定的條件，如Lipschitz條件［11］，構造壓縮映射進而求解。

例2對于微分方程

由題設β＜1／k，所以α＝kβ＜1，T是B上的壓縮映射，故T存在唯一不動點x∈B，此x是積分方程（5）的唯一解，也是微分方程（4）的唯一解。

4 結 語

應用Banach不動點定理的關鍵是選擇度量空間并在此基礎上構造適當的壓縮映射。本文給出了3種構造方法，希望這些方法能為利用Banach不動點定理解決其它問題提供一種思路。

［1］夏道行，吳卓人，嚴紹宗，等。實變函數論與泛函分析［M］.2版.北京：高等教育出版社，2010：68-71.

［2］張恭慶，林源渠.泛函分析講義：上冊［M］.北京：北京大學出版社，2010：5-8.

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［6］王美娜.巴拿赫（Banach）不動點定理的應用［J］.吉林省教育學院學報，2010，26（1）：153-154.

［7］劉波，李承耕.不動點定理的相關應用［J］.長江大學學報：自然科學版，2011，8（12）：14-15.

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［9］王美娜.巴拿赫（Banach）不動點定理的應用［J］.吉林省教育學院學報，2010，26（1）：153-154.

［10］華東師范大學數學系編.數學分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001：163-164.

［11］江澤堅，孫善利.泛函分析［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005：38-39.

Construction of compression mapping and application of Banach fixed point theorem

Li Han
（Department of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China）

Banach fixed point theorem is one of the most common and simple existence theorems in functional analysis，is also the special case of many theorems of mathematical analysis.Because of its wide range of applications，a number of scholars favor it.Articles about the application of which are endless.However，the key of using Banach fixed point theorem is a reasonable definition compression mapping.Based on this，the paper gives three tectonic compression mapping methods under different conditions：that is，using the ratio of the interval length，using the linear equations definition form and the Lipschitz condition，and then，proves them to be compression mappings.In the same time，in each case，an example was given to show that how to use the method to solve problems.

Banach fixed point theorem；contraction mapping；application

O177

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.02.026

1673-5862（2013）02-0249-03

2012-08-20。

國家自然科學基金資助項目（60542002）。

李 晗（1988-），女，內蒙古通遼人，吉林師范大學碩士研究生。