一種PMSM無位置傳感器FOC控制的滑模觀測器設計

楊宇澄 徐慶

（合肥榮事達三洋電器股份有限責任公司 安徽合肥 230088）

1 引言

隨著電子技術的發展以及國家對家電節能要求越來越嚴格，變頻技術在家電上的應用越來越廣泛，如變頻洗衣機、變頻空調、變頻冰箱等。各大家電制造商均在研究和優化變頻控制方案，而合肥三洋作為國內最早推出變頻洗衣機的企業，對變頻電機在洗衣機上的應用有著深入的研究。

洗衣機在洗滌過程中的負載始終處于動態變化中，并隨著實際的洗滌量和選定的洗滌模式的不同而變化，尤其對于前開式滾筒洗衣機，當負載位于滾筒的頂部時，必須克服重力對電機負載做功。在這種情況下，能夠迅速處理動態負載變化的磁場定向控制（Field Oriented Control，FOC）脫穎而出，成為滿足這些環境需求的主要方法。

基于無傳感器FOC的PMSM控制，在家用電器上的應用有著無可比擬的成本優勢。無傳感器FOC 技術也克服了在某些應用上的限制，即由于電機被淹或其線束放置位置的限制等問題，而無法部署位置或速度傳感器。由于PMSM使用了由轉子上的永磁體所產生的恒定轉子磁場，因此它尤其適用于電器產品。此外，其定子磁場是由正弦分布的繞組產生的，與感應電機相比，PMSM在其尺寸上具有無可比擬的優勢。由于使用了無刷技術這種電機的電噪音也比直流電機小。

作為無位置傳感器FOC控制算法的核心，速度與轉子位置估算器設計的好壞直接決定了調速系統的精度以及動態響應速度。現在常用速度與轉子位置估算器的設計主要有以下幾種：自適應觀測器法，直接或者間接從電機反電動勢中提取位置信息，但是此種方式計算量大，對電機參數依賴性強，此外在電機低速時轉速位置估算困難，目前只適用于中高速場合；擴展的卡曼濾波觀測器法（EFK），由于系統的噪聲未知，其濾波觀測器參數不易調整，而且該算法計算量也比較大，不太適用于對成本敏感的實時控制系統應用；高頻信號注入法，采用高頻信號注人技術的電機轉子位置自檢測方法依賴外加的高頻激勵，與轉速無關，能夠解決低速甚至零速下轉子位置的估計問題，但這種方法對信號檢測精度要求較高，且需要設計多個濾波器，實現起來比較復雜。在分析PMSM的數學模型和矢量控制方案的基礎上，本文提出建立基于新型滑模觀測器算法的無位置傳感器矢量控制調速系統。

2 PMSM矢量控制模型

從電機理論角度分析，矢量變換控制技術利用坐標系變換，將三相系統等效為兩相系統，再將兩相系統按照磁場定向等效為兩相同步旋轉系統，實現對定子電流勵磁分量與轉矩分量之間的解耦，從而達到分別控制電機的磁鏈和轉矩的目的。所涉及的理論基礎主要有兩個方面：一是坐標變換理論；二是不同坐標系下電機的數學模型。

2.1 坐標變換理論

矢量控制中主要涉及到的坐標系變換有靜止三相—靜止兩相，靜止兩相—旋轉兩相的變換及其對應的逆變換。抽象成坐標系之間的關系可表示為從靜止的a-b-c坐標系向靜止的α-β坐標系變換，以及從靜止的α-β坐標系向同步速旋轉的d-q坐標系變換。又由于電機為三相對稱接法，三相之間有彼此確定的的關系，即：

這樣可以得出實用的變換關系

式（2）、（3）為Clarke、Park變換，式（4）、（5）為其對應的逆變換。

式中：iα、iβ為α-β坐標系中的電流；id、iq為d-q坐標系中的電流；θ為同步旋轉角速度。

2.2 PMSM數學模型

如圖1示，PMSM電機在α-β定子靜止坐標系下的數學模型為：

式中：iα、iβ、uα、uβ分別為α-β坐標系下α軸、β軸電流以及電壓；eα、eβ分為α-β坐標系下α軸、β軸的反電動勢；Ls為定子的相電感；R為定子的相電阻；ke為反電動勢系數；ωr為電機轉子速度。

通過公式6中反電動勢的模型我們可以得知，PMSM的轉子位置只與反電動勢的相位有關，而其幅值與電機的轉速成正比。反電動勢信息里面包含了電機的轉速以及位置信息，本文就電機轉速以及位置信息的提取作重點探討。

3 滑模觀測器設計

3.1 無位置傳感器矢量控制框圖

PMSM無位置傳感器矢量控制系統基本框圖如圖2所示。

首先測量三相定子電流ia、ib的值，經由Clarke變換得到α-β坐標系下的iα、iβ，再由Park變換得到在兩相同步旋轉d-q坐標系下id、iq，對id、iq的值分別進行PID調節輸出Vd、Vq，通過速度和位置估算器估算出新的角度以及當前速度值，通過新的角度可將PID調節器輸出的Vd、Vq值經由Park逆變換、Clarke逆變換得到Va、Vb、Vc，由新的三相電壓值計算PWM占空比，以生成期望得到的電壓矢量。

3.2 滑模觀測器構建

3.2.1 數字化電機模型

為了能夠準確實現位置和速度估算，首先需要對電機模型進行數字化分析。由公式（6）可知PMSM電機在α-β定子靜止坐標系下的數學模型為：

式中：is=(i,i)T，其分量分別為定子α軸和β軸的電流；us=(u,u)T，其分量分別為定子α軸和β軸的電流；es=(e,e)T，其分量分別為定子α軸和β軸的反電動勢。

公式（7）在數字域中，該方程式表示為：

求解is：

式中：

式中：R是電機相電阻，L是電機相電感，Ts是控制周期。

公式（10）和（11）為該電機模型的兩個參數，需要修改以針對不同的電機。

3.2.2 滑模觀測器設計

位置和速度估算器是基于電流觀測器而構建的，該觀測器是電機的一個數字化模型，由公式（7）表征。為了使測量的電流與估算電流相匹配，電流觀測器中需要設計滑模觀測器予以校正。

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根據滑模變結構控制理論，設計了一個新型基于飽和函數的滑模觀測器：

從圖3的飽和函數曲線可知，這種控制率有兩個切換面（S=△，S=-△），在邊界層內是S的線性函數，在原滑動面S=0上是連續函數，是一種具有三個結構的變結構系統，定義如公式（14）：

式中：kslide為滑模系數，且大于0。

滑模控制器用來對數字化電機模型進行補償，其輸出就是校正因子（z）。該增益被加到數字模型的電壓項，在每個控制周期都執行該過程直至估算電流（）與實測電流（）的差值為零。

3.2.3 位置速度估算

3.2.3.1 一階數字低通濾波器設計

在傳統的低通濾波器設計中，濾波常數的值是適合于整個頻率段的固定值，但是濾波常數對整個調速系統的穩定性有非常大的影響。濾波常數選取過小會導致調速系統變慢，甚至使系統不能跟蹤給定的轉速；濾波常數選取過大會引起調速系統出現振蕩。考慮上述因素，在調速過程中，設計濾波常數可隨轉速變化。公式（15）給出了一階低通濾波器的設計。

式中：kslf為濾波常數，fpwm為計算數字濾波器時的PWM頻率，fc為濾波器的截止頻率。

濾波器的截止頻率設置為電機的電氣轉速，隨著轉速的變化濾波器的截止頻率的值也在不斷變化。

3.2.3.2 位置和速度估算

估算出反電動勢后，轉子當前位置角度可以用公式（17）來計算。

這里我們應該注意到，反電動勢估算是通過低通濾波器來獲得，這樣就引入了一個相位延遲。在傳統的低通濾波器的設計中，低通濾波器的截止頻率是一個固定值，基于低通濾波器的相位響應需要做一個相位延遲表，可以通過查表法求的當前轉速下對應的相位延遲，相位延遲可以通過公式（18）求得。

在進行相位補償時，相位延遲表需要存儲大容量的相位值，這在一定程度上限制了其在實際中的應用。

本文設計了的低通濾波器的截止頻率是跟隨轉速的變化而變化的，其截止頻率為：

式中：M是一個常數。

這樣低通濾波器所引入的相位延遲就是一個固定值，可以用于對所有速度范圍內進行補償。由公式（16）和公式（19）可知，低通濾波器的截止頻率是隨轉速變化的，轉子角度的相位延遲則是一個與常數M相關的固定值。

對當前轉子相位角（θ*）進行補償之后，通過 次采樣得到的每兩個相鄰θ*值的差進行累加，即可得到當前電機轉速。轉速計算如公式（20）所示。

這樣我們就可以通過采樣所得到的相電流（ia、ib），經由速度和位置估算器估算出當前的電機轉子位置角度（θ）和電機當前轉速（ω），再由圖2所示的PMSM無位置傳感器矢量控制框圖，完成PMSM電機的無位置傳感器矢量控制。

4 結論

隨著國家對家用電器行業節能要求日趨嚴格以及新一輪的節能補貼政策的出臺，具有明顯節能優勢的變頻技術必將會得到越來越廣泛的應用。本文提出了一種基于滑模觀測器以及自適應濾波器的PMSM無位置傳感器矢量控制算法，所設計的自適應濾波器截止頻率隨轉子轉速變化，簡化了調速系統的硬件結構，同時達到更好的濾波效果。

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