EMD過(guò)程中數(shù)據(jù)擬合的算法改進(jìn)與實(shí)現(xiàn)*

寇艷廷，范濤濤，劉 晨，閻紅燦

（河北聯(lián)合大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063000）

希爾伯特—黃變換HHT（Hilbert-Huang Transform）是1998年由Huang等人[1-2]提出的一種信號(hào)分析方法，它通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD（Empirical Mode Decomposition）基于信號(hào)的局部特征時(shí)間尺度將信號(hào)分解成有限數(shù)目的本征模態(tài)函數(shù) IMF（Intrinsic Mode Functions）之和，對(duì)每個(gè)IMF進(jìn)行Hilbert變換可以求得具有物理意義的瞬間頻率，非常適合對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)處理。所以許多研究學(xué)者將該技術(shù)應(yīng)用于數(shù)據(jù)波的時(shí)頻分析[3-4]和時(shí)間序列的預(yù)測(cè)研究[5-6]，取得了顯著的成果。

時(shí)間序列模型適合于線性時(shí)序的預(yù)測(cè)，當(dāng)用于預(yù)測(cè)非線性時(shí)間序列時(shí)，準(zhǔn)確性較差；小波分析方法中數(shù)據(jù)基本假定為平穩(wěn)序列，當(dāng)用于非平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)時(shí)準(zhǔn)確性不高；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有逼近非線性的能力，然而當(dāng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)預(yù)測(cè)股價(jià)時(shí)間序列時(shí)，其結(jié)果不是很理想；中國(guó)證券市場(chǎng)的混沌性暗示著金融時(shí)間序列的長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性和短期預(yù)測(cè)的可行性，但混沌模型與其他方法對(duì)股市進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，也未能得到令理論界和實(shí)務(wù)界較滿(mǎn)意的效果。在研究金融數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)提出了將EMD與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的預(yù)測(cè)模型，就是利用EMD處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的優(yōu)勢(shì)。

在EMD過(guò)程中，最為關(guān)鍵的就是如何擬合成與原始數(shù)據(jù)逼近的函數(shù)，即構(gòu)造函數(shù)的算法問(wèn)題。而要想構(gòu)造較為準(zhǔn)確的函數(shù)，關(guān)鍵是包絡(luò)線的選取算法。現(xiàn)有的EMD分解算法一般應(yīng)用三次樣條插值法，雖然能夠得到較為理想的結(jié)果，但仍然有些偏差，特別是邊緣數(shù)據(jù)（拐點(diǎn)）誤差較大。本文系統(tǒng)分析了三次樣條插值算法和分段冪函數(shù)插值算法的特點(diǎn)，將其結(jié)合找到一種更好的求包絡(luò)線的算法，從而提出了一種更為有效的數(shù)據(jù)擬合函數(shù)構(gòu)造方法。

1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）

1.1 本征模態(tài)函數(shù)性質(zhì)

EMD算法的目的就是將復(fù)雜數(shù)據(jù)（信號(hào)）分解為有限個(gè)本征模態(tài)函數(shù)IMFs，這里IMF須滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)：

（1）信號(hào)的極值點(diǎn)（極大值或極小值）數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差一個(gè)；

（2）由局部極大值構(gòu)成的上包絡(luò)線和由局部極小值構(gòu)成的下包絡(luò)線的平均值為零。

1.2 EMD算法簡(jiǎn)介

EMD算法步驟如下：

（1）計(jì)算出信號(hào) s（t）所有的局部極值點(diǎn)。

（2）求所有的極大值點(diǎn)構(gòu)成的上包絡(luò)線和所有的極小值點(diǎn)構(gòu)成的下包絡(luò)線，分別極為 u0（t）和 v0（t）。

（3）記上、下包絡(luò)線的均值為：

（4）判斷 h0（t）是否滿(mǎn)足 IMF的上述兩條性質(zhì)。若滿(mǎn)足，則 h0（t）為 IMF；否則，記 h0（t）為 s（t）。 重復(fù)步驟（1）~步驟（3），直到得到一個(gè) IMF，記為 C1（t）。

（5）記 r1（t）=s（t）-C1（t）為新的待分析信號(hào)，重復(fù)步驟（1）~步驟（4），以得到第二個(gè) IMF，記為 C2（t），此時(shí)余項(xiàng) r2（t）=r1（t）-C1（t）。 重復(fù)上述步驟，直至得到的余項(xiàng) rn（t）是一個(gè)單調(diào)信號(hào)或 rn（t）的值小于預(yù)先給定的閾值，分解結(jié)束。

如此，最終可得到 n 個(gè) IMFs，C1（t），C2（t），…，Cn（t）余項(xiàng)為 rn（t）。 因此，原信號(hào) s（t）可表示為：

2 分段冪函數(shù)插值算法的應(yīng)用

EMD算法的核心部分就是求解包絡(luò)線算法，現(xiàn)有的技術(shù)一般采用三次樣條插值法。由于邊緣數(shù)據(jù)（端點(diǎn)）選取直接影響數(shù)據(jù)擬合效果，如果樣條插值中端點(diǎn)的選取再精確些，就會(huì)得到更好的擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)，而分段冪函數(shù)具有端點(diǎn)延拓的特點(diǎn)，對(duì)邊緣端點(diǎn)有平滑處理功能，彌補(bǔ)了樣條插值法的缺陷。本節(jié)詳細(xì)討論分段冪函數(shù)插值在求解包絡(luò)線中的應(yīng)用。

2.1 算法原理及分析

記所有的插值點(diǎn) P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），插值函數(shù) y=f（x）。對(duì)任意 3 個(gè)相鄰點(diǎn) Pi-1（xi-1，yi-1），Pi（xi，yi），Pi+1（xi+1，yi+1）進(jìn)行冪函數(shù)插值：

分段冪函數(shù)插值算法的誤差范圍隨β的增大而減小，且誤差的最大范圍為[Mh2/2.5，5Mh2/2]。

2.2 算法實(shí)現(xiàn)

3 實(shí)驗(yàn)仿真

結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，利用Matlab數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，表1是實(shí)驗(yàn)仿真的測(cè)試數(shù)據(jù)。

表1 數(shù)據(jù)記錄表

3.1 利用三次樣條插值函數(shù)繪制圖像

選擇Matlab內(nèi)置函數(shù)spline，先編寫(xiě)主函數(shù)，核心代碼如下：

以文件名yangtiao_main.m保存。運(yùn)行程序，得到運(yùn)行結(jié)果如圖1和圖2所示。

3.2 利用分段三次樣條插值保形：

主函數(shù)核心代碼： %分段三次Hermite插值法主函數(shù)

圖1 三次樣條插值采樣點(diǎn)

圖2 三次樣條插值擬合結(jié)果

運(yùn)行程序，結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 分段冪函數(shù)采樣點(diǎn)

圖4 分段冪函數(shù)擬合結(jié)果

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

從圖1可以看出，經(jīng)過(guò)分段冪函數(shù)的端點(diǎn)延拓處理，插值擬合的函數(shù)更接近于原始數(shù)據(jù)，大大提高了EMD中數(shù)據(jù)擬合的效果。為下一步數(shù)據(jù)分析和預(yù)測(cè)提供了技術(shù)保證。

本文在分析經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法的基礎(chǔ)上，討論了三次樣條插值求解包絡(luò)線的弊端，引入分段冪函數(shù)端點(diǎn)延拓技術(shù)，提高了數(shù)據(jù)擬合精度。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)數(shù)據(jù)擬合算法的改進(jìn)極大提高了EMD過(guò)程中函數(shù)擬合的效果，有利于提高時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)精度。

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