非緊空間上的局部熵的變分原理

王 威

(應天職業技術學院基礎部，江蘇南京210023)

在動力系統領域的研究中，熵是描述系統復雜性的一個重要概念，1958年由Kolmogolov首先引入.從此熵的研究成為遍歷理論研究的熱點問題.許多知名動力系統專家投入到熵的理論研究中，熵的理論工作得到快速發展.對于熵的理論而言，變分原理是一個非常重要的結論.經典的熵的變分原理為測度熵與拓撲熵相等，即hμ(T)=htop(T).

二十世紀七十年代，熵的概念拓展到非緊空間［1-2］，之后，它成為拓撲動力系統研究中的熱點和難點問題.很多經典的理論在非緊空間中也得以實現.二十世紀后期，文獻［3］中在研究Kolmogolov的拓撲對應時，引入一致正熵等概念，將熵的概念局部化，得到一系列重要結論，包括建立了局部熵的變分原理:hμ(T，U)=htop(T，U)［4-8］.文中主要工作是從經典的熵理論出發，利用點集拓撲學緊致化定義，通過擴充將緊致空間局部熵的理論和非緊空間中熵的理論結合起來，得到非緊空間局部熵的變分原理.

1 動力系統基礎

文中定義涉及幾個動力系統中常用的符號或表示方法:Μ(X)是X上所有的Borel概率測度集;Μ(X，T)?Μ(X)是所有T-不變的概率測度集.設Z?X為T-不變集，E(Z，T)?M(X，T)為遍歷測度集，且滿足 μ(Z)=1，?μ E(Z，T).讀者可以查閱文獻［9］，或者查閱其他動力系統相關書籍，對基礎知識進行了解.

定義1［10］令X是拓撲空間，映射T:X→X是連續映射且滿足緊集的原像仍是緊集，則稱T是恰當映射;U是X的有限開覆蓋，且滿足?u?U，uc或為緊集，稱U是X的容許覆蓋.

用CKX表示X上全體容許覆蓋，C0X表示X上全體有限開覆蓋，PX表示X上全體有限可測分割.給定X的任一容許覆蓋U，X上的恰當映射T，?n∈Ν則也是容許覆蓋.

定義 2［11］設 U為容許覆蓋，記 N(U)=min{#β:β是U的子覆蓋}，#β指子覆蓋β的元素的個數，并且記H(U)=logN(U).顯然是關于n∈Ν的非負次可加函數.定義稱htop(T，U)為U相對于T的拓撲熵.定義htop(T)為T的拓撲熵.=

當X是緊致的Hausdorff空間時，上面的定義和AKM定義一致.定義 3［12］設，定義 H(U)=μ是關于n∈Ν的非負次可加函數.定義μ關于U的測度熵為由定義可知Hμ(U)≤H(U)，那么，?μ∈Μ(X，T)，有hμ(T，U)≤htop(T，U).

定義4［13］設(X，τ)是一個拓撲空間，令∞ 為任何一個不屬于X的元素.令

定義5［10］設T:X→X是恰當映射，為

2 主要結果

定理1:設X，Y為拓撲空間，T:X→X，S:Y→Y是兩個恰當映射，，若φ:Y→X是恰當滿射且 T ·φ = φ ·S，則htop(T，U)=htop(S，φ-1(U)).

證明:由φ是恰當映射，知φ-1(U)={φ(u):u∈U}是Y的容許覆蓋.

事實上，v∈ V?v= u0∩ T-1u1∩ … ∩

式中:ui∈U，i∈{0，1，…，n -1}，故W= φ-1(V)，

對兩邊同時取對數除以n，令n→∞ 得

htop(T，U)=htop(S，φ-1(U))

命題得證.

下面討論非緊的局部熵的變分原理.

定理2 設X是局部緊致的Hausdorff可分空間，T:X→X是恰當映射，，則存在μ∈Μ(X，T)使得hμ(T，U)=htop(T，U).

本定理的證明需要以下兩個引理.

引理1 設X為局部緊致的Hausdorff可分空間，T為設X上的恰當映射，則存在使得

事實上，若U為X的容許覆蓋，則至少存在一u0∈U ，Xu0為緊集，而u0在X中的閉包非緊.取=u0∪ {∞}，則是 的開鄰域.

對兩邊同時取對數除以n，令n→∞ 得

引理2 設X為局部緊致的Hausdorff可分空間，T是恰當映射，，則對上述的，則存在μ∈Μ(X，T)使得

故hμ(T，U)=0

又由引理2，得存在μ∈Μ(X，T)使得hμ(T，U )=.

故存在μ∈Μ(X，T)使得hμ(T，U)=htop(T，U).

若X為緊致集合，則與局部熵的變分原理一致.

References)

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