改進背景值的新陳代謝GM(1,1)在變形預報中的應用

孫昌瑜，朱軍桃

(1.桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西桂林 541004；2.廣西空間信息與測繪重點實驗室(桂林理工大學)，廣西桂林，541004)

改進背景值的新陳代謝GM(1,1)在變形預報中的應用

孫昌瑜1，2?，朱軍桃1，2

(1.桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西桂林 541004；2.廣西空間信息與測繪重點實驗室(桂林理工大學)，廣西桂林，541004)

文獻[1]根據GM(1，1)模型的指數特性，通過在其白化微分方程區間上求積分推導出了背景值的一個計算公式。本文在此基礎上，利用該公式建立了新陳代謝GM(1，1)模型。實際算例表明由此建立的新陳代謝GM(1，1)模型的預測結果高于傳統背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型，表明了改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型合理性，其可用于測量數據處理中的變形分析預報。

背景值；GM(1，1)模型；新陳代謝GM(1，1)模型

1 引 言

目前，變形預報的主要方法有回歸分析法、確定函數法、時間序列分析法等，但這些方法通常要求有大量樣本，而且要求具有典型的概率分布，這在實際生產中有時難以滿足，同時也限制了其使用范圍。灰色GM (1，1)模型彌補了這一缺陷，但由于GM(1，1)模型隨著時間的推移，將會不斷地有一些隨機擾動或驅動因素進入系統，使前端的數據對末端的數據影響逐漸減弱，導致后期預測誤差逐漸增大[2]。很多研究者都在尋找各種方法對GM(1，1)模型進行改進，以提高其預測的精度。例如殘差GM(1，1)修正模型[3]以及采用加權，優化等方法[4]以提高模型的精度。雖然這些方法在一定程度上提高了GM(1，1)模型的預測精度，但這些方法較煩瑣，沒有從根本上對GM(1，1)模型進行改進，不利于實際生產中的應用。基于此，本文在文獻[1]的基礎上，推導了改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型，并通過工程實例驗證了改進模型的可行性和有效性。

2 改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型

2.1 灰色模型背景值的推導[1]

設GM(1，1)模型的原始數據序列為:x(0)(k)= {x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，經過一次累加生成得到的序列為:x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}，

則生成數列x(1)(k)的白化微分方程為:

將上式在[k，k+1]上積分，有:

設背景值Z(1)(k+1)為x(1)(t)在區間[k，k+1]上時，則有:

由此可知背景值即為x(1)(t)在區間[k，k+1]上的定積分。

由于方程(2)的解為指數形式，為方便起見x(1)(t)可用如下指數曲線近似表示:

并假設該曲線過x(1)(k+1)和x(1)(k)兩點，因此有:

由式(6)、(7)可得:(1)

因此背景值為:

經過一次累減計算(1-IAGO)可以還原出模型的模擬值為:

2.2 改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型原理

在原始數據序列x(0)(k)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}中，置入新的數據x(0)(n+1)(該數據是采用GM(1，1)模型依據新的背景值公式(10)式預測一步所得)，同時去掉最老信息x(0)(1)，用序列{x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n+1)}作為原始序列，在重復上述步驟建立新背景值得GM(1，1)模型，如此反復依次遞補，直到完成預測，此即為改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型。

3 工程實例

西安市南郊某18層建筑物布置了11個沉降監測點，取其中C5、C6點的施工期間13期數據為例進行分析[5]。為了說明本文改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預測效果，設計兩種方案進行對比分析，其中用前5期數據建立動態模型進行預測，并與其余8期觀測值進行比較分析。

從表1分析得出:方案一(傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型)從第10期開始預測殘差較大，到第13期時預測殘差達到了4.13mm，不利于工程實際的應用。方案二(改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型)與方案1相比，預測精度有了明顯的提高，預測的最小殘差為0.11mm，最大殘差才只有1.7mm。從殘差還可得知，方案二明顯優于方案一，證明了改進背景值的新陳代謝GM (1，1)模型的可行性，可應用于建筑物的沉降變形預報。

實測值與各模型預測值的比較 表1

為了更直觀的說明改進背景值的新陳代謝GM (1，1)模型的優越性，現將C5點各模型的預測值與殘差值如圖1、圖2所示。

圖1 沉降值與各模型預測值比較

圖2 各模型的預測殘差值比較

由圖1、圖2可以看出:經過改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預測值更加接近實測值，其預測效果高于傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型。傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預測殘差較大，而改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預測殘差相對較小。因此，改進背景值的新陳代謝模型可以提高預測的穩定度和精度。

由上述可知:改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預測結果優于傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型。為了更加充分說明改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預測效果，對C6點進行預測，各模型的預測值和殘差值如表2所示。

實測值與各模型預測值的比較 表2

由表2可知:傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型從第10期開始預測殘差較大，到第13期時預測殘差達到了3.5 mm。改進背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型預測的最小殘差為0.11 mm，而到第13期預測殘差才只有1.31 mm。從誤差的角度進行分析:傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型預測的最大相對誤差為4.49%，而改進背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型預測的最大相對誤差為1.68%，傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型預測的平均相對誤差為1.57%，而改進背景值下的新陳代謝GM(1，1)模型預測的相對誤差為0.58%。這更加充分的說明了改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的可行性和有效性。

4 結 論

在其白化微分方程上求積分推導了背景值的一個計算公式，并利用該公式建立了新陳代謝GM(1，1)模型。通過工程實例表明使用改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的預測結果明顯高于傳統背景值的新陳代謝GM(1，1)模型，證明了改進背景值的新陳代謝GM(1，1)模型的合理性，可用于變形監測的分析預報。

[1] 王鐘羨，吳春篤.GM(1，1)改進模型及其應用[J].數學的實踐與認識，2003，33(9)：20～26.

[2] 翟信德，高飛，徐文兵.新陳代謝GM(1，1)模型在建筑物沉降預測中的應用研究[J].城市勘測，2008(3)：136～138.

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[4] 王義鬧，劉光珍，劉開第.GM(1，1)的一種逐步優化直接建模方法[J].系統工程理論與實踐，2000(9)：99～104.

[5] 李日云，王利，張雙成.灰色預測模型在高層建筑物沉降預測中的應用研究[J].地球科學與環境學報，2005，27 (1)：84～87.

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[7] 郭崢英，陳鵬宇.建筑地基沉降預測的灰色模型與Asaoka法[J].工程勘察，2012(6)：67～70.

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Application Based on Im proved Background Value M etabolic GM(1，1)M odel in Deformation Forecast

Sun Changyu1，2，Zhu Juntao1，2
(1.College of Geomatics and Geoinformation，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China；2.Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics，Guilin 541004，China)

According to the exponential nature of the GM(1，1)model，a background value calculation formula is derived by integrating in albino differential equations interval in references[1].This paper establishesmetabolic GM (1，1)model based on this formula.A practical example demonstrates the metabolic GM(1，1)model thereby established is higher accuracy than the traditional background value GM(1，1)model.It shows that themetabolic GM(1，1) model of improving background value is reasonable and can be used for deformation prediction.

background values；GM(1，1)model；metabolic GM(1，1)model

1672-8262(2013)03-137-03

P258，TU196

A?

2012—11—28

孫昌瑜(1988—)，男，碩士研究生，主要研究方向:變形監測數據處理。

國家自然科學基金(41071294)