圓心設(shè)站測設(shè)曲線的實用方法研究

羅清松，羅堯東

(西南科技大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院，四川綿陽 621010)

圓心設(shè)站測設(shè)曲線的實用方法研究

羅清松?，羅堯東

(西南科技大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院，四川綿陽 621010)

道路工程彎曲的地方一般需要加設(shè)緩和曲線和圓曲線作為直線道路的鏈接，對該類道路曲線工程，常用自由設(shè)站極坐標法對其進行詳細測設(shè)。而基于自由設(shè)站極坐標法測設(shè)帶有緩和曲線的曲線基礎(chǔ)上，考慮帶有緩和曲線的曲線測設(shè)中圓曲線圓心的特殊性，建立了將儀器架設(shè)在圓曲線圓心點上，采用偏角法一次性完成帶有緩和曲線的曲線中線測設(shè)的可行性數(shù)學(xué)模型，并分析其原理和測設(shè)方法。結(jié)合算例驗證了該方法的可行性和實用性且證實了該方法計算簡單，測設(shè)過程簡便、快速、實用，適用于施工現(xiàn)場。

曲線測設(shè)；圓心設(shè)站；緩和曲線；圓曲線；數(shù)學(xué)模型

1 引 言

線狀工程包括鐵路、公路、地鐵隧道和輕軌等因線路過長總會受到地形、地物、地質(zhì)及其他因素的約束，經(jīng)常要改變路線前進的方向。當路線方向改變時，在轉(zhuǎn)向處需要用曲線將兩直線連接起來。除了直線，曲線已經(jīng)成為線狀工程必不可少的部分。而在一般情況下，直線與曲線之間需要增設(shè)緩和曲線作為鏈接，我國道路建設(shè)彎曲的地方采用螺旋線作為緩和曲線用于保證車輛運行的安全與平順。因此，在線狀工程施工之前我們需要對帶有緩和曲線的曲線進行測設(shè)。曲線測設(shè)的方法有很多種，例如偏角法、切線支距法、自由設(shè)站極坐標法等。而隨著光電測距儀和全站儀的廣泛實用，自由設(shè)站極坐標法在曲線測設(shè)中發(fā)揮了極大的作用，不僅降低了原先的工作量，而且大大提升了測設(shè)精度，并以此在線狀工程曲線測設(shè)中得到了普及。自由設(shè)站極坐標法是把線狀工程的直線段、圓曲線段和緩和曲線段組合成的曲線通過坐標轉(zhuǎn)換歸算到同一的導(dǎo)線測量坐標系統(tǒng)中，便可計算放樣元素。而本文在自由設(shè)站極坐標法的基礎(chǔ)上，通過對緩和曲線和圓曲線的性質(zhì)分析，建立了三角形幾何數(shù)學(xué)模型，減少原先自由設(shè)站極坐標法的坐標轉(zhuǎn)換工作，且在圓心上設(shè)站仍然能夠計算出曲線放樣元素的方法。本文對圓心設(shè)站測設(shè)曲線的原理進行了分析，建立了數(shù)學(xué)模型，并詳解運用一實例采用該方法完成了對曲線中線的測設(shè)。

2 圓心設(shè)站偏角法測設(shè)曲線的原理

任意設(shè)站偏角法與極坐標法同一個原理。極坐標的原理，如圖1，A、B為已知點，P為放樣點，其設(shè)計坐標已知，在A點架設(shè)經(jīng)緯儀或全站儀，放樣一個角β，定出方向AC。然后在這個方向距離放樣s(AP的距離為s)便得到P點的實際位置。通過極坐標法原理可以知道極坐標法有兩個要素，一個是角度，一個是距離，我們稱之為極角和極距。和極坐標法一樣，偏角法也有和它相同的兩個要素，圓心設(shè)站法的極角μi是指以圓心O與ZH(0′)點的連線O′O與曲線上任意一點Pi到圓心O連線間的一個夾角；極距di是指曲線上任意一點Pi到圓心0連線的距離(如圖2)。如果能夠通過一定的數(shù)學(xué)幾何關(guān)系，計算確定Pi點的極角和極距，我們便能通過圓心設(shè)站將Pi點的位置確定下來。

圖1 極坐標放樣法

圖2 緩和曲線上任意一點在其切線坐標系中的位置

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 第一緩和曲線的放樣元素計算

圖2中，緩和曲線(螺旋線)以ZH點為原點O′，以其切線為X′軸，Y′軸垂直于X′，使得兩坐標軸將曲線夾在中間，構(gòu)成X′O′Y′切線坐標系，設(shè)li為曲線任意一點Pi的弧長，如圖2所示。

設(shè)緩和曲線任意一點Pi的坐標為x′iy′i則由文獻[3]得:

圖3中由式(1)、式(2)及勾股定理得在緩和曲線上任意一點到ZH點的弦長長度為:

圖3 帶有緩和曲線的曲線測設(shè)

注:c=Rl0為緩和曲線參數(shù)，R為圓曲線半徑，l0為緩和曲線長度；δi是指距緩和曲線起點為li的緩和曲線上一點Pi的旋切角。x′iy′i坐標公式中的n根據(jù)實際情況進行取值，一般全站儀放樣距離時，考慮其他因素的影響，放樣距離應(yīng)控制在500 m以內(nèi)，則n取值不會太大，一般為n=1，2，3。

則在△GVO中由余弦公式得:

再由正弦公式得:

∠OGV=arcsin{OV/GO·sin[(180°-α)/2]}

易知，ηI=∠OG Pi=∠OGV-δI

由△OGP，由余弦公式得:

則，μi=arcsin(GPi·sinηi/OPi)

其中GV=T為曲線切線長，α為轉(zhuǎn)向角都為已知數(shù)據(jù)；μi為極角，di為極距。

3.2 第一節(jié)圓曲線HY點到QZ點的放樣元素計算

根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可知:

∠GO(HY)=[360°-(180°-α)-2∠OGV-(α-2β0)]/2=90°-∠OGV+β0

則在圓曲線上的點的極角為:∠GO(HY)加上其在圓曲線上的弧長所對應(yīng)的圓心角之和。設(shè)li為圓曲線上任意一點Pi到ZH(HZ)點的弧長，則其極角為:

其中α-2β0為圓曲線的總圓心角。

而在圓曲線上的任意點的極距易知為圓曲線的半徑長，則極距為:di=OPi=R

其中，l0為緩和曲線長，L為曲線總長度，β0緩和曲線切線角。

3.3 其他部分曲線放樣元素計算

其他部分曲線測設(shè)包括第二節(jié)圓曲線(QZ點到Y(jié)H點)和第二緩和曲線的測設(shè)，該部分的測設(shè)方法以HZ點為后視點，放樣元素與第一緩和曲線和第一圓曲線的放樣元素相同，只是放樣角度時，轉(zhuǎn)向相反，在此不用闡述。

4 圓心設(shè)站法對現(xiàn)場條件的要求

圓心設(shè)站法在測設(shè)過程中應(yīng)當考慮設(shè)計道路在現(xiàn)場的具體環(huán)境。雖然圓心設(shè)站測設(shè)曲線避免了其他測設(shè)方法的過多設(shè)站和重復(fù)置鏡后視點的工作，但正是如此，圓心設(shè)站法一次設(shè)站測設(shè)曲線只能在圓心上設(shè)站的單一性使得它對現(xiàn)場條件有一定的要求。

在施工現(xiàn)場中，圓心點的位置處于河流、沼澤、農(nóng)田等導(dǎo)致無法在該點架站的條件下，不應(yīng)當考慮此法。另外在參考文獻[7]中作者提出采用標稱精度2 mm+2 ppm，2″的全站儀，考慮到精度問題，理想的放樣距離應(yīng)控制在500 m以內(nèi)。因此為了避免曲線過長造成圓心設(shè)站法極距的過大(最大的極距為圓心到直緩點和緩直點間的距離)，圓心設(shè)站法僅適用于最大極距小于等于500 m的曲線測設(shè)。對于極距大于500 m帶有緩和曲線的長大曲線，應(yīng)采取其他測設(shè)方法。而為了能夠在圓心架站一次性測設(shè)完曲線，應(yīng)考慮到圓心前方通視(如圖3ZH-O-HZ-YH-QZ-HY閉合區(qū)域)或者障礙物高度不能超過儀器中心到棱鏡桿高為5 m時棱鏡中心間的視線，如圖4所示。

圖4 圓心設(shè)站法現(xiàn)場條件要求

排除以上3個施工現(xiàn)場條件對圓心設(shè)站法測設(shè)曲線的影響，該方法將得以實施，并能更好地發(fā)揮其優(yōu)勢，簡單快速完成曲線的測設(shè)。

5 運用實例

某公路有一帶緩和曲線的曲線線路R=250 m，l= 63 m，α=46°34′52″，ZH點里程K101+137.89 m(如圖5)，運用圓心設(shè)站測設(shè)曲線法求曲線上每隔20 m一個細部點的放樣要素和詳細測設(shè)方法。

圖5 圓心設(shè)站法運用實例

5.1 曲線要素和參數(shù)計算

曲線要素包括圓曲線要素和緩和曲線參數(shù)，圓曲線要素有:切線長T，曲線長L，曲線外矢距E，切曲差q；緩和曲線參數(shù)有:切垂距m，圓曲線內(nèi)移值P，緩和曲線切線角β0，其計算結(jié)果分別為:

切曲差:q=2T-L=12.524 m

5.2 曲線放樣元素計算結(jié)果

根據(jù)上述推導(dǎo)公式得出該帶有緩和曲線的曲線每隔20 m一個細部點的放樣要素，在坐標公式中，取n= 2，則細部點放樣要素計算數(shù)據(jù)如表1和表2所示。

從上述計算所得的HY點放樣數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)中進行比較，極角較差為∠OG(HY)=14°22′40″-14°22′41″=-1″，距離較差為R=250-250.00004= -0.00004 m，兩者的較差都很小，應(yīng)屬于數(shù)據(jù)計算時位數(shù)取舍原因造成的，因此兩者較差的大小可作為檢驗放樣數(shù)據(jù)是否合格的依據(jù)，如果較差太大應(yīng)重新計算直到與理論數(shù)據(jù)幾乎相同，才可進行實際的曲線測設(shè)。而在對主點HY點和YH點時，為了減小計算誤差帶來的影響，應(yīng)將其測設(shè)數(shù)據(jù)歸為理論值，如上述例子中，HY點放樣是極距應(yīng)為圓曲線的半徑長250 m；極角應(yīng)為14°22′40″，而不是通過余弦定理和反三角函數(shù)所得到的14°22′41″。

第一緩和曲線放樣元素 表1

第一節(jié)圓曲線放樣元素 表2

注：鋪助計算數(shù)據(jù)∠OGV=82°50′21″，GO=252.631m，∠OG(HY)=14°22′40″

5.3 圓心的測設(shè)

對于圓心的測設(shè)，有多種辦法進行，選取兩種作為說明。一是在JD點架設(shè)儀器，后視ZH點，左轉(zhuǎn)(180° -α)/2(曲線是左偏情況)或右轉(zhuǎn)(180°-α)/2(曲線為右偏情況)，然后距離放樣R+E，便可得到圓心點；第二種在ZH點架設(shè)儀器，后視JD點，右轉(zhuǎn)角度∠OGV(曲線為右偏情況)或左轉(zhuǎn)角度∠OGV(曲線為左偏情況)，然后距離放樣GO便可得到圓心，GO的長度和∠OGV可通過上述計算所得。

5.4 曲線的測設(shè)

圓心點位置確定下來之后，在其上面架設(shè)全站儀，后視ZH點作為零方向，對于第一部分曲線，只需拔角各個細部點的極距(曲線右偏，則左拔角，左偏則右拔角)，確定放樣方向后，再距離放樣各個細部點的極角，便可得到包括主點在內(nèi)的各個細部點的位置。對于第二部分的曲線放樣數(shù)據(jù)測設(shè)方法與第一部分曲線放樣相同，只是需后視HZ點作為零方向；另外曲線右偏，則右拔角，左偏則左拔角便可得到剩余主點及各個細部點的位置完成曲線中線的測設(shè)。

6 結(jié) 論

本文給出了圓心設(shè)站測設(shè)曲線的方法及原理，且實例表明該方法具有以下優(yōu)點:

(1)該方法的放樣元素數(shù)據(jù)計算簡單，也可通過計算機編程計算得出，降低了數(shù)據(jù)計算的工作量，也確保了數(shù)據(jù)的準確性；

(2)采用該方法，各個細部點的極角、極距互不相關(guān)，因此誤差不累計，特別是在測設(shè)圓曲線時角度方向誤差不影響測設(shè)結(jié)果；

(3)該方法解決了因地形條件影響，不能在ZH (HZ)點或JD點架設(shè)儀器的問題；

(4)圓心設(shè)站測設(shè)曲線計算簡單，不搬站，且快速，但考慮到圓心設(shè)站法對現(xiàn)場條件有一定的限制性，因此該方法適用于視野開闊，地勢平坦的鐵路和公路曲線測設(shè)中。

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Study of Practical M ethod for Survey and Design the Curve on the Center

Luo Qingsong，Luo Yaodong
(Institute of Environment and Resource，Southwest University of Science and Technology，Mianyang 621010，China)

Curved road engineering generally require additional transition curve and circular curve as a link to the straight line road each other，its detailed surveying and designing commonly used polar coordinatemethod for free station positioning.On the basis of polar coordinatemethod for free station positioning to survey and design the curve，Considering the special nature of the center of circular curve，Established a feasibility mathematicalmodel for using deflection angle method for the Continuous setting out the curvewith the transition curves and analysis of its principles and surveymethod .By verifying the practicality and feasibility of themethod through an example，it is proved that themethod is simple calculation，and its survey and design process is simple，fast，practical and applicable to the construction site.

arrangement of curve；survey on the center；transition curve；circle curve；mathematicalmodel

1672-8262(2013)03-146-04

U412.245，P258

A

2012—09—04

羅清松(1990—)，男，本科生，主要研究方向:工程測量。