分數槽繞組的諧波計算

楊永平

(無錫市太湖特種電機廠，江蘇無錫214117)

0 引言

三相60°相帶分數槽繞組常應用在中小型電機中，常用的異步電動機JO2、JS、Y、Y2 系列中均有分數槽繞組。低轉速多極數的水輪發電機則應用更多。

令分數槽繞組每極每相槽數為q=q'/d，q'與d 無公約數，且d 不等于3，否則無法構成三相對稱繞組。為研究方便常在單元電機中進行分析。d 為奇數時單元電機定子槽數Z0=6×q'，極對數p0=d;d 為偶數時單元電機槽數為Z0=3×q'，極對數p0=d/2。三相電機對稱時，分數槽繞組的諧波中，3 及3 倍次諧波均為0，d 為奇數時，只有除3 倍數以外的奇數次諧波，即υ=6k±1，即υ=1，5，7…;當d 為偶數時，諧波為υ=3k±1，即υ=1，2，4，5，7…，有偶次諧波(式中k=0，1，2…)。同整數槽電機一樣，諧波也有規律性。若將主波及各次諧波排成矩陣，分成q'列，第一行q'個諧波。相當計算到Z0/2 次，稱之為半個周期;第二行q'個諧波則與第一行鏡象對稱，相當計算到Z0次，為1 個周期，以下周期重復。直槽時同一列的諧波數值相等。以q=7/5 為例，其諧波矩陣第1 行為1，5，7，11，13，17，19 次，矩陣共7 列。以q=5/4 為例，其諧波矩陣第1 行為1，2，4，5，7 次，共5 列。

如不考慮斜槽系數，則直槽時每一列諧波數值相等。利用這一特點，方便了諧波計算，我們只須計算出第1 行中q'個獨立諧波。諧波計算的方法有公式法、投影法、相位圖法、復數法等，本文敘述前三種。

1 普通分數槽繞組

這里指每個線圈邊等匝，亦即是等元件的60°相帶繞組，一般采用雙迭繞組。

1.1 公式法

分數槽繞組諧波計算公式在許多文獻中有介紹，相鄰槽距J 及分布系數Kd的計算式各有特點。本文列出A、B 兩組計算公式見表1。

表1 三相分數槽繞組系數計算式(q=q'/d 跨距Y)

表1 中相鄰槽距J 的計算式中，分子取+1 或-1，可以得到G1、J1及G2、J2兩組數據。顯然G1+G2=d，J1+J2=Z0。在單元電機中圓周上均布Z0槽，若相量1 到相量2 槽數為J1，方向逆時針，則順時針方向J2個槽，即Z0-J1槽必定在相量2 處。J 的計算應符合兩個要求:用相應的公式計算分布系數Kd，J1及J2兩者等同;以J1或J2為跨距進行線圈排列，結果都正確。這兩個J 都能同時滿足這兩個要求。例如q=6/5，G=4，分子取+1，J=29，而G=1，取-1，J=7。一般希望取J 為最小整數，而分子取+1 求得的J 未必最小。取+1 或-1，可以找到較小的J 值。

公式組A:d 為奇數時，兩個J 必定都為奇數，求分布系數Kd應取公式組A 中式(2)，分母為正弦函數，簡稱正弦法。d 為偶數時，q'必為奇數，求Kd應取A 組式(3)，分母為余弦函數，簡稱余弦法。

公式組B:J 計算式同A 組。d 為奇數時，求Kd取B 組式(5)(正弦法)。d 為偶數時，求Kd取B 組式(6)(余弦法)。

例1，三相交流電機定子42 槽，10 極，q=7/5，跨距Y=4，J 的計算式分子取+1，得G=2，J=17(或分子取-1，得G=3，J=25)，用A 組式(2)計算Kd，諧波計算結果見表2。用B 組式(5)計算Kd，最后計算結果見表3。

表2 q=7/5 Y=4 諧波計算(主波為P0=5 次)

表3 q=7/5 Y=4 諧波計算(主波為1 次)

例2，三相交流電機定子30 槽8 極，q=5/4，跨距Y=3。J 計算式分子取+1，算出G=1，J=4;或取-1，得G=3，J=11，用A 組式(3)計算Kd，其諧波計算結果見表4。用B 組式(6)計算Kd，計算結果見表5。

表4 q=5/4 Y=3 諧波計算(主波為P0=2 次)

表5 q=5/4 Y=3 諧波計算(主波為1 次)

A、B 兩組公式的共同點是:J 的計算式相同，d 為奇數時統一采用正弦法，d 為偶數時統一采用余弦法，不必區分G 及J 為奇數偶數，也不必區分諧波為奇次偶次，使用方便。兩組公式不同點是:B 組函數角度是A 組的P0倍，計算結果A 組主波為P0次，B 組主波為1 次。

兩組公式計算結果粗看不同，本質一致。公式組A 以單元電機周長作為基波波長，主波為P0次是指主波極對數。而公式組B 主波為1 次(基波即為主波)，公式組B 的諧波是相對于主波的諧波次數，其余次數均以主波次數為基準而排列。現代諧波計算一般取主波為P0次，由此求出各次諧波的相對幅值(Fν)及諧波幅值和(∑Fν)，故一般采用公式組A 為好。另外，兩種諧波次數的對比及相互轉化，有規律可循。

1.2 投影法

投影法源于槽相量星形圖。取每槽角度為A=2×π/Z0，將各槽相量按所在槽號作出槽相量星形圖，負相量反轉180°，再投影到X、Y 軸并合成歸并。υ 次諧波應先旋轉再投影歸并，以此求出主波及各次諧波繞組系數。

以上文q=7/5，Y=4 為例，Z0=42，P0=5，取其一相，槽號如下

槽號 -3 7 -11 15 16 -19 -20

只列出一半槽號，因為d 為奇數時，后一半槽槽號是前一半槽槽號加Z0/2，并反向。由此看出，沒有偶次諧波。求解結果同表2，主波為P0次。

以上文q=5/4，Y=3 為例，Z0=15，P0=2，取其一相，槽號如下

槽號 -3 6 7 -10 14

求解結果同表2(相當于用公式組A 計算)，有偶次諧波。投影法適用于任意排列繞組，當然也可用于分數槽繞組，也可用來驗證線圈排列是否正確。

若取每槽角度為P0×2×π/Z0(相當每槽的電角度)。如此投影歸并，求出主波及各次諧波繞組系數，結果同表1 的B 組，相當于用公式組B計算，主波為1 次。

1.3 相位圖法

首先作出相位圖，即相量圖的簡化方法。對采用雙迭繞組的普通分數槽繞組，一般是一行一對極360°電角度，每槽一大格，一大格分d 小格，線圈上層邊共P0行，下層邊P0行，共2×P0行。找出某一相所有正相帶的公共軸線、負相帶的公共軸線(以下簡稱相帶中心)以及相軸中心。

單元電機中，d 為奇數時，每相有2q'只線圈，4q'個線圈邊，在正(或負)相帶中心兩側各有q'個線圈邊，且為對稱分布。亦即每相共4 組，每組有q'個線圈邊。任取一組q'個線圈邊，其所在各槽中心到相帶中心的電角度(簡稱相帶角)，設共有N 種，分別為A1，A2，…AN。該組線圈邊所在各槽中心到相軸中心的電角度(簡稱相軸角)，分別為B1，B2，…BN，可取Bi=π/2-Ai，對應每一電角度Bi(或Ai)分別有Ni個槽相量。

d 為偶數時，單元電機每相有q'只線圈，2q'個線圈邊。相軸中心兩側，各有一組q'個線圈邊，且為對稱分布。但是在正(或負)相帶中心兩側一共只有一組q'個線圈邊，相對于正(或負)相帶中心分布不對稱。

按上述規律，可用多種方法求解。如任取一組q'個線圈邊，采用相軸角及正弦法，按式(9)求取繞組系數，則不必區分d 為奇數偶數，d 為偶數時也不分諧波為奇次偶次，因此計算公式形式上統一，比較方便。

式中，i=1，2…N。

上文例1，即定子42 槽10 極，q=7/5，Y=4，每大格電角度A=5×360°/42，每小格電角度Ad=A/5，作出相位圖，得相帶角Ai=0.5Ad、1.5Ad、2.5Ad、3.5Ad，取相軸角Bi=90°-Ai，對應的一組相量個數Ni分別為2，2，2，1(共4 種)，∑Ni=q'=7，按式(9)，求解結果同表3。

上文例2，即定子30 槽8 極，q=5/4，Y=3，每大格電角度A=2×360°/15，每小格電角度Ad=A/4，作出相位圖，得相帶角Ai=6°、-18°、30°、-42°(取相帶中心一側角度為正，另一側為負)，得到相軸角Bi=84°、108°、60°、132°，共4 種相量，對應的相量個數分別為2，1，1，1，即∑Ni=q'=5，按式(9)，求解結果同表5。

1.4 小結

對三相60°相帶正規普通分數槽繞組，上面三種計算諧波的方法中，公式法有A、B 兩組，B 組的函數角度是A 組的P0倍。A 組主波為P0次，B 組主波為1 次。相位圖法計算公式按“電角度”導出，其結果同公式組B，主波為1 次。投影法，一般取每槽角度為A=2×π/Z，計算結果同公式組A，主波為P0次。如取每槽角度為P0×2×π/Z0，計算結果同公式組B，主波為1 次。

2 分數槽正弦繞組

正弦繞組特點是符合理論匝比時相帶諧波全為0。若分數槽正弦繞組每極每相槽數為q=q'/d，其理論匝比等同整數槽正弦繞組，可參考文獻［4］、文獻［5］。雖然實際匝比總有偏離，相帶諧波不可能完全為0，但可以大大降低。線圈排列復雜，尤其是d 值較大時排列更復雜。相對而言，d=2 排列較簡單。分數槽正弦繞組諧波低，深入研究大有益處。計算分數槽正弦繞組各次諧波的方法有投影法、公式法等。為敘述方便，本文所述均為B 類正弦繞組。

2.1 投影法

用槽相量投影方法求取諧波，由于各槽線圈匝數不等，各槽相量幅值不等，必須將各槽匝數輸入。

例3，q=7/5B 類分數槽正弦繞組，假設某相匝數(取其一組q'=7 個)依次為43、38、32、25、18、12、7(離相帶中心越近匝數越大)，經分析，其中某一相各槽槽號及對應的線圈邊匝數如下。

槽號 1 -3 -4 -5 7 8 9 -11-12 -13 16 17 -20 -21

匝數 7 18 43 12 12 43 18 7 38 25 32 32 25 38

d=5 為奇數，只列出一半槽號，后一半槽槽號是前一半槽槽號加Z0/2，并反向。計算結果見表6。與表2 相比，∑FX42僅為普通分數槽繞組的39%。

表6 q=7/5 B 類分數槽正弦繞組諧波計算(主波為P0=5 次)

例4，q=5/4，B 類正弦繞組，假設匝數從大到小依次為42、35、25、15、8，經分析，其中某一相各槽槽號及線圈邊匝數如下所示。

槽號 1 2 3 -5 -6 -7 9 10-13 -14

匝數 8 42 15 15 42 8 25 35 35 25

計算結果見表7，與表4 相比，∑FX42僅為普通分數槽繞組的25%。

表7 q=5/4 B 類分數槽正弦繞組諧波計算(主波為P0=2 次)

例5，q=3/2，B 類正弦繞組，假設匝數從大到小依次為71、44、17，單元電機中某一相各槽槽號及線圈匝數如下所示計算結果見表8。

槽號 1 2 3 -6 -7 -8

匝數 17 71 44 44 71 17

表8 q=3/2 B 類分數槽正弦繞組諧波計算

2.2 公式法

本節公式由相位圖導出。整數槽正弦繞組的單元電機，相位圖上相量歸并后，每個極有2q'個線圈邊，每個極的正(或負)相帶中心兩側各有q'個線圈邊。線圈邊分布對相帶中心是對稱的，對相軸中心，也是對稱的。其中，對B 類正弦繞組而言，由正(或負)相帶中心兩側，該相各槽線圈邊匝數從大到小排列。

對分數槽正弦繞組，其規律要復雜得多。分數槽正弦繞組，其單元電機的相位圖只需畫P0行(每行360°電角度)。d 為奇數時，得到每相4q'個線圈邊，在正(或負)相帶中心(指公共軸線)兩側各有q'個線圈邊，且為對稱分布。設某一組q'個槽線圈邊所在各槽中心到相帶中心的電角度，分別為A1，A2…Aq'。該組線圈邊所在各槽中心到相軸中心的電角度(簡稱相軸角)，分別為B1，B2…Bq'，可取Bi=π/2-Ai。

d 為偶數時一個單元電機P0對極共2q'個線圈邊。在相軸中心兩側，各有一組q'個線圈邊，兩側對稱分布。這一組q'個線圈邊分布在相帶中心兩側，分布不對稱。對應每一電角度Bi(或Ai)，線圈邊匝數為Ni。

按上述規律，同樣可用多種方法求解。以下采用正弦法及相軸角。任取一組q'個線圈邊，所在各槽中心到相軸中心的電角度，分別為B1，B2…Bq'，對應的線圈邊為Ni匝。不分d 為奇數偶數，d 為偶數時也不必區分諧波為奇次偶次，統一按式(10)，由此求出繞組系數。

例3 中q=7/5，某相各槽線圈到相帶中心的電角度為Ai=0.5Ad，1.5Ad，2.5Ad，3.5Ad，4.5Ad，5.5Ad，6.5Ad，則相軸角Bi=π/2-Ai，用式(10)計算，匝數同上文，結果見表9，主波為1 次。

表9 q=7/5 B 類分數槽正弦繞組諧波計算

上面例4，q=5/4，一組q'=5 個線圈邊到相帶中心的電角度為Ai=6°，-18°，30°，-42°，54°(相帶中心一側為正，另一側為負)，而各線圈邊到相軸中心的電角度可取Bi=84°，108°，60°，132°，36°，設匝數同上，即對應匝數為42，35，25，15，8，按式(10)計算，結果見表10，主波為1 次。

表10 q=5/4 B 類分數槽正弦繞組諧波計算

例6，q=3/2，顯然P0=1，Z0=9，Ad=20°，每組有q'=3 個線圈邊，到相帶中心的電角度為A1=10°，A2=-30°，A3=50°，共3 種。各線圈邊到相軸中心的電角度可取80°，120°，40°，匝數同上文(從大到小依次為71，44，17)，用式(10)計算結果同表8。

3 結語

分數槽正弦繞組同整數槽正弦繞組一樣，對單元電機，計算到Z0/2 次時有q'個獨立諧波。d 為奇數時只存在非3 倍數的奇次諧波。d 為偶數時含有偶次諧波，并非只有非3 倍數的奇次諧波，即諧波次數的規律仍舊符合文獻［1］。分數槽繞組的諧波分布比整數槽更為密集，斜槽對分數槽繞組尤其重要。

［1］ 電機工程手冊.機械工業出版社1979.

［2］ 湯蘊璆.電機理論與運行.水利電力出版社，1983.

［3］ 許善椿.交流電機定子分數槽繞組的諧波磁勢問題.大電機技術，1999.3.

［4］ 楊政.無相帶磁勢諧波的三相繞組.中小型電機，1994.1.

［5］ 陳邦本.相帶磁勢諧波為極小值的等槽滿率三相雙層同心繞組.中小型電機，1995.4.