電磁波在有缺陷介質(zhì)中的傳播特性

李 莉 滕寶華 雷 雨

（電子科技大學(xué)應(yīng)用物理系，四川 成都 610054）

1 引言

隨著激光技術(shù)的發(fā)展，激光器逐漸被應(yīng)用到醫(yī)學(xué)、工業(yè)、核研究等很多領(lǐng)域.然而，應(yīng)用于激光系統(tǒng)中的光學(xué)元件在強(qiáng)激光作用下可以在短時(shí)間內(nèi)遭到破壞，致使激光系統(tǒng)無法正常工作.光學(xué)元件的損傷一直是限制激光向高能量、高功率方向發(fā)展的“瓶頸”［1，2］.

光學(xué)元件的激光損傷是由于激光與物質(zhì)的相互作用導(dǎo)致元件性能或者結(jié)構(gòu)發(fā)生了宏觀變化.眾所周知，所謂激光，它是具有單色性好，能量密度大，亮度高等優(yōu)良特點(diǎn)的電磁波［3］.激光和光學(xué)元件的相互作用包括很多物理過程，比如激光電磁場(chǎng)的傳播，熱傳導(dǎo)過程，力學(xué)過程等.然而所有相關(guān)物理過程的第一步應(yīng)該是激光在材料內(nèi)的傳遞過程.由此，研究光學(xué)元件的激光損傷機(jī)理可以從激光電磁場(chǎng)在介質(zhì)中的傳播入手.

麥克斯韋將電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律概括為四個(gè)方程式構(gòu)成的方程組——麥克斯韋方程組.原則上求解給定條件的麥克斯韋方程組，就可以得到電磁場(chǎng)的三維時(shí)空分布［4］.在大學(xué)物理教學(xué)過程中，大家對(duì)麥克斯韋方程組的認(rèn)識(shí)停留在它可以結(jié)合邊界、初始條件描述電磁波的時(shí)空分布這樣一個(gè)較為淺表的定性概念的認(rèn)識(shí)上.

本文中，我們以工程上光學(xué)元件的激光損傷為切入點(diǎn)，基于麥克斯韋方程組，以熔石英為例，利用時(shí)域有限差分法數(shù)值計(jì)算平面電磁波在表面和亞表面具有缺陷的熔石英中傳播時(shí)的電場(chǎng)時(shí)域分布，研究了電磁波在具有缺陷的材料中的傳播特性.并力求利用大學(xué)物理的基本知識(shí)解釋電場(chǎng)受到缺陷調(diào)制這一物理現(xiàn)象的物理本質(zhì).

通過本工作，可以量化和加深大家對(duì)電磁波傳播特點(diǎn)的理解，尤其可以認(rèn)識(shí)到在非均勻介質(zhì)中的電磁波的傳播特點(diǎn).同時(shí)本工作也具有強(qiáng)烈的工程應(yīng)用背景，可為激光約束核聚變研究中如何提高光學(xué)元件的負(fù)載能力提供理論支持.

2 物理模型

三維情況下麥克斯韋旋度方程［5］為

各向同性線性介質(zhì)中具有的本構(gòu)關(guān)系為

其中ε 表示介質(zhì)介電系數(shù)，單位為法拉/米（F/m）；μ 表示磁導(dǎo)系數(shù)，單位為亨利/米（H/m）；σ表示電導(dǎo)率，單位為西門子/米（S/m）；σm表示導(dǎo)磁率，單位為歐姆/米（Ω/m）.這四個(gè)參數(shù)稱為電磁參數(shù).顯然不同的介質(zhì)具有不同的電磁參數(shù).本工作中我們正是通過不同的電磁參數(shù)來區(qū)別不同的介質(zhì).其中σ和σm分別與介質(zhì)的電損耗和磁損耗有關(guān).真空中σ＝0，σm＝0，以及ε＝ε0＝8.85×10－12（F/m），μ＝μ0＝4π×10－7（H/m）.

在直角坐標(biāo)系中，式（1）、（2）展開整理后，各方向分量可寫為

以及

采用有限差分法，對(duì)以上兩個(gè)方程組進(jìn)行離散化.以x 方向?yàn)槔?/p>

其中，

根據(jù)時(shí)域有限差分法，我們將計(jì)算區(qū)域分為總場(chǎng)區(qū)和散射場(chǎng)區(qū)，在吸收邊界設(shè)置吸收邊界條件［5］.本文所采取的吸收邊界條件為最近幾年發(fā)展起來的完全匹配層（PML），對(duì)入射波有更好的吸收效果［6］.在總場(chǎng)邊界處設(shè)置入射波.

利用計(jì)算機(jī)語言將離散后的方程、邊界條件和初始條件描述出來.對(duì)各參數(shù)賦值后即可進(jìn)行計(jì)算.

3 數(shù)值計(jì)算及分析

在計(jì)算過程中，我們采用三倍頻入射激光，波長為351nm，其電場(chǎng)幅值為1.0V/m.考慮激光為TM 波（所有對(duì)電場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果都是x 方向的分量，即Ex）.計(jì)算過程中，網(wǎng)格尺寸為δ＝λ/12＝2.95×10－8（m）.

熔石英表面缺陷多種多樣，為簡化問題，本文以高斯形缺陷和球形缺陷為例，利用時(shí)域有限差分法求解麥克斯韋旋度方程，計(jì)算缺陷附近各位置的電磁場(chǎng)的瞬態(tài)分布.缺陷內(nèi)部為真空，其相對(duì)介電常數(shù)為1.0.

3.1 高斯形缺陷

圖2是熔石英亞表面高斯型缺陷的三維形貌示意圖，其中最底端坐標(biāo)為（0，0，0）.缺陷內(nèi)部為真空.缺陷表面滿足的三維數(shù)學(xué)公式：

其中，xOy 平面與材料表面平行，激光沿z 軸入射.（x0，y0，z0）為修復(fù)坑最底端坐標(biāo)，A，W 為控制高斯旋轉(zhuǎn)體形狀的兩參數(shù)，參數(shù)A 控制高斯球體的深度，參數(shù)W 控制高斯球體的寬度.其中TM 入射波入射面為xOz，垂直于材料表面，入射角為零.

圖1 高斯型缺陷的三維示意圖

設(shè)高斯型缺陷位于熔石英前表面，取缺陷的控制參數(shù)為A＝40δ，w＝30δ.修復(fù)坑最底端位置：（70δ，150δ，71δ）.圖2所示為x＝49δ的yOz平面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布.計(jì)算中總場(chǎng)邊界取為（120δ，250δ，120δ）.由圖可見，熔石英內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度呈對(duì)稱分布，熔石英玻璃內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布表現(xiàn)為受到強(qiáng)烈的調(diào)制，顯然這是由于高斯形缺陷的存在而導(dǎo)致的.從圖中可以看到缺陷附近的電場(chǎng)得到了加強(qiáng)，而在缺陷的正后方形成了一個(gè)較寬的激光散射區(qū).分析其原因，這是由于此時(shí)缺陷內(nèi)為真空，其相對(duì)介電常數(shù)為1.0，小于熔石英的相對(duì)介電常數(shù)2.25，所以就象在缺陷處設(shè)置了一個(gè)凹透鏡，入射激光受缺陷坑的散射作用，而在與周圍入射光重疊的區(qū)域進(jìn)行疊加，當(dāng)滿足干涉的相干相長時(shí)，光場(chǎng)強(qiáng)度得到加強(qiáng)，反之減弱從而形成如圖所示的電場(chǎng)分布形貌［7］.

圖2 x＝70δ的yOz 平面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布

3.2 球形缺陷

在材料加工過程不可避免地會(huì)產(chǎn)生表面再沉積層中的氣泡，金屬、氧化物的顆粒.我們以球形氣泡為例討論亞表面缺陷對(duì)入射激光電磁場(chǎng)的調(diào)制.圖3所示為亞表面三維球形缺陷的平面示意圖.圖4所示是熔石英亞表面氣泡對(duì)入射光場(chǎng)調(diào)制后的分布圖.計(jì)算中總場(chǎng)邊界取為（110δ，240δ，130δ）.氣泡半徑r＝20δ，其中心位置為（70δ，150δ，31δ）.由于氣泡的介電常數(shù)是小于熔石英（εr＝2.25）的，氣泡在此處的功能也等同于一個(gè)凹透鏡，入射激光電磁場(chǎng)受氣泡作用散射開，并與周圍的入射光再次疊加，數(shù)據(jù)顯示，經(jīng)氣泡對(duì)光場(chǎng)調(diào)制過后，氣泡周圍的最大電場(chǎng)強(qiáng)度約增強(qiáng)為原來的2倍，而在氣泡的后面區(qū)域形成了陰影區(qū).

圖3 亞表面三維球形缺陷的平面示意圖

圖4 氣泡附近電場(chǎng)強(qiáng)度分布

4 結(jié)論

本文基于麥克斯韋方程組的旋度方程，利用三維時(shí)域有限差分法，計(jì)算電磁波在有缺陷的材料內(nèi)部傳播時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度分布，詳細(xì)討論了熔石英亞表面和亞表面高斯型和球形兩種缺陷對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度的調(diào)制作用.發(fā)現(xiàn)當(dāng)缺陷內(nèi)部為真空時(shí)，材料內(nèi)部缺陷附近的電場(chǎng)得到干涉加強(qiáng)，而電場(chǎng)加強(qiáng)點(diǎn)勢(shì)必成為材料的薄弱點(diǎn)，在這些位置其激光功率密度會(huì)急劇上升，成為產(chǎn)生熔融和力學(xué)破毀的初始位置，這在工程上是非常危險(xiǎn)的.通過本工作，一方面大家對(duì)利用麥克斯韋方程組討論電磁波在材料中的傳播有更加深刻認(rèn)識(shí)，另一方面本工作也具有強(qiáng)烈的工程應(yīng)用背景，可為激光約束核聚變研究中如何提高光學(xué)元件的負(fù)載能力提供理論支持.

［1］Génin F Y，Kozloski M R，F(xiàn)eit M D.Contamination effects on optical damage.UCRL2ID20130003，1998

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