圓柱形磁鐵在金屬管中的下落時間

黃志雷 王 越

（清華大學，北京 100084）

1 引言

磁鐵在金屬管中，因為電磁感應而慢速下落的實驗，是電磁學課程中一個經典的演示實驗.這個過程的物理圖像是磁鐵下落在金屬管中產生感生電流，由楞次定律可知這個感生電流會阻礙磁鐵下落.雖然定性分析比較簡單，但是鮮有人對這個過程進行定量分析.本文希望從理論上，利用磁鐵、金屬管的各參數，對這個問題進行理論計算，并與實驗結果進行比較，將電磁學教科書上的知識應用到實際問題中.

2 理論計算

經觀察，在金屬管內壁半徑略大于圓柱磁鐵半徑的情況下，磁鐵在金屬管中下落時，很快達到恒定速度，保持該速度勻速下落.并且在下落時，磁鐵基本保持豎直，與金屬管共軸，即兩圓形表面平行于水平面，圓心與金屬管中心重合.因此，計算磁鐵在金屬管中豎直、勻速下落的速度，便可求得其在金屬管中的下落時間.

磁鐵周圍有一個磁場分布，當磁鐵以一定速度運動時，根據該磁場分布和速度，可以求得金屬管中的電流.而金屬管中的電流又會產生磁場，該磁場與磁鐵作用，對磁場下落產生阻力.當該阻力與磁鐵所受重力相等時，磁鐵在金屬管中勻速運動，此狀態即為所求.這里忽略了金屬管中電流產生的磁場的變化對金屬管中電流的影響.使用上述思路對磁鐵在金屬管中下落問題進行研究比較繁瑣，在計算時需要計算多次積分.從能量角度可以將計算簡化.當磁鐵勻速下落時，重力對磁鐵做功，重力勢能減少.由于磁鐵是勻速下落，因此重力勢能全部轉化為金屬管中電流產生的焦耳熱.當焦耳熱的熱功率與重力所做功的功率相等時，便是磁鐵勻速下落的狀態.

計算出磁場分布后，可以進而計算磁鐵運動時，在金屬管中產生的電流.可以將金屬管看作許多金屬圓環疊在一起.由于整個系統具有軸對稱性，因此金屬圓環之間沒有電流.每個金屬環產生的電動勢可以根據磁鐵產生的徑向磁場和磁鐵下落速度進行計算.當金屬管管壁厚度相對金屬管半徑非常小時，可以近似認為金屬環外徑和內徑中點所處點的磁場徑向分量，就是整個金屬環上每一點磁場徑向分量.

圖1 各物理量方向及位置示意圖

3 理論結果與實驗結果對比

對磁鐵在金屬管中的下落時間進行實際測量.實驗中所用圓柱形磁鐵直徑（13.97±0.02）mm，高（10.00±0.01）mm，剩磁（1.21±0.03）T，這些為磁鐵的已知參數.實驗使用3根長約1m，半徑約9mm，管壁厚度約2mm 的金屬管.材質分別為黃銅、紫銅和鋁.本實驗中，除了金屬管電阻率外，其余物理量都比較容易測量.本實驗使用四點法測量金屬管電阻，再依據金屬的形狀，得到金屬的電阻率.測量時，先用砂紙將金屬管兩端外層的氧化層打磨掉，再用銅箔進行包裹作為電極.測量時，兩端接入電流從－1A 變化到1A，得到電壓和電流的關系后進行線性擬合，進而得到金屬管的電阻.圖2是測量黃銅管電阻的數據的擬合圖.得到的不同金屬管的電阻和電阻率如表1.

圖2 測量黃銅管電阻的數據和擬合直線

表1 不同金屬管的電阻和電阻率

表2為磁鐵下落的理論時間與實際測量時間的對比，從中可以看出，該計算結果具有較高的精確度.這也可以說明，理論計算所做的抽象模型和假設是較為合理的.

表2 磁鐵下落的理論計算的時間與實際測量時間的對比

下面對結果進行簡要的分析和討論.從表2中可以看出，鋁的下落時間的理論值和實驗值之差明顯大于另外兩種金屬管.這是由于鋁的電阻率的測量有較大誤差.鋁在空氣中會迅速氧化，使得在打磨之后，鋁的表面依舊會出現對測量產生較大影響的氧化層.這意味著測量的電阻率要比實際電阻率大，計算的下落時間小于實驗測量時間，與結果在趨勢上相符.

還可以對磁鐵在金屬管中加速下落的時間進行粗略估計.金屬管中電流正比于磁鐵下落速度，磁鐵受到的阻力正比于電流.這樣磁鐵加速度與速度是線性關系，即a＝g－kv，g 是重力加速度，k為一常比例系數.這樣，下落速度的形式為vs（1－et/τ），其中vs是穩定速度，時間常數τ＝vs/g 反映加速運動時間.以紫銅為例，τ≈4ms，這意味著在當前測量精度下，加速下落過程確實可以忽略不計.

4 小結

理論上用磁荷法計算得到磁鐵磁場分布，進而得到磁鐵在金屬管中下落時間，與實驗測量的結果相符.從開始的理論建模到之后的具體計算、與實驗結果比較，這個過程將電磁學書籍中理想的理論公式應用到了具體的物理現象中.這個現象還存在一定的應用價值.比如磁鐵的剩磁是比較難測量的物理參數，在已知金屬管電阻率的情況下，可以利用這種方法對其進行測量.類似的，在已知磁鐵剩磁的情況下，可以對導體棒的電阻率進行測量，特別是如果導體棒的橫向電阻與縱向電阻不一致時，這種方法可以測量難以測量的橫向電阻.

［1］胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學與電動力學 上冊［M］.北京：科學出版社，2008，176～181

［2］梁燦彬等.電磁學 2 版［M］.北京：高等教育出版社，2004.303～307