混沌實驗教學之路

張連芳 傅敏學 劉瀅瀅 高 紅 柯偉平

（清華大學物理系，北京 100084）

混沌研究是20世紀物理學的重大事件.物理學對于不同的自然現象，如天體運動、布朗運動等，分別用確定論和概率論兩套不同的理論體系來描述，兩種體系在認識論上是對立的.作為非線性科學研究最重要的成果之一，混沌研究縮小了兩個體系的鴻溝.混沌研究表明，一個完全確定的系統，即使非常簡單，但由于自身的非線性作用，同樣具有內在隨機性.混沌既不是具有周期性和對稱性的有序，又不是絕對無序，而是可用奇怪吸引子等來描述的復雜有序——混沌呈現非周期有序性.

為了在物理實驗課程中增加非線性的內容，自2002年起，我們開設了混沌電路實驗.隨著實驗的深入和多次改型，我們堅持用分立元件與學生自組的實驗方案，堅持理論與實驗過程相結合.現在混沌電路實驗包括非線性元件電阻、電感或電容的選擇，倍周期分岔產生混沌的過程，混沌吸引子、電路波形和頻譜分析圖等混沌狀態顯示，計算機模擬混沌吸引子的演化過程等內容，成為一個頗有趣味的非線性實驗.

1 混沌的研究方法

混沌研究從非線性動力學方程y＝ax2＋bx＋c 開始，寫成參量方程

其中，μ（a，b，c）為參量集合；x 方次為2即是拋物線方程.研究方程隨時間t演化即為一階自治差分方程

下一時刻的xn＋1狀態取決于方程參數和當前狀態xn.方程（2）的一種標準形式為

方程（3）包含了混沌的主要特征［1］.研究xn隨k的演化過程用倍周期分岔圖（圖1）來表示，顯示了系統從穩定軌道經過倍周期分岔進入混沌的途徑，而且在混沌帶中呈現了新的周期窗口和自相似的分岔圖等復雜結構.

圖1 混沌演化的分岔圖

2 非線性電路中的混沌

研究非線性混沌電路，分析電路特性和產生周期、非周期振蕩的條件，可以了解混沌產生的方法和混沌現象的基本性質.

一個簡單而典型的非線性混沌電路如圖2，它又稱蔡氏電路（Chua's circuit），即三階互易非線性自治電路.其中的非線性元件是電阻RN（g＝1/RN），且呈現負阻性.L 和C2組成無損耗振蕩電路作為振蕩源.耦合電阻G（實際是電導）呈現正阻性，它與非線性電阻RN和電容C1組成耦合電路消耗能量，以防止由于非線性電路的負阻效應使電路中的電壓與電流不斷增大.

圖2 蔡氏混沌電路原理圖

電路的狀態方程式（即電路中節點或支路的電流、電壓關系式）為

其中，iN是非線性電阻RN上的電流.

圖2電路中的非線性元件為RN，是具有分段線性的負阻器件，其特性見圖3，數學表達式合式為

實驗中用于產生非線性電阻的方法很多，如單結晶體管、變容二極管以及運算放大電路等.最初蔡氏方案選用單一運放電路作為非線性元件的電路，俗稱蔡氏二極管［2］.為了方便調整，電路很快改為圖4的雙運放電路［3］，其伏安特性與圖3相似.實驗時，只需改變耦合電阻G，電路即可從穩定周期振蕩過渡到混沌狀態.蔡氏電路的混沌狀態，呈現出兩個無限多次循環的層狀結構以螺旋形式相互卷在一起，稱為雙漩結構（double scroll）.具有雙漩結構的吸引子稱為雙漩吸引子.將VC1－VC2信號輸入示波器x－y 軸可觀察雙漩結構，圖5表示改變G 的值，相圖VC1－VC2從單周期P，倍周期2P，4P，……單漩……3P……雙漩進入混沌的過程，這種過程與第一節的理論分析是一致的.

圖5 從倍周期分岔到雙漩吸引子

3 混沌電路實驗的擴展內容

3.1 非線性電阻RN 伏安特性的測量

RN的特性對混沌電路非常重要.在非線性電阻輸出端接入可變電阻和電壓表與電流表，可直接測量iR＜0區域RN的非線性伏安特性，各線段分段擬合后得

測量表明，這種電路在分段線性方面要求與混沌電路要求的理論特性相近.但是U 過大或過小時都出現了負阻向正阻的轉折，這是運算放大器進入飽和區的輸出現象，這個特性導致在電路中產生附加的周期軌道，對產生混沌吸引子和倍周期分岔軌道沒有影響.

圖6 雙運放RN 的實驗I—V 曲線

具有電路分析技能的實驗者也能從運放電路的參數分析得到電路輸出的伏安特性.根據運放的型號TL－082和輸出Swing電壓為±13V 等參數可得到與I1、I2基本相同的關系式，但I3差別比較明顯.具體原因可能是運放參數Swing電壓不一定準確或者別的未知因素.好在這段參數對產生混沌軌道沒有影響，暫時未做深究.

3.2 混沌電路的變化

電路中產生混沌現象的必要條件是電路中具有非線性器件，這種非線性器件可以是變容二極管（電容是端電壓的非線性函數），帶磁芯的電感或互感，非線性電阻等.電感變化產生的混沌電路如圖7，L2和C2用來產生混沌現象的振蕩電路［4］.電感線圈共有三個繞組，L0用于直流激磁，L1、L2為互感線圈，互感量為M.

圖7 帶電感的混沌電路

在i0一定條件下，電路方程是以i1、i2，u2為變量的三階方程.電路方程為

改變電感的參數，能夠實現電路從倍周期分岔，即從基頻（1P），二分頻（2P），四分頻（4P），八分頻（8P）……進入混沌狀態的過程.實驗中也可觀察到在混沌帶復雜的區域中部出現正規的周期窗口的過程.改變L0中電流、改變信號源V0sinωt幅值V0、改變信號源角頻率ω 等多種途徑都可以實現混沌過程.

3.3 蔡氏混沌電路的計算機模擬

從前面分析可以看出，蔡氏電路是一個三階非線性自治電路，而混沌過程是電路隨時間演化達到某種約束的穩定或非穩定狀態.計算機模擬對這樣的過程是容易實現的.我們用Mathematica編寫的程序可以模擬蔡氏電路方程的狀態，輸入L1，C1，R（R＝1/G）與RN的參數m0、m1、BP，就可以得到蔡氏電路的iL－uC2，uC1－uC2，iL－uC1的相圖和u1的波形圖，圖8用程序模擬了電路中波形變化及雙漩吸引子形成的過程.模擬程序也為正確選擇電路參數提供了分析的手段.

值得注意的是對蔡氏電路及其吸引子的研究已成為一種檢驗電路行為的診斷程序，Bilotta E，Pantano P［5］等用實驗電路和計算機模擬等手段得到幾百種蔡氏電路的吸引子，形成了令人嘆為觀止的吸引子博物館，為電路研究和混沌現象提供了龐大的案例.這樣的案例可能不是混沌電路研究完全必要的，但已成為電路和混沌現象研究的重要路徑.正如計算機對圓周率π的計算已達幾百位小數并不是現實世界的必需，而是檢驗計算機能力的一種重要判據.

圖8 程序模擬的蔡氏電路狀態圖

多年來混沌實驗的教學之路使我們感悟到：實驗是發現、檢驗和解決理論問題的基本和權威路徑，要重視用實驗解決問題的方法和能力；實驗提供了豐富多彩的知識和技術，而實驗設計者一定要具備寬厚的理論知識，熟悉和掌握現代的技術工具.

［1］郝柏林.從拋物線談起——混沌動力學引論［M］.上海：上海科教出版社，1995.1～35

［2］T.Matsumoto et al.，The Double Scroll（Part Ⅰ），IEEE Transaction on Circuits and Systems，Vol.CAS－32，1985，798～804

［3］王珂，田真，陸申龍.非線性電路混沌現象實驗裝置的研究［J］.實驗室研究與探索，1999，（4）

［4］曹惠賢，李蓉等.普通物理實驗教程［M］.北京：北京師范大學出版社，2007.302～309

［5］Bilotta E，Pantano P，Stranges S..A gallery of Chua attractors：Part I，International Journal of Bifurcation and Chaos.2007，17（1）：1～60