應用電勢梯度求場強時應注意的一個問題

張振川 王曉輝 李 博 安 雷

（軍械工程學院 學員2旅21連，河北 石家莊 050003）

在目前國內使用的大學物理教材中，大多數在系靜，即電E場＝部－分ΔU都.介由紹于了靜電電勢場與中電電場勢強的度可的疊微加分性關，利用這種微分關系更容易求得電場強度.然而在實際應用中，如何合理利用這種微分關系卻存在一些需要注意的問題.

1 提出問題

許多教材在討論電勢與電勢的微分關系應用時都以均勻帶電圓環軸線上電勢與電場強度的關系為例子.

例1 計算半徑為R、帶電量為q的均勻帶電圓環軸線上距離環心x 處的P 點的電場強度，見圖1.

解：先求電勢：

圖1

利用電勢與電場強度的微分關系在直角坐標系中有

可得

此結果與利用電場疊加原理得到的結果相同.

此例題給出了在已知某一直線上的電勢分布求電場強度的方法，很容易給初學者一種印象：只要知道某一直線上的電勢分布情況，就可以利用梯度關系求該直線上的電場強度.但這個觀點是正確的嗎？

仔細分析就會發現，上面的例子只是一個特例，并不適于一般情況.因為選取同樣是半徑為R、帶電量為q 的非均勻帶電圓環，討論其軸線上任意點的電勢和電場強度，其結論就會出現偏差.

計算可得非均勻帶電圓環軸線上的電勢為

與均勻帶電圓環軸線上的電勢分布相同.

如果仿照前面的方法也會得到

而由于軸線上的電勢U 只是x 的函數，故Ey＝Ez＝0.但如果利用場強疊加原理分析就會發現結果存在問題.均勻帶電圓環軸線上一點的場強由于環上電荷呈軸對稱分布，環上全部電荷的dE⊥互相抵消，故只有x 軸方向的投影.而非均勻帶電圓環的電荷分布不存在軸對稱，其環上全部電荷的dE⊥無法完全互相抵消，而會有部分剩余體現在y 軸和z 軸的投影，通常不會出現Ey＝Ez＝0的情況.

對此結果進行比較，不免出現一個疑問：同樣是利用電勢與電場強度的微分關系，為什么會出現不同的結果？

2 分析問題

由于電場中各點電場強度與該點的電勢梯度等值而反向，故可以從梯度的性質出發來探尋用電勢梯度求場強的適用性.對于一個可以用連續函數U （x ，y，z） 表示的數量場梯度的定義是：對其沿任意的l方向求其方向導數，

當l的方向分別取x、y、z軸的方向時可得

上式中，α1、β1、γ1分別是E 與x、y、z 軸正向的夾角.

由以上推導可以看出：在靜電場中，雖然只確定某一特定軸向上的電勢情況下得不到該軸線上的電場強度，但可以得到其在軸向上的投影.

下面分析均勻帶電圓環和非均勻帶電圓環軸線上的情況.

對于均勻帶電圓環，由于環上電荷呈軸對稱分布，環上全部電荷的dE⊥互相抵消，其軸線上的場點滿足α1＝0的情況，即場強E 的方向與x 軸正向相同，故

對于非均勻帶電圓環，其軸線上不滿足α1＝0的情況，故只滿足

例如求均勻帶電量為q的半徑為R 半圓環軸線上距環心x 處的電場強度.

圖2

利用電勢疊加原理可得

其中，λ·πR＝q于是上式可寫為

利用電勢與電場強度的微分關系可得

而利用場強的疊加原理可得其場強

可以看到：利用場強疊加原理得到的電場強度在x 軸方向的投影與利用電勢與電場強度的微分關系得到的結果相同.

3 結論

利用電勢微分與電場強度的關系求場強在許多教科書中都有涉及，但其例題及習題大都是特殊情況下的計算，如求均勻帶電細棒中垂面、延長線的電勢與場強，求均勻帶電圓盤中垂線上的電勢與場強等.雖然部分教材中指出了由于電場具有對稱性才采用了一維簡化的形式，但這種編排容易讓初學者產生誤解.故在講解此類例題時建議強調其特殊性.

［1］康穎.大學物理（上冊）［M］.北京：科學出版社，2010.

［2］費里德曼.西爾斯當代大學物理（上冊）［M］.鄧如鐵，孟大敏，徐元英，等譯.北京：機械工業出版社，2009.

［3］吳百詩.大學物理基礎（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］張三慧.大學基礎物理學（下冊）［M］.北京：清華大學出版社，2003.