矢量管法證明電磁場中高斯定理

張建軍

（石河子大學物理系，新疆 石河子 832000）

電磁場中高斯定理的證明方法已經有不少文章作過討論，這些方法各有優缺點，大體上可分為兩種，一是邏輯嚴密且數學應用較多，但不夠直觀，對數學基礎不夠的學生理解起來比較困難［2，3］，二是有些方法深入淺出，容易被學生接受但缺乏邏輯的嚴密性［4，5］.現在通常用的工、農、醫、藥學類專業的大學物理教材中對電場中的高斯定理和磁場中的高斯定理的處理方法一般不相同，對電場中的高斯定理給出了詳細的證明方法，而磁場的高斯定理基本上是一句話帶過：“對于高斯曲面每條磁感應線穿入一次穿出一次所以總通量的貢獻為零”，實際上是沒有證明，只是給出個結果，這樣的方法很難使學生信服.隨著中學物理和大學物理教學改革的深入，很多高校的大學物理教學學時不斷被壓縮，入校學生的基礎知識差別也比較大，如何在有限的時間內給出一種簡單直觀、容易理解的證明方法就成了工、農、醫、藥學類專業在電磁學高斯定理教學中的一個問題.實際上，大學物理課程進行到電磁學部分時，學生已經學過流體力學部分的內容，將流體力學中的連續性原理遷移到磁場中來證明高斯定理在教學實踐中具有很好的操作性.具體教學實踐中參考以下過程.

1 流體力學中的連續性原理

在同一流管中，對于定常流動：

其中，v為流速，S 為對應的面積，兩邊求導寫為微分形式，有

推廣一下，見圖1，當速度與面元方向不一致時可進一步寫為

接下來引入矢量管的概念，說明定常流動（有的教材也稱為穩定流動）的流速場與恒電磁場的共性：

（1）兩者都是矢量場，都可以用場線來描述其大小和方向.

（2）流速場和靜電場、恒磁場都只是空間的函數與時間無關.因此在磁場中可以引入磁場矢量管，因而也有

（3）引入矢量管的模型：并證明在數學意義上流體矢量管和磁感應強度矢量管是完全相同的.

圖1 矢量管模型

2 證明磁場中的高斯定理

如圖2所示，由于磁感應線是閉合的，因此磁感應管也一定是閉合的，對于任意一微小磁場管L，在其與高斯面相交時必然截下兩個小面元，有：B1·dS1＝B2·dS2，對于高斯曲面，面元方向約定為指向由內向外為正，從圖2上容易看出磁感應管穿出為正，穿入為負，因此整個磁感應管對高斯曲面的通量貢獻必然為零，有

磁場中的高斯定理得證.

圖2 磁場中的高斯定理證明

3 證明通過任意曲面的電通量和通過球面的相等

首先利用常規方法證明一個點電荷處在球心上時對整個球面的電通量只與該電荷的電量有關［1］.如圖3所示，以正電荷q 為頂點向四周發出電場線形成電場管，引導學生發現圖3中的矢量管，在靜電場中，電場強度大小方向只與空間有關與時間無關的特點與穩定流動的流速場分布類似，由圖3 可知，對任意一簇電場線構成的矢量管，在球面和任意曲面的通量大小總是相同的，當面元取遍球面時，包圍球面的任意曲面也取完，因此通過球面的電通量與通過任意面的必然相等.

若電荷處在曲面外，見圖3，通過面元1與面元2的通量大小相等，但正負相反，因此正好抵消.

圖3 球面和任意曲面

對于高斯曲面有折疊的特殊情況用圖4（a）來證明.在圖4 中很容易看出，如果高斯曲面有折疊，場矢量管穿入和穿出的次數是成對出現的，穿出為正，穿入為負，大小相等，相互抵消，并不影響上述3節中的結論.用圖4（b）證明當電荷處在高斯曲面外時，對高斯曲面的通量也是成對出現，一正一負相互抵消.

圖4 閉合曲面有折疊情況

至此，電場的高斯定理的內容已經完全得到證明.

4 結語

電場線和磁場線本來就是法拉第受到流體力學中流線的啟發而引入的，本文將流量矢量管和連續性原理一并“遷移”過來，應用于教學實踐，使證明本身直觀而易于理解，又不失嚴密性，對于大學一年級學生來說，特別是數學準備知識不夠的部分專業，避免了介紹立體角的概念.本文提供的思路特別在證明磁場的高斯定理時說服力明顯增強，并且使電場和磁場中的高斯定理從證明方法上統一起來，適合于大學非物理專業普通物理課程的教學.有利于引導學生歸納總結的學習方法，并啟發學生對所學的其他知識點也進行類似的思考，更重要的是這種知識遷移的思想，能夠啟發學生去發現不同知識體系之間相互關系.這一點比知識本身更有意義.

［1］舒辰慧.物理學［M］.北京：人民衛生出版社，2005.1（4），121－123.

［2］雷桂林，鄭偉強.再談穩恒磁場的高斯定理的證明［J］.甘肅教育學院學報：自然科學版，1999，13（4），77－78.

［3］陳鉞鋮.關于高斯定理證明的教學探討［J］.湖南理工學院學報：自然科學版，2004，17（1），29－31.

［4］郭慧城.高斯定理的另一種證明［J］.吉林師范大學學報：自然科學版，2006，02，103.

［5］郭文立.靜電場高斯定理的證明與證明中存在的一個問題［J］.濮陽教育學院學報，2001，14（4），43.

［6］王旭.穩恒磁場高斯定理的一個證明［J］.大學物理，1982，（01）：16－17.