雙層錯位頻率選擇表面的電磁特性分析

馬 鑫 萬國賓 萬 偉

（西北工業大學電子信息學院，陜西 西安710129）

引 言

1 模型建立與理論分析

頻率選擇表面（FSS）具有空間濾波特性，在濾波器、天線副反射面等方面有著廣泛的應用.其中多層級聯FSS結構因其在帶寬、角穩定性和濾波等方面的顯著優勢而備受青睞.對于副反射面通常是曲面結構，在實際加工中，FSS屏加載面的曲率半徑與面積差異將會導致不同層的FSS單元中心無法對準，柵格單元出現相對錯位.這種單元周期錯位會直接影響多層FSS結構的濾波特性［1-7］.由于精確建模方法的計算效率限制，目前大型曲面陣列結構的電磁特性分析只能采用基于局部平板等效的高低頻混合方法來進行，從而使平面雙/多層錯位FSS的電磁特性分析成為解決這類工程技術問題的關鍵之一.

多層FSS結構的數值分析方法主要有兩種，一種方法是把每層FSS作為單獨的模塊，通過廣義散射矩陣［8-9］對各模塊進行級聯的方法；另一種是依據電磁場邊界條件建立一組耦合積分方程［10-11］的方法.其中，耦合積分方程法從本質上考慮了層間場的電磁耦合，真實地反映結構特性，具有更高的分析精度.目前這些方法大多是針對理想級聯的周期結構，關于錯位誤差影響的研究較少.文獻［1］-［3］基于平移錯位的雙層FSS結構，采用耦合積分方程法對偶極子單元的可機械調諧FSS進行了原理性的分析.文獻［4］借助仿真軟件研究方環形縫隙單元的頻率調諧特性.文獻［5］和［6］基于錯位誤差模型選用屋頂基函數，通過改變有限照度函數的定義范圍實現了雙層錯位的數值分析計算，但文中僅針對縫隙結構單元考察軸向的錯位問題.文獻［7］應用仿真軟件分析了錯位誤差對圓環縫隙單元傳輸特性的影響.

本文基于耦合積分方程法建立了雙層錯位FSS的電磁特性分析理論模型，提出了一種適用于任意形狀單元任意方向錯位的雙層FSS結構電磁特性的分析計算方法.文中首先對理想雙層FSS結構進行理論分析，其次建立雙層錯位FSS結構的分析模型，根據周期邊界上導體表面電流的連續性準確描述導體表面的電流，給出錯位結構的耦合積分方程并采用矩量法求解，最后以方環和方形貼片單元為例，驗證算法的準確性并分析任意方向錯位的雙層FSS結構散射特性.

雙層FSS模型及其坐標系如圖1所示.雙層FSS由周期排布、單元尺寸完全相同的單屏FSS（I）和FSS（II）級聯組成，x、y方向的周期分別為Tx、Ty，兩層FSS之間的介質層厚度為d，介電常數為εr.均勻平面波沿 （θi，φi）方向照射，z＝0處入射場切向分量與x軸的夾角定義為入射極化方向φE.FSS（I）單元的幾何中心為O點，FSS（II）單元的幾何中心為O′點.對于理想級聯結構，O點與O′點的連線OO′沿z軸方向，兩層FSS單元的幾何中心無偏差.在實際加工中，可能使得OO′偏離z軸方向，兩層FSS相對錯位.

圖1 雙層FSS模型

1.1 理想雙層FSS的理論分析

依據邊界條件建立雙層FSS電磁特性分析的耦合積分方程為［12］

采用RWG基函數將導體表面的未知感應電流展開，如圖2（a）示.各層展開的基函數個數相同，記為N1.采用Galerkin法將積分方程化為矩陣方程

圖2 FSS單元

式中：n1，m1，n2，m2＝1，…，N1；Ini為第i層導體表面未知感應電流的系數，矩陣元素可表示為

1.2 雙層錯位FSS的理論分析

針對錯位結構定義O′點相對于O點沿x、y軸方向的錯位量分別為dx、dy，xoy面內的總錯位量為Δ＝d2x＋d2y，錯位方向角φ為OO′在xoy面內的投影與x軸方向的夾角，如圖2（b）示.

以FSS（I）單元周期為基準，則FSS（II）單元在計算周期內被截斷，并且周期內FSS（II）的單元形狀隨錯位量的不同而改變.采用RWG基函數分別將第一層和第二層FSS導體表面的未知感應電流展開.其中，周期內FSS（I）的幾何單元完整，基函數展開個數仍為N1.FSS（II）被計算周期截斷，幾何單元由Ng個RWG基函數展開，如圖2（b）中實線剖分所示.考慮到FSS（II）邊界上導體表面感應電流的連續性，應計入邊界上連續分布電流的基函數.

在周期邊界附近FSS（II）單元導體表面剖分的三角形與其相鄰周期單元內剖分的三角形存在公共邊，兩相鄰三角形構成了邊界電流的RWG基函數，如圖2（b）中虛線剖分所示.邊界連續分布的電流由Nc個邊界電流的RWG基函數展開.其中，沿y方向FSS（II）單元周期邊緣的上邊界和下邊界與其相鄰單元均存在公共邊，依據FSS結構的二維周期性，則只應計入其中一條公共邊上的連續電流.同理，沿x方向FSS（II）單元周期邊緣的左邊界和右邊界中也只需計入其中一條公共邊上的連續電流.圖2（b）中虛線剖分所示為計入了單元上邊界和右邊界電流的基函數.FSS（II）周期單元展開基函數的總個數N2為

對于雙層錯位FSS結構，式（2）應寫為

式中：n1，m1＝1，…，N1；n2，m2＝1，…，Ng；n3，m3＝1，…，Nc；In1為FSS（I）完整周期單元的未知電流系數；In2為FSS（II）幾何單元剖分的未知電流系數；In3為FSS（II）周期邊界連續電流的未知系數.矩陣元素可表示為

式中：i，j＝1，2；s，t＝1，c，g.求解式（6）可得到In1、Ing、Inc及散射場，雙層錯位FSS結構的反射系數R可表示為：

式中：E＋為入射波照射在無金屬屏的介質層時產生的反射場與雙層FSS導體表面感應電流產生的反射場之和；γ為沿z軸方向波數.

2 算例、結果與分析

基于上述理論方法，首先分別以方環形和方形貼片FSS為例，通過雙層錯位FSS反射系數的計算驗證算法的準確性，然后以方環形單元FSS為例研究錯位距離、層間距和入射極化方向對雙層FSS反射特性的影響規律.其中方環形單元FSS的結構參數為Tx＝Ty＝12mm，內外環邊長L1＝10mm，L2＝8mm，介質層參數εr＝2.08；方形單元FSS的結構參數為Tx＝Ty＝20mm，貼片邊長L＝10mm，介質層參數εr＝1.58.

2.1 算法的準確性

圖3和圖4分別給出平面波以φE＝0°垂直照射時，沿φ＝45°方向錯位、dx＝0.5Tx的雙層方環形FSS和雙層方形FSS反射系數的數值計算和Designer軟件仿真結果.其中，雙層方環形FSS選擇d＝6mm，上下層單元分別離散為N1＝136，Ng＝88，分別考察了考慮上邊界和右邊界邊緣連續電流Nc＝4的錯位模型與不考慮Nc＝0周期邊界邊緣電流連續性的錯位模型；雙層方形FSS選擇d＝2.35mm，上下層單元分別離散為N1＝105，Ng＝138，分別考察考慮下邊界和左邊界邊緣連續電流Nc＝12的錯位模型與Nc＝0的錯位模型.采用Designer軟件仿真時設置邊界為“infinite array/FSS”.由結果可以看出：考慮周期邊界電流連續性Nc≠0時數值計算結果與Designer軟件仿真結果完全吻合；周期邊界截斷單元的電流對計算結果影響很大.

2.2 層間距對電磁特性的影響

圖5給出沿φE＝0°方向極化垂直入射時，無錯位和沿φ＝0°方向錯位，dx分別為1.5、3、4.5、6 mm的雙層FSS結構的中心頻率f0和1dB帶寬隨層間距d變化的曲線.可以看出：d相同時，錯位導致f0偏移，帶寬明顯改變；當d小于3mm（約1/10介質波長）時，Floquet衰減模在層間發生反射，層間耦合較強，錯位導致f0大幅偏移，相對頻移30.34%，并且帶寬劇烈變化，相對變化81.8%；隨著層間距離增大，衰減Floquet模指數衰減，層間耦合變小，錯位結構的f0于帶寬在無錯位結構的f0與帶寬附近緩慢變化，錯位對雙層FSS散射特性的影響逐漸減弱.

圖5 層間距對FSS電磁特性的影響

2.3 入射極化方向φE對電磁特性的影響

下面以d＝4mm結構為例，分別觀察垂直入射和斜入射情況下，入射極化方向對錯位結構反射特性的影響規律.

1）垂直入射

圖6給出以φE分別為0°和90°方向垂直入射時，Δ相同，錯位方向φ分別為30°和60°兩種錯位模型的反射系數曲線.由圖6可以得到以下結論：以兩個互余角度的極化方向分別照射錯位方向互余、Δ相同的兩種錯位模型，當入射極化方向與錯位方向的夾角相同時，兩種錯位結構的散射特性相同.因此只需要研究錯位方向小于等于45°結構的散射特性，錯位方向大于45°結構特性的變化規律可由此互余關系得到.

以φ＝30°錯位為例，圖7給出了分別沿0°、30°、60°和90°極化方向入射時，雙層錯位FSS的f0、1dB帶寬和插入損耗隨錯位量變化的曲線.由圖7（a）可以看出，任意極化方向入射時，隨著錯位量增加，f0升高；φE＞45°入射時，f0偏移幅度較大，最大偏移達到0.5GHz.由圖7（b）和（c）可以看出：φE＜45°時，隨著錯位量的增加，帶寬由5.2GHz降低到4.2GHz，插入損耗急劇增大，當dx＝4.5mm時，性能達到最差；φE＞45°時，帶寬和損耗緩慢增加，變化幅度較小.2）斜入射

圖8給出了θi＝30°入射，TM極化φE分別為0°、30°、60°和90°入射時，雙層FSS的f0、1dB帶寬和插入損耗隨錯位量變化的曲線.由圖8（a）和（c）可以看出：斜入射時，隨錯位量增加中心頻率和損耗的變化規律與垂直入射情況相同，f0最大偏移0.3GHz，損耗變化幅度增加.由圖8（b）可以看出，任意極化方向入射時，錯位導致帶寬降低；當φE＜45°入射時，帶寬變化劇烈，最大降幅達到2GHz，相對變化40%.

圖8 斜入射時φE對FSS電磁特性的影響｀

3 結 論

基于耦合積分方程建立了雙層錯位FSS電磁特性分析理論模型，并對錯位FSS的電磁特性進行了研究.理論分析和數值算例表明：

1）基于耦合積分方程的分析方法可以有效分析雙層錯位FSS結構的電磁特性分析，周期邊界截斷單元的電流對計算結果影響很大.

2）雙層FSS的屏間距小于1/10介質波長時，錯位導致中心頻率大幅偏移，帶寬劇烈變化；隨屏間距增大，錯位的影響逐漸減弱.

3）隨著雙層FSS的錯位量增加，中心頻率和插入損耗逐漸升高，電磁特性的變化幅度與入射方向和錯位方向有關.

4）垂直照射時，φ＜45°方向錯位φE＜45°極化入射引起雙層FSS頻率響應較大衰減，帶寬急劇減小；φ＞45°方向錯位的影響可由互余關系得到；斜入射時特性變化規律與垂直入射情況相同，以任意極化方向入射時帶寬均減小.

［1］VARDAXOGLOU J C，LOCKYER D.Modified FSS response from two sided and closely coupled arrays［J］.Electronics Letters，1994，30（22）：1818-1819.

［2］LOCKYER D，VARDAXOGLOU J C.Reconfigurable FSS response from two layers of slotted dipole arrays［J］.Electronics Letters，1996，32（6）：512-513.

［3］ZHANG W X，SONG H X.Analysis of mechani-cally tunable frequency selective surfaces［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，1997，8（4）：7-16.

［4］馬 達，章文勛.雙層方環縫隙FSS的機械調諧特性［J］.中國電子科學研究院學報，2007，2（6）：583-587.MA Da，ZHANG Wenxun.Mechanically tunable charac-teristics of double-layer FSS with square-loop slot elements［J］.Journal of CAEIT，2007，2（6）：583-587.（in Chinese）

［5］何 斌，叢玉良.裝配誤差衰減雙屏"十"字環FSS傳輸特性研究［J］.光學精密工程，2006，14（4）：704-708.HE Bin，CONG Yuliang.Effect of fabrication error on FSS transmission performance attenuation of double screen cross loop slot［J］.Optics and Precision Engineering，2006，14（4）：704-708.（in Chinese）

［6］CONG Y L，CONG C M.Effects of fabricated error on transmission performance of double screens cross loop slot FSS configuration［C］∥IEEE Proceedings of 2006 7th International Symposium on Antennas，Propagation and EM Theory.Guilin，October 26-29，2006：385-388.

［7］ZHENG K，WAN G B，MA X，et al.Transmission properties of double-layer FSS with various relative lateral displacements between two surfaces［C］∥Proceedings of 2011Cross Strait Quad-Regional Radio Science and Wireless Technology Conference.Harbin，July 36-30，2011：115-118.

［8］HALL R C，MITTRA R，MITZNER K M.Analysis of multilayered periodic structure using generalized scattering matrix theory［J］.IEEE Trans Antennas and Propag，1988，36（4）：511-517.

［9］VACCHIONE J D，MITTRA R.A generalized scattering matrix analysis for cascading FSS of different periodicities［J］.IEEE AP-S Digest，1990，1：92-95.

［10］POUS R，POZAR D M.A Frequency-selective surface using aperture-coupled microstrip patches ［J］.IEEE Trans Antennas and Propag，1991，39（12）：1763-1769.

［11］武振波，武 哲，呂明云.雙層頻率選擇表面電磁特性數值模擬研究［J］.電波科學學報，2004，19（6）：663-668.WU Zhenbo，WU Zhe，Lü Mingyun.Numerical simulation for electromagnetic characteristics of double-layer frequency selective surfaces［J］.Chinese Journal of Radio Science，2004，19（6）：663-668.（in Chinese）

［12］WU T K.Frequency Selective Surface and Grid Array［M］.New York：John ＆ Wiley，1995.

［13］KIM M，PETER S S.The Fourier transform of linearly varying functions with polygonal support［J］.IEEE Trans Antennas and Propag，1991，39（9）：1441-1443.