圓筒型無鐵心永磁直線電機空載磁場解析計算

董劍寧 陳艷龍 黃允凱 金 龍

(東南大學電氣工程學院，南京210096)

直線電機無需借助機械齒輪、滾珠絲杠等轉換裝置即可實現直線運動，具有結構簡單、動態性能好等優點，近年來在交通運輸、伺服控制、建筑工程、醫療器械等領域獲得越來越廣泛的應用.

高精度伺服應用要求永磁直線電機具有盡可能低的定位力矩和單邊力矩.因此，采用無槽動子的圓筒形永磁直線電機成為此類應用的首選.這種電機定子永磁體分為表貼式和內嵌式2 種:前者沿徑向充磁，貼裝在磁軛的表面;后者沿軸向充磁，嵌在鐵心之間［1－2］.為進一步降低動子慣量以提高電機加速能力，可采用無鐵心動子結構［3］.此時，為增強主磁場，定子一般采用Halbach 陣列結構或內嵌式的聚磁結構［4］.

文獻［5］提出一種定、動子均無鐵心的圓筒型無鐵心永磁直線電機結構.其定子由軸向充磁的圓柱型永磁體組成，相鄰永磁體充磁方向相反，且緊貼在一起，中間無鐵磁性極靴.與普通的定子無鐵心圓筒型直線電機相比，該電機對永磁磁通的利用率更高，對動子偏心的敏感度更低，運動過程中繞組電感變化更小，因而具有更高的效率和控制精度［6］.目前，這種結構的圓筒型無鐵心永磁直線電機已在納米級高精度伺服系統中獲得應用［7］，但國內外關于此種電機電磁場分析的文獻較少.

為準確分析直線電機的電磁場分布，優化電機設計，國內外學者提出了多種方法.其中最常用的是等效磁路法［8］，該方法簡單易用，但存在模型不準確的問題，在漏磁較大或磁路復雜時尤為嚴重.采用有限元法［9］可以對復雜邊界、多種媒介以及非線性、飽和等問題進行有效處理，具有明顯的優越性，但前處理和計算耗時較長，不適合在電機優化設計的迭代計算中使用，一般用于確定各項尺寸參數后的電磁性能核算.使用解析法計算電磁場可以克服上述2 種方法的缺點，其特點是計算時間短，且不需要復雜的前處理，能直觀地表述各項參數對磁場分布的影響，以便調整參數進行優化設計.但解析法不能考慮鐵心磁導率的非線性，僅適用于磁路飽和程度低的場合.文獻［1，10－11］均為解析法在直線電機電磁設計中的典型應用.

本文所研究的圓筒型無鐵心永磁直線電機定、動子上均無鐵心，磁路線性且具有高度對稱性，非常適合解析法的應用.本文首先在圓柱坐標系下采用磁荷模型計算出單個圓柱形永磁體的磁場分布，再應用疊加原理得到整個電機的氣隙磁場分布.之后在空載磁場的基礎上推導出電機反電勢和推力表達式.最后通過有限元軟件對解析計算結果進行驗證，證明了該解析法的正確性.

1 磁場計算

1.1 磁荷模型

在無電流的永磁體和空氣區域，磁感應強度矢量B 和磁場強度矢量H 滿足下式:

根據矢量場的亥姆霍茲定理，存在標量φm，使

再將永磁體本構關系B =μ0(H +M)代入式(1)、(2)可得

式中，M 為永磁體的磁化矢量.對式(3)中的拉普拉斯算子應用格林函數，可解得

式中，x 為場點的位置矢量;x′為源點的位置矢量.M 僅存在于永磁區域內，因在永磁區域表面M 突變為0，式(4)需寫為

式中，v′為永磁區域;s′為v′的表面;n 為s′外法方向上的單位矢量.參考電荷模型，可假設在永磁體內存在體密度ρm=－▽·M，表面密度σm=M·n的磁荷.由此可推得，空氣中x 處的磁密為［12］

1.2 空載磁場求解

對于組成圖1中圓筒型無鐵心永磁直線電機定子的某個軸向充磁的圓柱形永磁體(見圖2)而言，僅左右兩個圓形底面上存在密度為M 的磁荷.僅考慮右底面上的磁荷，由其引起的φm為的坐標，ρ，φ 為場區點的坐標.對使用文獻［13］中的積分變換，可得

圖1 圓筒型無鐵心永磁直線電機結構

圖2 單個軸向充磁的圓柱形永磁體模型

式中，Im，Km分別為第一類和第二類m 階虛宗量的貝塞爾函數;ρ＞(ρ＜)為ρ 和ρ′中的較大(小)者.由磁場的軸對稱性知，φm1與φ 無關，為簡化計算，可令φ=0.將式(8)代入式(7)，有

式中，l 為圓柱形永磁體的長度.由于其中二重積分的第2 項為0，式(9)可簡化為

利用虛宗量的貝塞爾函數的性質［14］，對式(10)中的第2 個積分進行處理，可得在ρ ＞r 的區域(即空氣)內，有

對其求梯度，可得到空氣中磁通密度的徑向和軸向分量分別為

同樣可求出由永磁體的左底面上的磁荷引起的磁密分量為

由于磁路線性，可直接利用疊加原理，得到由n 個永磁體組成的圓筒型無鐵心永磁直線電機定子的空載磁密為

2 反電勢與推力計算

圓筒型無鐵心永磁直線電機的動子繞組線圈軸對稱地環繞在定子外，每相繞組由若干組線圈串/并聯而成.圖3為動子繞組示意圖，其中Rco為線圈的外半徑，Rci為其內半徑，wc為每組線圈寬度.

圖3 動子繞組示意圖

根據法拉第電磁感應定律，動子沿Z 軸作直線運動時，每根環形線圈內都會切割徑向磁場感應出反電勢.根據空載磁場計算結果推導出每根線圈內產生的反電勢，再將同相線圈的反電勢相加即可得到相反電勢.但這樣計算過程復雜，耗時長.為簡化計算，可假設所有線圈均集中在平均半徑處.如圖3所示，設某組線圈軸線所在位置為z，則該組線圈區域內的徑向磁密平均值為

該組線圈在該位置時的反電勢為

式中，v 為動子運動速度;Nc為該組線圈的串聯匝數;Lav為每匝線圈的平均長度.將同相的每組線圈中的反電勢相加，即可得到每相繞組反電勢波形.

動子上的推力是由電樞電流與空載磁場相互作用而產生的洛侖茲力.同樣認為線圈集中在平均磁密處，可得一組線圈的推力為

將所有線圈組上的推力相加，即可得到總的動子推力.

3 結果對比與分析

使用以上解析模型分析了某型號圓筒型無鐵心永磁直線電機，計算了其空載磁場、反電勢和動子推力.該型號電機的主要參數如表1所示.

表1 某型號圓筒形無鐵心永磁直線電機主要參數

為驗證以上解析計算方法的正確性，建立了該電機的二維軸對稱有限元模型，圖4給出了有限元法計算出的空載磁場分布結果.和徑向分量的有限元法和解析法計算結果.可看出隨著軸向距離的增加，空載磁密呈周期性變化.受邊端效應影響，邊緣處磁密快速下降.解析法相對于有限元法的最大偏差出現在徑向磁密最大的位置，但此時誤差也在5%以內.出現偏差的主要原因是最大磁密處對應的實際磁化強度要低于解析模型中使用的剩余磁化強度.

圖4 圓筒形無鐵心永磁直線電機的磁場分布

圖5 ρ=13 mm 處解析法與有限元法磁密計算結果對比

圖6給出了2 種方法計算出的動子以1 m/s速度沿軸向運動時U 相繞組中的反電勢波形，可見2 種計算方法所得結果非常接近，最大誤差為7%.二者存在偏差的原因除磁化強度的偏差外還有解析模型中對線圈所作的平均化處理.

圖6 動子運動速度為1 m/s 時U 相繞組的反電勢

在繞組中通入有效值為1.3 A 的三相對稱電流，并使電流位于q 軸上，得到如圖7所示的動子推力曲線.由圖可知，解析法與有限元法計算出的推力波形接近.解析法所得推力平均值為77.8 N，有限元法結果為79.0 N，兩者偏差小于2%.

圖7 一個電周期內動子受力曲線

圖8對比了負載狀態下，ρ=13 mm 處，A 相線圈電流達到幅值時對應極面下的磁密波形以及相同位置的空載磁密波形.2 種波形均由有限元分析得到.由圖可見，2 種波形非常接近，這說明負載電流對電機磁場的影響非常小，這也是該種電機的優點之一.

圖8 空載與負載時一個極面下的磁密波形

4 結語

本文應用磁荷法在圓柱坐標系下導出了圓筒型無鐵心永磁直線電機的空載磁場解析計算模型，給出了空載磁場軸向和徑向分量的解析公式.在此基礎上，對線圈區域進行平均化處理，求出電機相反電勢和推力的解析公式.之后利用此解析方法分析了某型號圓筒型無鐵心永磁直線電機，所得結果與有限元法所得結果進行了對比，驗證了解析法的正確性.本文所提出的解析計算方法適用于該種電機的電磁設計，對于其他永磁直線電機的理論分析也有參考價值.

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