擴＊-亞序與實＊-環

姜偉，黃冬明

（1.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500；2.海南大學信息科學技術學院，海南海口 570228）

擴＊-亞序與實＊-環

姜偉1，黃冬明2

（1.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500；2.海南大學信息科學技術學院，海南海口 570228）

在取定*-環的一個擴*-亞序T的基礎上，研究了*-環的T-模和*-序的一些聯系，刻畫了*-環的實性的一個判別條件，并探討了*-環的擴*-亞序、*-亞序和*-序的一些聯系.

*-環；*-序；擴*-亞序；實代數

在本文中，R表示包含單位元1的環.R的一個變換*稱作對合映射，如果滿足(r+s)*=r*+s*，(rs)*=s*r*且(r*)*=r，其中r,s∈R；*-環一般表示帶有對合*的非交換幺環.若有r*=r，其中r∈R，則稱r是R中的對稱元.我們定義S(R)={r∈R|r*=r}.一般來說，S(R)在R之中不是乘法閉子集，但是S(R)是R的一個加法子群.如果a,b∈S(R)，r∈R，則ab+ba∈S(R)，且rar*∈S(R).當然，如果*是一個恒等映射，那么R就成為一個交換環.本文涉及的擴*-亞序、*-亞序的定義和有關性質以及T-模、限制素*-理想、Jordan理想的定義均參見文獻[3-7].

1 *-序的概念

定義1.1（參見文獻[3]中定義1.2）設R是一個*-環，P是S(R)的一個子集，如果P滿足如下條件：

（1）1∈P，-1?P；

（2）P+P?P；

（3）r Pr*?P，?r∈R；

（4）P?-P=S(R)；

（5）?a,b∈S(R)，若aba∈P?-P，則a∈P?-P或b∈P?-P；

（6）若a,b∈P，則ab+ba∈P.

那么就稱P是R的一個*-序.此時，集合P?-P稱為*-序P的支集，并記為supp（P）.如果P僅滿足上述條件（1）-（5），那么稱P為R的一個Baer-序.

定義1.2環R稱為實*-環，如果R具有*-序.

注：本文中所述*-環R如不特別申明，則均指實*-環.由于R的特征為0，從而可認定Z?R，其中Z表示通常的整數環.此外，本文用N表示通常的自然數集.

定義1.3（參見文獻[3]中定義1.2）設R是一個*-環，P是R的一個*-序，如果R的一個子集Q滿足如下條件：

那么就稱Q是P的一個擴*-序.

定義1.4環R中的一個理想I稱為*-理想，如果I*=I.

定義1.5[7]環R的一個理想I（I≠R）稱為素理想，如果a,b∈R且aRb?I可得a∈I或b∈I.

定義1.6I稱為*-環R的素*-理想，如果I既是R的*-理想又是R的素理想；I稱為*-環R的限制素*-理想，如果I是R的素*-理想與S(R)的交集.

定義1.7I稱為*-環R的Jordan理想，如果I不僅是R的一個子加群且滿足

若a∈I，b∈R，則ab+ba∈I.

2 擴*-亞序和T-模

首先敘述*-環R的擴*-亞序的定義[3].

定義2.1*-環R的元素r=rπ(1)…rπ(n)稱為元素r1,…,rn的一個置換積，其中π是集合{1,…,n}的一個置換.

定義2.2*-環R的一個置換積稱為關于元素r1，，…，rn，嵌套，如果這個置換積中的元素滿足rj出現在元素ri，之間當且僅當元素出現在元素ri，之間.

定義2.3設R是一個*-環，且M?S(R).T是形如a1,…,al，b1,b1…,bm,bm，r1，，…，rn，，ai∈M，bj∈S(R)，rk∈R，l,m,n＞0的元素關于元素r1，，…，rn，嵌套的置換積的有限和生成的集合，則稱T是*-環R的擴*-亞序.

注：*-環R的擴*-亞序T滿足如下公理：（1）T+T?T；（2）TT?T；（3）rTr*?T，?r∈R；（4）T=T*.用T0(R)表示R的由空集生成的擴*-亞序，則T0(R)是R的最小的擴*-亞序.

設a∈S(R)，T是由S(R)的子集M生成的.則我們也能得到由M?{a}生成的擴*-亞序.這個擴*-亞序可以分解為T+T[a]，其中T[a]表示為如下所有元素a，a1,…,al，b1,b1…,bm,bm，r1，，…，rn，，ai∈M，bj∈S(R)，rk∈R，l,m,n＞0，關于元素r1，…，rn，嵌套的置換積的有限和生成的集合.

定義2.4設T是*-環R的一個擴*-亞序，R的一個素*-理想p稱為T-相容的，如果對于任意的s,t∈T?S(R)，由s+t∈p都有s,t∈p.

命題2.5設T是*-環R的一個擴*-亞序，且p是R的一個T-相容的限制素*-理想，使得T?-T?S(R)=p.若T是R的滿足上述條件的一個極大的擴*-亞序，則T?S(R)成為R的一個*-序.

證明顯然，由文獻[3]的注4.3知T[1]=T，從而1∈T?S(R).假如-1∈T.則1∈T?-T?S(R)=p.從文獻[3]的定理4.7（1）知，存在*-環R的一個*-序P，使P?-P=p.從而1∈P?-P，即有-1∈P，矛盾于定義1.1（1），故-1?T?S(R)，T?S(R)+T?S(R)=(T+T)?S(R)?T?S(R).設a∈T?S(R)，?r∈R，則rar*∈T?S(R).這表明，r(T?S(R))r*?T?S(R).由于p是R的限制素*-理想，從而表明，對于任意的a,b∈S(R)，aba∈(T?S(R))?-(T?S(R))=T?-T?S(R)=p，導致a∈p或b∈p.利用T是R的滿足命題條件的一個極大的擴*-亞序，由文獻[3]中的定理4.7的斷言1和斷言2知，S(R)?T?-T，即(T?S(R))?-(T?S(R))=S(R).最后，設a,b∈T?S(R)，則ab+ba∈(TT+TT)?S(R)?(T+T)?S(R)?T?S(R).因此，T?S(R)成為*-環R的一個*-序.

命題2.6設T是*-環R的一個擴*-亞序，且p是R的一個限制素*-理想，則以下論斷等價：

（1）存在一個擴*-亞序Q?T，使得Q?S(R)成為R的一個*-序，且supp（Q?S(R)）=p；

（2）p是T-相容的.

證明（1）?（2）：設R的一個擴*-亞序Q?T，使得Q?S(R)成為R的一個*-序，且supp（Q?S(R)）=p.再設s+t∈p，其中s,t∈T?S(R)，則s∈Q?S(R)，且s∈-t+p?-Q?S(R).于是，s∈supp（Q?S(R)）=p.同理可得，t∈p.這表明，p是T-相容的.

（2）?（1）：設Q是由(T?S(R))?p生成的擴*-亞序.由文獻[3]中命題4.6（2）知，Q?-Q?S(R)=p.再由文獻[3]中命題4.6（1）知，Q?S(R)=T?S(R)+p.由于p是T-相容的，從而可知p是Q-相容的.由Zorn引理，可設Q為滿足條件：Q?-Q?S(R)=p的一個極大的擴*-亞序.再由命題2.5知，Q正為（1）中所求.

推論2.7設p是*-環R的一個限制素*-理想，則以下論斷等價：

（1）p是R的某個*-序的支集；

（2）p是T0(R)-相容的.

我們有如下T-模的定義[3].

定義2.8對于*-環R的一個擴*-亞序T，R的一個子集Q稱為T-模，如果Q滿足如下條件：

（4）對于任意的a∈Q?S(R)，都有T[a]?Q.

以下設x∈S(R)，用Z+表示Z中的非負元，且Z+[x2]表示如下集合：

顯然，Z+[x2]?S(R)，且對于*-環R的任意的擴*-亞序T都有，Z+[x2]?T.

命題2.9設T是*-環R的一個擴*-亞序，Q為R的一個T-模，使得T?Q，且-Z+[x2]?Q=?.若Q是R的滿足上述條件的一個極大的T-模，則有：

（1）p：=Q?-Q?S(R)成為S(R)的一個Jordan理想；

（2）S(R)?Q?-Q；

（3）Q?S(R)成為R的一個Baer-序.

證明（1）由于Q是R的一個T-模，從而p+p?p和-p=p顯然成立.設Q′={b|b∈R,且2b∈Q}，則Q?Q′.顯然，Q′成為一個T-模.假若對于某個f(x2)∈Z+[x2]，-f(x2)∈Q′，則-2f(x2)∈Q.從而-f(x2)=-2f(x2)+f(x2)∈Q，矛盾！因此，-Z+[x2]?Q′=?.再由Q的極大性知，Q′=Q.

設r∈S(R)，b∈p，則4rb=(r+1)2b+(r-1)2(-b)?T[b]+T[-b]?Q+Q?Q.再由Q′=Q知，rb∈Q.同理，-rb∈Q，即rb∈Q?-Q.類似地，br∈Q?-Q.從而，rb+br∈Q?-Q?S(R)=p.因此，p是S(R)的一個Jordan理想.

（2）設a∈S(R).假若a,-a?Q，則Q+T[a]和Q+T[-a]都是T-模，且有T?Q+T[a]和T?Q+T[-a]成立.由Q的極大性知，存在f1(x2)，f2(x2)∈Z+[x2]，q1,q2∈Q，以及t1∈T[a]，t2∈T[-a]使得

此時可設q1,q2,t1,t2∈S(R).因為，-f1(x2)-(f1(x2))*=q1+(q1)*+t1+(t1)*，其中-f1(x2)-(f1(x2))*∈-Z+[x2]?S(R)，q1+(q1)*∈Q?S(R)，t1+(t1)*∈T[a]?S(R).所以，在（2.1）中，不妨直接設q1,q2,t1,t2∈S(R).顯然，(f1(x2))2f2(x2)∈Z+[x2].此時，

顯然，(f1(x2)+t1)2f2(x2)∈T[f2(x2)]?Q.此外，由于f1(x2)，f2(x2)∈Z+[x2]?T，-(f1(x2)+t1)=q1∈Q?S(R)，且-(f2(x2)+t2)=q2∈Q?S(R).這表明，-f1(x2)(f1(x2)+t1)f2(x2)，-(f1(x2)+t1)f1(x2)f2(x2)，-t12(f2(x2)+t2)∈Q.最后，由于-t1=q1+f1(x2)∈Q?S(R)，且t1t2∈T[a]T[-a]?-T[a]T[a]?-T.于是，(t1)2t2.=(-t1)(-t1t2)∈Q.這表明，-Z+[x2]?Q≠?，矛盾！從而a∈Q或-a∈Q.由a在S(R)中的任意性即知，S(R)?Q?-Q.

（3）證明類似于文獻[3]中的定理5.2.

推論2.10設T是*-環R的一個擴*-亞序，使得-Z+[x2]?T=?.若T是R的滿足上述條件的一個極大的擴*-亞序，則T?S(R)成為R的一個*-序.

證明由所設可知，R有一個T-模Q，使得Q?T且-Z+[x2]?Q=?，比如取Q=T.由Zorn引理，可進一步設這個Q是極大的.假若Q?S(R)≠T?S(R)，則存在a∈Q?S(R)T?S(R)使得T+T[a]是R的一個擴*-亞序，且T?T+T[a].由于T+T[a]?Q，從而-Z+[x2]?(T+T[a])=?.這與題設矛盾！因此，Q?S(R) =T?S(R).再由命題2.9知，T?S(R)是R的一個Baer-序.此外，由于T對于乘法是封閉的，從而知T?S(R)還滿足定義1.1的條件（6），即：若a,b∈T?S(R)，則ab+ba∈T?S(R).于是，T?S(R)成為*-環R的一個*-序.

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Extended*-preorderings and Real*-ring

JIANG Wei1,HUANG Dong-ming2
(1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.College of Information Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

In order to describe the reality of a*-ring，the authors of this paper investigate some interplays be?tween the extended*-preorderings（or T-modules）and*-orderings on a*-ring.

*-ring；*-ordering；extended*-preorderings；real algebra

O153.5

A

1008-2794（2013）04-0001-04

2013-03-15

江蘇省2010年度高?！扒嗨{工程”優秀青年骨干教師項目（蘇教師〔2010〕27號）

姜偉，副教授，博士，研究方向：代數學，E-mail：jiangwei@cslg.cn.

*-環的概念是由*-域[1]的概念推廣出來的.所謂*-域，是指帶有一個對合映射*的斜域.有序的*-域有許多類似于實域的結果[2].近來，M.Marshall[3-4]已經把*-域的*-序概念推廣到了*-環上，發展了*-環的*-序的有關理論.為了進一步研究*-環的實性，本文探討了*-環的擴*-亞序、*-亞序和*-序的一些聯系.在取定一個擴*-亞序T的基礎上，進一步探討了由M.Marshall在文獻[3]中引進的T-模和*-序的一些聯系.