無窮時滯非線性脈沖積分微分系統的概周期解

盧鈺松，林遠華

(河池學院 數學系，廣西 宜州 546300)

1 引言和主要結果

泛函微分方程的周期解的存在問題一直是大家所關心的問題［1－3］，近年來，對于中立型泛函微分系統的研究也引起了學者們的廣泛關注。在許多實際問題中，要對其進行準確的描述，就必須同時考慮時滯和脈沖對系統的影響，這在研究時滯脈沖微分方程解的性態上具有更重要的現實意義，本文利用不動點方法并結合不等式分析技巧將文獻［4－6］中的微分方程推廣到時滯脈沖概周期系統。

考慮概周期脈沖系統

的概周期解的存在性。

這里 x∈ ?n，A(t，x(t))，C(t，s)為 n × n 連續函數矩陣，h，g，b，為連續函數向量。Bk是矩陣序列，Ik為向量函數序列，γk為n維向量

對于系統(1)給出如下假設:

H1:A(t，x)關于t概周期的，即對?ε＞0，對?t∈?，使得

H2:矩陣序列{Bk}是概周期的，即對?ε＞0，?q∈?，使得|Bk+q－Bk|＜ε.且行列式|E+Bk|≠0，這里E是單位矩陣。

H4:函數b(t)是概周期的，即對?ε＞0，對?t∈?，使得|b(t+r)－b(t)|＜ε，{γk}也是概周期序列，即對?ε ＞0，?q∈? ，使得|γk+q－γk|＜ ε.且存在正常數C0使得max{sup|b(t)|，max| γk| }≤C0.

H5: C( t，s) 是概周期的，即對?ε ＞ 0，對?t，s ∈ ? ，使得| C( t + r，s + r)－C( t，s) | ＜ ε. 且?t，有

H6:函數h(x)在? 上滿足Lipschitz條件，即?L1＞0，使得對?x，y∈?n，都有|h(x)－h(y)|≤L1|x－y|.

H7:g(t，x)關于t是概周期的，即對 ?ε ＞ 0，對 ?t∈ ? ，使得 |g(t+r，x)－g(t，x)|＜ ε.且滿足Lipschitz條件，即 ?L2＞ 0 使得對 ?x，y∈ ?n，都有 |g(t，x)－ g(t，y)|≤ L2|x－y|，并有 g(t，0)=0.

H8:函數序列Ik(x)關于x∈?n是一致概周期的，即對?ε＞0，?q∈? 使得|Ik+q(x)－Ik|＜ε.且Ik(x)滿足Lipschitz條件，即?L3＞ 0，使得對?k∈? ，x，y∈?n，都有|Ik(x)－Ik(y)|≤L3|x－y|，并有Ik(0)=0.

定理1 如果下列條件滿足

(Ⅰ)條件H1～H8成立;

(Ⅱ)對任意連續概周期函數u(t)，線性系統x(t)=A(t，u(t))x(t)滿足投影為P和常數為K，λ的指數型二分性，且二分常數K，λ不依賴于u(t);

那么方程(1)存在唯一的概周期解x(t).

注:我們將文獻［4－6］的周期系統推廣到了概周期系統，得到了保證中立型系統概周期解存在性和唯一性的定理，由于周期函數是概周期函數的特例，因而我們推廣了文獻［4－6］的相關結果，即使是在脈沖效應消失的情況下，也推廣了相關的結果。

2 準備知識

定義1［7］稱序列的集合是一致概周期的，如果對?ε＞0，對每個序列都存在共同的ε－概周期的相對緊集。

定義2［7］函數φ(t)∈PC(?，?n)稱為概周期函數，如果

(1)序列［tk］是一致概周期的，即對?ε＞0，?j∈?，使得|tk+j－tk|＜ε.

(2)?ε ＞ 0，?δ＞ 0，使得t'，t″屬于 φ(t)的同一連續區間，當 |t'－ t″|＜ δ時，滿足|φ(t')－ φ(t″)|＜ ε.

(3)?ε ＞0，存在一個相對緊集Q，對r∈Q，有|φ(t+r)－ φ(t)|＜ ε，這里|t－tk|＞ ε，k∈Z.集合Q中的元素稱為φ(t)的ε—概周期。

考慮如下方程

和

這里A(t)是n×n概周期函數矩陣，Bk是概周期矩陣，即對任意給定的ε＞0，存在q∈?，使得|Bk+q－Bk|＜ ε，同時行列式 |E+Bk|≠0，|γk+q－ γk|＜ ε，ε 是任意給定的正數，k，q∈ ? .

由文獻［8］知，如果Uk(t，s)是系統

的柯西矩陣，那么系統(2)的柯西矩陣表示為

且系統(2)的解可以寫成如下形式

引理1［7］假設W(t，s)是脈沖概周期系統(2)的柯西矩陣，f(t)是n維向量概周期函數，γk是概周期序列，A(t)是矩陣概周期函數，Bk是概周期矩陣且行列式|E+Bk|≠0，則系統(3)存在唯一的概周期解，它可以表示為

引理2［7］若存在正數K和λ，使得

則對?ε ＞0，t∈?，s∈? ，t≥s，|t－tk|＞ ε，|s－tk|＞ ε，k∈? ，且存在一個與矩陣A(t)的ε－概周期相關的致密集T和一個正常數Γ，使得對r∈T，有|W(t+r，s+r)－ W(t，s)|≤ εΓe－(λ/2)(t－s)

3 定理的證明

定理1的證明:我們定義D={u(t):u∈PC，且u(t)為概周期函數}，并滿足

由條件(Ⅱ)和引理1可知，該系統存在唯一的概周期解

其中由條件(Ⅱ)，這里 W1(t，s)=X(t)PX－1(s)，W2(t，s)=X(t)(I－P)X－1(s)，也有 |W1(t，s)|≤Ke－λ(t－s)(t≥ s)，|W2(t，s)|≤ Ke－λ(s－t)(s≥ t). 在 D 中定義算子 S 如下

那么對任意的u∈D*，由(4)和(5)有

現在我們證明S是D到D的算子。

對任意的u∈D*，得到

并且對u∈D*，r∈?，也得到

由此我們得到

既然ε充分小，那么εr也充分小，由(5)和(6)兩式我們知道Su∈D*，即S是D*到D*的算子。又對任意的u∈D*，v∈D*我們也有

因為M ＜1，所以S是D*內的壓縮算子，利用壓縮映射原理知，S在D*中必存在唯一的不動點x(t)，所以方程(1)存在唯一的概周期解。證畢。

4 例子

考慮系統

［1］王克.一類具偏差變元的微分方程的周期解［J］.數學學報，1994，37(3).

［2］曹進德，李瓊.具時滯的高維周期系統周期解的存在性與唯一性［J］.數學學報，1997，40(2).

［3］周宗福.一類高維滯后型泛函微分方程的周期解［J］.數學雜志，2002，22(4).

［4］賀明科.一類中立型高維微分系統的周期解［J］.數學學報，1999，42(2).

［5］胡永珍，斯力更.具有無限時滯的中立型高維周期微分系統的周期解［J］.數學學報，2005，48(2)

［6］陳鳳德.具無限時滯的非線性積分微分方程的周期解［J］.應用數學學報，2003，26(1).

［7］Samoilenko A M，Perestyuk N A.Differential equations with impulse effect［M］.Visca Skola:Kiev，1987.

［8］Bainov D D，Simeonov P S.Theory of impulsive differential equations:periodic solutions and applications［M］.Harlow:Longman，1993.

［9］Stamov G T.Impulsive cellular neural networks and almost periodicity［J］.Proc.Acad，2004，80(A).