基于混聯機構的多自由度風洞動態試驗平臺運動學研究

李士佩，李鷺揚，牛瑞霞，蔣波

(揚州大學 機械工程學院，江蘇 揚州 225127)

0 引言

在風洞［1］試驗中，被測量的飛行器動態地任意改變其飛行姿態，這是飛行器風洞試驗的一個非常重要的試驗項目?；炻摍C構可以滿足多自由度風洞動態實驗的要求，其中混聯機構的機構學與運動學主要集中在機構的運動正反解問題［2-5］、工作空間、奇異位行和靈巧度分析等方面［6-7］。風洞試驗運動平臺是風洞試驗時重要的運動裝置，該平臺提供實驗模型所需的位置和姿態。該平臺性能的優劣對風洞試驗數據的獲得有著重要影響，因為不僅要求風洞流場干擾小，不影響模型氣動外形模擬，還要求結構簡單、動態性能好、體積小、成本低和應用范圍廣等［8］。本文描述了五自由度混聯機構的工作原理，并運用數值分析法［9-12］對模擬實驗平臺并聯部分位置正反解進行了分析。因為該機構的并聯部分與串聯部分相互影響，因此在得到位置正反解的基礎上求得并聯部分與串聯部分相互關系非常關鍵，從而推出模擬平臺的末端在風洞試驗中的位姿。

1 風洞實驗運動平臺工作原理及坐標系的建立

1.1 運動原理

風洞實驗運動平臺采用串并聯混合的方式，實現實驗模型質心在風洞固定點的五自由度的運動，其原理如圖1 所示。

圖1 風洞實驗運動平臺

圖1 為運動平臺的實物圖，上平臺和下平臺之間為三條支鏈，每條支鏈由一個電動缸和兩個回轉關節組成，三條支鏈布置在平行于xoy 平面的三個平面內，形成一個三自由度的平面并聯機構，該機構可以沿x 和y 方向移動和繞垂直于平面z 軸的轉動，下平臺可以沿著x 軸移動。通過該并聯機構，可以改變飛行器模型在風洞中的角度變化，同時，補償由于采用尾支桿而引起的運動平臺的位移變化。在運動平臺上有一個回轉關節，其回轉軸線MN 在平面xoy 內。彎刀裝置繞該軸線做回轉運動，控制飛行器模型的偏航角。彎刀裝置的另一端通過一個回轉關節連接尾支桿，尾支桿通過做繞體軸的滾轉運動控制飛行器模型的滾轉角。而該平臺的模型體軸上的點M 是不變的，做偏航運動的時候沿著軸ML 轉動。

1.2 坐標系的建立

建立基礎坐標系{B}:坐標原點與模型質心重合，z 軸方向垂直于3-RPP 機構所在平面，x 軸方向與下平臺導軌方向一致;3-RPP 機構下平臺連體坐標系{F}:方向與{B}一致，初始位置為下平臺大致處于軌道中點處，坐標原點在最左側鉸鏈F0 處，與模型后端對應，即BPFROG=BPF0;3-RPP 機構動平臺連體坐標系{M}:初始方向與與{B}一致，原點與模型質心重合;試驗連體坐標系{T}:原點位于模型質心處，x 軸與模型體軸一致，初始方向為將{B}繞其z 軸旋轉至x 軸與模型體軸一致;彎刀連體坐標系{W}:原點與模型質心重合，初始方向與模型連體坐標初始方向一致。

2 運動平臺混聯機構閉環反饋的正解

2.1 運動學關系

串－并混聯機構如圖1 所示，并聯部分的上平臺通過三個驅動電動機分別連接動平臺頂點Ai和底座的頂點Bi，P 和R 分別表示動平臺原點在參考坐標系中的位置矢量和姿態的變換矩陣。根據動平臺的姿態角和移動位移就可解出電動缸的矢量，即:

式中:ai，bi分別是兩平臺頂點在各自坐標系中的位置矢量。Lis是并聯機構電動缸支撐桿的矢量，(i=1，2，3)。

根據式(1)，各動平臺頂點的速度可寫成如下形式:

式中:ω——在參考坐標系中動平臺的角速度;

式(2)寫成矩陣型式為:

Jai，x——是動平臺廣義速度到動平臺上頂點速度的雅克比矩陣。

將動平臺上頂點速度向電動缸伸縮桿矢量方向投影，可得它們的伸縮速度:

lni——電動缸伸縮桿的單位矢量，lni=。

將式(2)代入式(4)有:

由于并聯機構有三個電動缸伸縮桿，可以將式(5)寫成矩陣形式:

Jlx——并聯機構廣義速度到電動缸伸縮桿伸縮速度的雅克比矩陣。

a)運動學正解

運動學正解的問題是分析和設計并聯機構的關鍵，本節對試驗平臺的并聯部分的運動學正解算法進行研究。并聯機構的運動學正解就是在已知電動缸伸縮桿長度的情況下求解動平臺的姿態，通常并聯機構的運動學正解比運動反解復雜。這里主要借鑒Stewart 機構的運動學正解算法，求解非線性方程組:

用牛頓-泰勒展開法求解上述非線性方程組(7)，此方程組也可表達如下:

式中:li0——電動缸伸縮桿的初始長度(mm);

Δli——電動缸伸縮桿的變化量(mm);

gki——電動缸伸縮桿在動平臺上的接觸點在參考坐標系中的坐標，k=1，2，3;

bki——底座在參考坐標系中的坐標，k=1，2，3。

令:

解如式(9)所示的非線性方程組，其中q1，q2，q3分別為上平臺的繞z 軸的轉角，沿x 和y 軸的位移，即可求出動平臺的當前姿態q。將fi(q) 在初始位置q0附近進行泰勒級數展開，并取其線性部分得:

進一步令:Δq=q－q0和Δqj=qj－q0j(j=1，2，3)，則式(10)可寫為:

式(11)可以看成是Δqi(i=1，2，3)為未知數的方程組，其系數矩陣用J1表示為:

如果J1是非奇異矩陣，則方程組(3－ 12)有唯一解Δq。

若Δq 可以滿足精度的要求，即Δq≤ε(ε 為要求精度)，則q=q0+Δq 是所要求的正解;否則令q0=q，根據新的賦值重復計算電動缸伸縮桿的長度li0(1，2，3)和系數矩陣J1，然后根據式(11)再次求解Δq，直到Δq 在要求的精度范圍內為止。以上是用牛頓—泰勒展開法求解非線性方程組(7)的數值方法，即牛頓迭代法。求系數矩陣J1是這種解法的關鍵。

對式(9)求qj(j=1，2，3)的偏導數可得:

由以上的條件可知:

其中:

為方便以下的計算令cα=cosα，sα=sinα。根據式8與式15 可得到

b)運動平臺混聯機構與串聯的關系

這里主要研究的是模型的俯仰角θ，偏航電動機轉角β和滾轉電動機轉角為γ 之間的關系，由上述的公式(16)可以求出動平臺的俯仰角α。根據時間軸上每一節點對應模擬平臺的俯仰角θ(常量)及偏航電動機角度φ，滾轉電動機轉角為γ，求得模型連體坐標系{T}在基礎坐標系{B}中的姿態表示，其轉動為先繞z 軸轉α，后繞y 軸轉φ，所以:

3 機構動平臺混聯機構閉環反饋的反解

設動平臺上的3 個關節點分別表示為M1，M2，M3，下平臺上3 個關節點分別表示為F1，F2，F3，動平臺俯仰角α，3 個電動缸的長度分別為l1，l2，l3。

單獨的俯仰運動可以通過三個電動缸的伸縮和下平臺的移動來完成，時間軸上每一節點對應的動平臺俯仰角α(動平臺的俯仰角與模型的俯仰角相差35°)及下平臺連體坐標系坐標原點在{B}中的坐標值BPFROG，x 為坐標值的初始值即F0 點至模型質心的x 方向的初始距離;y 方向坐標值y 為F0 點至模型質心的y 方向距離;z 坐標值為零。

根據坐標系的設定有:

式中:

因此有:

以得到:

具體表達式如下:

因此，若已知α，下平臺連體坐標系坐標原點在{B}中的坐標值BPFRoG和動平臺Mi 各點在{B}中的坐標值可求出各個電動缸的長度，反解得以求出。

4 運動平臺正反解分析

4.1 正反解問題的解法選擇

由于本文討論的五自由度混聯機構的復雜性，從而該機構位置正反解的數學模型是比一般線性方程組復雜的非線性方程組。因此，對這種機構位置正反解的數學模型進行解法分析［5］是有必要的，通過以往對位姿正反解的研究成果的了解，這種復雜數學模型的解法主要有兩種:

1)解析法:解析法從一組約束方程中通過消元除去未知變量，可以得到單變量的多項式方程。末端執行器的所有位姿的可能包含了該一元多項式方程的實根。但是解析法不能明確地看出變量的數量關系、不夠直觀。

2)數值法:數值法的數學模型比較簡單，如果要求有一個實解，有好的初值的多數情況下，直接用非線性方程的求解算法，避免了繁瑣的數學推導，計算速度比較快。

對于復雜的非線性方程組的求解［6-7］，大多數采用數值的方法，即通過特定的算法，利用計算機對方程組求解，求得方程組的數值解。如果采用直接消元法，即使可以得到一個變量的單個方程，但是會出現大量增根和數值不穩定的情況，因此一般不采用直接法求解。本文用數值解法的基本過程是根據混聯機構先建立數學模型、討論數值計算方法、程序設計、上機計算出結果。

本文采用修正牛頓迭代法對五自由度混聯機構的并聯部分正反解方程組的求解實現以上的算法，并求得并聯與串聯部分的關系。應用Matlab［8］軟件編制程序來求解本文所分析的五自由度混聯機構的位置正反解方程組［9］。通過定義機構初始參數，確定計算機位置正反解函數，進入修正牛頓迭代計算，確定正反解函數的Jacobi矩陣［10-11］等過程對計算進行了功能模塊化。計算機就可以進行規定次數的迭代，并輸出每一次迭代后的數值，最終得到理想的數值。

4.2 機構數值解法實例

為了驗證以上程序，本節給出了對五自由度混聯機構在風洞試驗中末端模型位姿的實例，當風洞模擬實驗平臺做振幅是30°，支撐角是35°時的俯仰運動及振幅為20°，俯仰角度是10°的偏航運動時候各個電動缸的長度值如表1 所示。

表1 五自由度機構位置反解數字迭代實例

5 結語

本文介紹了風洞試驗虛擬樣機的運動原理，并將混聯機構用于風洞試驗，實現了飛行器在風洞中多自由度的運動，突破了以往運動試驗裝置只能實現一個或兩個自由度的限制。這里分析的五自由度混聯機構是根據得到的混聯機構的位置正反解的方程組，將并聯和串聯的運動分析巧妙的結合起來以求得末端執行器的位姿與電動缸各支鏈長度的變化關系。在修正牛頓迭代法的基礎上利用了Matlab 數學工具對其運算的過程進行編程，最后得到需要的數據。這種方法簡化了試驗模型的運動分析，是機構運動學分析的一個突破。

［1］賀德馨.風洞天平［M］.北京:國防工業出版社，2001.

［2］代小林.三自由度并聯機構分析與控制策略研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業大學，2009:38-42.

［3］韓書葵，方躍法，任紅亞.一種五自由度并聯機器人奇異位形［J］.中國安全科學學報，2005，15(11):28-29.

［4］John J.Craig.Introduction to robotics:Mechanics and Control，Third Edition.［M］.北京:機械工業出版社，2006.19-70.

［5］袁東錦.計算方法—數值分析［M］.南京:南京師范大學出版社，2007.149-162.

［6］陳文家，趙明揚，房立金.基于四自由度并聯機構的數控機床研究［J］.揚州大學學報，2001，4(2):50-54.

［7］Dai Xiaolin，Huang Qitao etal.Accuracy synthesis of Stewart platform used in testing system for spacecraft docking mechanism.International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation，2009，vol3:7-10.

［8］張志涌，楊祖櫻.MATLAB 教程R2010a［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2010.71-111.

［9］王軍.并聯機器人機構運動學分析及控制系統的研究［D］.南京:南京農業大學，2007.5-16.

［10］G.P.He，X.L.Tan，X.H.Zhang et al.Modeling，motion planning，and control of one-legged hopping robot actuated by two.arms.Mechanism and Machine Theory，2008，43(1):33-49.

［11］D.Stewart.A platform with Six degrees of Freedom［J］.Proceedings of the IMechE，1965，66(15):371-385.

［12］Liu H T，Huang T，Mei J P，et al，Kinematic design of a 5-DOF hybrid robot with large workspace/limb-stroke ratio，ASME Journal of Mechanical Design，2007，129:530-537.