混沌50年

郭凱寧/編譯

混沌50年

郭凱寧/編譯

● 今年是混沌理論提出50周年，《今日物理》邀請著名物理學家安迪爾森·莫特（Adilson E.Motter）和戴維 K.坎貝爾（DavidK.Canpbell）對混沌理論的出現、發展以及影響撰文回顧。本刊特編譯該文，以饗讀者。

1963年的時候，一位來自麻省理工學院的氣象學者揭示了決定論可預測性只是一個美麗的幻想。與此同時，一個新的領域也隨之誕生。時至今日，這個領域依然繁榮興旺。

在經典物理學中，人們認為如果給一個系統賦予特定的初始狀態，那么這個系統在未來所有時刻的狀態都可以通過計算而得出。皮埃爾·西蒙·拉普拉斯（PierreSimonLaplace）有一段著名的話：“如有這么一位智者，他能夠洞悉所有使得大自然生機勃勃的力量，能夠了解大自然所有元素的狀態。那么，如果我們給他提供足夠多的數據……無論是未來還是過去，所有的一切將會盡數展現在他眼前，沒有任何的東西會是無法洞悉的。”換句話說，機械式宇宙觀是正確的。

而事實上真正困難的是：無論使用何種方式，我們永遠不可能得到真實世界絕對準確的初始狀態——指導教授可以要求學生提供更高精度的實驗數據，但是結果永遠不會絕對準確。到了19世紀，人們在研究中形成了一種默認的假設——近似的初始狀態意味著近似的最終狀態。這種假設幫助人們成功地描述了行星、彗星、恒星的運動方式以及無數其他系統的動力學模型。因而物理學家們沒有理由去作其他的假設。

然而從19世紀開始，一系列的研究顯示，直觀的決定論可預測性在大部分系統中是錯誤的。這一情況在麻省理工氣象學家愛德華·勞倫茲（Edward Lorenz）（圖1a）1963年的論文發表后達到了高潮。初始狀態中微小的不確定因素會演變成最終系統中巨大的錯誤。即使系統足夠簡單，所有的參數都是已知的，結果依然無法預測。決定論無法阻止混沌，這個結果足夠令人驚奇。

怪獸展

在我們今天所熟知的混沌理論中，大部分內容是在二十世紀后四分之一的時間里成型。但是學者們與混沌現象的近距離遭遇戰卻在十九世紀八十年代早早的就發生了，而最初的戰斗開始于亨利·龐加萊（HenriPoincaré）對天文力學中三體問題的研究。龐加萊觀察到，在三體系統中，“初始條件的微小差異會在最終現象中產生巨大的差別……預測變成了不可能的事。”

在相空間中，類似龐加萊所研究的三體系統這樣的動力學系統能夠得到最好的描述。空間的維度對應的是動態變量，比如位置和動量，這樣系統就可以使用一組一階常微分方程來描述。主流觀點長時間認為，如果放任不管，一個常規的經典系統最終會穩定在下面幾個狀態：一個由相空間中一點所描述的穩定狀態；一個由封閉環描述的周期狀態；或者一個準周期的狀態，即存在數量為n>1的不可通約的周期模式，在相位空間中表現為一個n維的環面。

龐加萊通過計算得出，三體的運行軌跡不在上述任意一種狀態的范疇之中。相反的，他觀察到“除非使用非常復雜的方式將其折疊，否則每一條曲線永遠不會與自身相交，而折疊后的曲線將會近乎無限次的交匯，以至最后能夠占滿所有的空間。形狀復雜到足夠打擊任何一個人，我甚至不想去作圖”。

而龐加萊拒絕去畫的圖形就是現在早已廣為人知的同宿交錯網，一個混沌幾何分形的典型表現形式。

大多數人認為龐加萊的結論，雅克·阿達姆（JacquesHadamard）的獨立發現，以及當時在實驗中看到的各種混沌現象是病態的、是人為噪聲或是由研究方法上的缺陷造成的，因而這些結果被拋棄，同時被稱為“怪獸展”。而在將近一個世紀以后，混沌理論才找到堅實的立足點。

一個偶然發現

當20世紀勞化茲開始研究氣象學的時候，他很可能并不了解龐加萊之前的工作。Lorenz擁有數學的學士和碩士學位，他在二戰時候作為氣象學家在軍隊服役，后來他來到麻省理工學院完成氣象學博士學位的研究。在1955年的時候，勞化茲留校任教。

在那個時候，大多數的氣象學家都在使用線性程序來預測天氣。這種方法有一個前提：第二天的天氣是今天天氣的一個明確的線性組合。而相反的是，一個由動力氣象學家組成的新興學派認為，如果能夠模擬低層大氣流動的動力學方程，天氣預測就能夠變得更加準確。勞化茲剛買第一臺電腦（RoyalMcBeeLGP-30，內存為4K個32比特字，即16K字節）的時候，決定將線性程序與動力學模型作一下對比，這個動力學模型經過簡化之后擁有12個變量。（即使比他桌面上的計算器快1000倍，仍舊要比今天的筆記本電腦慢上100萬倍。）

勞化茲在其中尋找非周期的解，一旦找到，將會使線性程序面臨巨大的挑戰。最后，在模擬太陽能對大氣的加熱作用時，他引入了一個隨經緯度變化的熱值，之后發現了這些解。毫無疑問，線性程序給出了一個遠遠不夠完美的答案。

勞化茲發現，在模型中這些非周期的解只和它們自身有關系。于是他決定進行更加細致的調查。隨后他重現了實驗數據，然后將表示每一天天氣的輸出變量打印下來。雖然計算機有較高的計算精度，但為了節省空間，他只把數據保留到小數點后第三位。下面就是勞化茲自己的原話。

“為了更加細致的檢驗到底發成了什么，我決定重復之前的一些計算。我停止了計算機，把之前打印出來的一行數字輸入進去，然后讓它再次開始運行。這個時候我出去喝了杯咖啡，一小時后回來的時候，計算機已經模擬了大概兩個月的天氣。然而這次打印出的數據與之前的數據沒有任何相似的地方。我直接懷疑是真空管損壞或者是計算機發生了其他不常見的問題。不過在打電話尋求幫助之前，我決定看一下到底是哪里發生了錯誤。我發現在剛開始的時候新數據與舊數據的值是相同的，不過差別緊接著發生在了小數的最后一位或者幾位，之后差別擴大到之前的位置，然后是更向前的位置。事實上，差不多每四天的時間差別就會擴大一倍，直到第二個月的時候，才會找不出所有與原始數據的相似之處。這已經足夠告訴我們到底發生了什么：除了保留的那一部分，我輸入的數字并不是準確的原始數字。四舍五入產生的誤差導致了問題的產生；在系統中，誤差被不斷地放大，直到誤差充斥了最終的解。”

蝴蝶效應

我們已熟知，勞化茲觀察到的就是對初始條件的敏感依賴性——混沌的一個典型屬性。這種現象在相空間中已經擁了有清晰的定量特征：任意兩條臨近軌道的距離隨時間呈指數方式增長。勞化茲親手繪制的敏感依賴性見圖1b，這幅圖展示了使用同一個方程計算出的的兩個不同的時間序列，由于初始狀態的微小差別，最終呈現的差距隨著時間不斷增大。這種標志式的行為使得“隨機性”成為了混沌動系統的外表。不過正如勞化茲自己所說，這樣的外表是具有欺騙性的：無論現在是在隨機系統中的哪一時刻，接下來都會發生任何可能的事情，比如擲骰子;但是在例如勞化茲所描述的混沌系統中，最終的結果都是完全已知的。（嚴格來說，擲骰子的結果也是確定的）

勞化茲意識到，如果大氣的行為與他的模型相似，那么預測未來的天氣將會是一項不可能的事情。在1972年美國科學促進協會的一次會議中，討論的題目是“可預測性：一只蝴蝶在巴西煽動翅膀能夠造成德克薩斯的龍卷風嗎？”勞化茲 使用了蝴蝶來比喻微小、看起來無關緊要的擾動有可能會改變天氣的進程。隨后這個比喻開始家喻戶曉，并且敏感依賴性被冠以“蝴蝶效應”而變的廣為人知。

計算機模擬程序中的每時每刻都在引入舍入誤差，并且誤差會被混沌系統放大。你肯定會問勞化茲的解到底能不能提供關于混沌軌跡的可靠信息。碰巧，它們可以。這是由于一個被稱為陰影的屬性：雖然對于任一給定的初始狀來說數值軌跡與真實軌跡之間有差別，但是總是會有一個相近的初始狀態存在，這個狀態在預設時間段中的數字軌跡與真實軌跡近似相等。就像是從不同初始狀態開始，最終通過計算得到準確的軌跡。這使得數值計算被廣泛地用于混沌系統的研究。舉一個例子，勞化茲使用經過舍入的數據計算得到的軌跡，實際上仍是他的模型依照原始軌道（或者說準確軌道）所作出的行為。

1960年東京的一次座談會上，勞化茲首次公布了12變量模型的研究結果。在那次會議上，他只是簡要的提到了舍入誤差造成會無法預測的影響；他相信這些內容足夠寫出另外一篇論文。勞化茲沒有成為萬眾矚目的焦點，很顯然，大多數的同僚還沒有意識到他的發現會有廣泛的意義。（與此同時，其他先驅關于混沌理論的研究也沒有得到關注，據上田宗亮描述，他在1961年研究模擬計算機的時候就觀察到“隨機遷移現象”，后來這種現象被認為是一種混沌現象。）

洛倫茲吸引子

1963年3月，勞化茲以他的偶然發現為內容發表了標題為《確定的非周期流》的論文。在東京的那次會議之后，勞化茲花了大段的時間去尋找對于初始狀態有敏感依賴性的有可能最簡的模型，最終他找到了一個由非線性常微分方程組成的3變量系統，即后來我們所熟知的勞化茲方程。

就像龐加萊的三體系統，勞化茲方程在相位空間生成的軌跡永遠不會回歸到它們自身，并且不會延伸到整形維度的表面之外。相反的，典型的軌跡會向一個有界的非整數維度的分型結構收斂，之后持續盤旋。

可能由于更多的人開始研究混沌理論，預示混沌吸引子開始涌現在對于耗散系統的研究中。就像坐在秋千上的孩子需要不斷揮舞著胳膊或擺腿來保持秋千的運動，這些耗散系統也需要不斷地被注入能量以補充自身能量的損耗。在勞化茲 的系統中，能量依靠加熱來供給，耗散則由流體的粘稠度來決定。

混沌吸引子是混沌集中最優秀的樣例，一個混沌集中擁有無以計數的混沌軌跡；在這樣一個集合中，任意一個定點附近的點都會產生一條混沌軌跡。但是不論這兩個點有多么靠近，它們之間都會存在著由無數周期性軌道產生的點。從數學的角度來說，周期性軌道構成了混沌集合中一個可數、零測度、但是非常稠密的點集，就像實數集合中的有理數集。并不是只有吸引子上的點才會表現出混沌行為，任意位于吸引子吸引盆中的點都可以生成收斂到吸引子的混沌軌跡。

如果像洛倫茲吸引子那樣的混沌集中有無數多條的運動軌跡，那么為什么人們不能在現實中看到那些軌道呢？答案在于周期性軌道是不穩定的，這也是混沌理論的關鍵特性。軌道的不穩定會造成臨近軌道的發散，就像是由于在“上”這個狀態不穩定，單擺運動到“上”的位置時軌跡會發生偏離。不過混沌集中的周期軌道使得軌跡會在每個點都發散。相比較而言，單擺的軌跡只會在“上”這個位置發散。由不穩定周期軌道組成的框架導致了不規則的存在，同時也造就了在洛倫茲模型以及其他混沌系統中所中觀察到的混沌動力學。洛倫茲似乎很早就領悟到了混沌的基本特性，他認為，不只是非周期特征中暗示了敏感依賴性的存在，敏感依賴性也是造成非周期性的根本原因。

你可能以為洛倫茲開創性的模型在發布之后會立即吸引到眾人的目光。但是事實上沒有。直到12年之后，他的這篇論文也只有不到20次的引用。轉折來自于一篇題為“周期三蘊含混沌”的論文，作者是李天巖與詹姆斯·約克。其他數學家和物理學家正是通過了這篇論文才了解到了洛倫茲的工作。雖然看起來比今天的含義更加局限，但是這篇論文還是為這個領域定下了名字。到了二十世紀80年代后期，不只是相關的研究突然火熱起來，成千上萬科研文章也證實了混沌的存在。現在，混沌的概念早已在不是科學家的普通人之間廣泛地普及開來。

分形，疊合，以及拿破侖蛋糕

混沌吸引子是一般分型。為了理解混沌與分形之間的關系，我們把軌跡看做是相空間中由靠近混沌引子的點組成的水滴。引子的混沌動力學特性在一些方向上拉伸了水滴，在另外的方向上縮小了水滴，從而構成了一個很纖薄的長絲。不過由于軌跡是有界的，所以長絲最后必須將自己疊合起來。拉伸和疊合無限次的發生，就像面包師在揉面或者制作拿破侖蛋糕的糕餅一樣，最終生成了一個分形集。在這個集合中，兩個原始水滴中點的間距離在沿著吸引子吸引的方向上變得無窮大。

一個吸引子的幾何形狀與它的動力學特性存在著數量上的關系：（分型的）維度可以被計算求出。比如說可以從向空間中鄰近軌跡的發散速率，或者從單變量的時間序列求出。實際上，分型的維度代表著當系統引入吸引子之后系統自由度的有效數目。雖然洛倫茲無法使用自己的數據求出維度，但是他的吸引子還是存在著一個分型維度，這個數值大約是2.06。

圖3a展示了一個相空間軌跡中的漸近行為，這段軌跡來自另外的一個混沌吸引子，描述了受到周期性驅動和阻尼的單擺。通過放大相空間中的一小部分，我們可以看到吸引子的分形本質：在放大之后，吸引子在統計學上表現出了自相似性。有關分形的研究在二十世紀70年代的時候已經成熟，同時代的混沌學說也逐漸廣為人知，看起來吸引子混沌屬性與分形屬性間存在有緊密聯系也不是一個巧合。

即使是擁有非混沌吸引子的耗散系統，我們也能找到混沌的身影。一個例子就是受到周期性驅動的強阻尼單擺，這種系統的相位空間圖中有兩個周期性吸引子（見圖3b），對應的是單擺的順時針與逆時針旋轉，像圖中繪制的那樣，每一個吸引子都有清晰的吸引盆，典型的軌跡以數值為1的概率向其中的一個吸引子匯聚。在吸引盆邊界之間的是一個零測度、混亂分型的集合，也稱作反射極，會對臨近軌跡的進化產生短暫的影響。一個類似現象會發生在無界的軌跡中，就像在混沌散射過程那樣。

漢密爾頓混沌

正如龐加萊所預示的那樣，保守系統中也有混沌的存在，漢密爾頓曾經描述過這樣的系統。在耗散系統中高維度的吸引盆有可能會向低緯度的吸引子匯聚，不同的是，保守系統在相空間中必然會保持體積不變。

為了理解混沌現象是如何出現在一個保守系統中的，我們設想一個 n自由度的漢米爾的系統——一串沒有阻尼的簡諧振子。如果這個系統有n個獨立的積分，也就是說如果這個系統可以被n個諸如能量和動量這樣的守恒量來描述，那么這個系統是可積分的，因而他也是非混沌的。如果軌跡是有界的，系統的運動將會被分別限制在拓撲等價于n維環面的表面上；圓環的每一個維度與系統的一個周期模式相關聯。在漢密爾頓系統中，周期模式的頻率可以很方便的使用有理數來表達，但是一個普通的擾動就可以摧毀諧振環面。一些相關的軌道能夠進入一個二維的相空間區域并且變得混沌起來，其他的形成了新的小規模圓環族。這些新的保守環族也會被同樣的機制所摧毀，并且會一直這樣往復下去。KAM定理保證了非保守的環面可以在不斷的擾動中存活下來，不過小部分的環面隨著擾動而減少，因而變成軌道。最終所造成的結果是通常在漢密爾頓系統的相空間中會同時存在著規則的和混沌的區域，區域的尺度可以是任意小。

我們可以小行星帶以及土星環發現漢密爾頓混沌的美麗身影，這個中空的縫隙帶符合混沌軌跡，是一個無限接近似于圓環的軌道。

分支和多面性

動力學系統通常都有有分支存在，當系統的一個參數變化時，整個系統會突然改變。例如液體被從底部開始加熱，當溫度梯度一旦超過了某一閾值，液體中的對流會立即開始。混沌理論中一個決定性的時刻來自于二十世紀70年代，高精度的流體實驗方法以及新穎的數值與統計物理學技術，使得研究人員可以定量地分析混沌是如何貫穿于各種不同分支序列的。

米切爾·費根鮑姆 （MitchellFeigenbaum）在1978年的時候展示了這樣的現象，對于很大一部分數學和實驗系統來說，在相同的標準化分叉參數的情況下，會發生同樣的一個被稱為倍周期混沌的序列分叉。這種普遍的形式隨后被艾爾博特·利比直伯（AlbertLibchaber）和毛雷爾的低溫對流實驗所驗證。這個實驗隨后激起了混沌領域的爆發，并幫助費根鮑姆和利比查伯獲得了1986年的沃爾夫物理學獎。從那時開始，理論和實驗都證明了倍周期廣泛地存在于各種系統中，也包括洛倫茲方程本身。

我們知道了些什么？

混沌集本身與其他的物理學革命不同，對于相對論和量子力學來說，混沌并不是關于特定物理現象的理論。

相反的是，混沌是所有科學范式的轉型，混沌可以提供很多用于分析各個領域奇特行為的概念和方法。這些特點并不關心初始條件如何得到最終現象的，因而深受歡迎：早期的混沌發生在不同的學科——天體力學，數學以及工程。這些領域的研究人員對其他人的發現一無所知。同樣，混沌打破了直接分析的方法。只有當交互式計算使得實驗數學成為現實的時候，人們才能追趕上龐加萊等先驅的步伐。

基本的混沌理論已經被包含進了物理以及應用數字的課程中。不過從應用物理和工程到生理學、計算機科學以及金融學，都對混沌的具體表現有著強烈的興趣。舉例來說，最近的一個研究再次檢驗了一個長期存在的爭論，最終的結果表明人類的心跳由于和呼吸存在耦合，也表現出了混沌現象。還有當恒星系統中有第二個行星出現的時候，系統也會變得混沌起來。

盡管存在對于初始條件的敏感依賴性，耦合的混沌系統可以同步運行在一個共享的混沌軌跡中。這種現象常見于網狀系統，而相關的研究也已經展開。對計算機科學中的P與NP問題的研究已經開始。特別是在動力學系統表現形式下的限制優化問題中，當優化的強度增大的時候，混沌現象只會存在很短的時間。可能沒有其他領域會像流體力學一樣能從混沌中受益如此之多。甚至在受到周期性速度場支配的流體，微觀上流體元的運動常常表現出混沌現象。一個經典的例子是冷流體越過障礙時候的瞬間混沌行為。這種行為已經被計劃用來解釋競爭關系的浮游生物是如何在特定的孤島環境中共存的。在一個混合均勻的環境中，除了少數的物種，絕大多數的物種會滅絕。不過在一個島的尾流中，各種生物可以寄居在不同的分形狀流結構中，這些結構擁有很高的面積體積比，可以發生纏繞而不是混合（見圖 5b）。同樣的，拉伸、折疊以及呈指數分離的臨近點這些混沌的標志都在拉格朗日相關結構中被發現。這些內容將會被用于很多領域，諸如預測污染物在大氣和海洋的傳輸等等。

盡管低維度的混沌并不被直接說成是湍流，流體中仍舊發現了高雷諾數值的時空混沌。洛倫茲在一開始的時候就建立起了混沌與湍流之間的關系，他在1963年論文標題的第一選擇其實是 “決定性的湍流”，最后只是因為編輯的慫恿而放棄。

混沌鐘很多的基礎問題還未完全解決。這些問題覆蓋了從混沌在量子以及相對論系統中的意義到在相位空間中混沌與粗粒度的聯系，以及統計力上的意義等等。還有的基礎工作關注的是模型的建造，例如在天文學時間尺度上觀察到的地球磁場磁極的不規則翻轉，現在已經擁有了確定的混沌方程，與半個世紀之前的三等式模型已經大為不同。

洛倫茲吸引子已經被看作是漸進動力學的代表。洛倫茲無論在廣度還是深度上都做出了標志性的貢獻。正如他在1991年獲得的京都獎對他評價的那樣“他的‘確定性混沌’獲得了巨大的科學成就，這個法則深刻地影像了大量的技術科學，并且戲劇性地改變了人類自牛頓以來的自然觀。”

[資料來源：physicstoday][責任編輯：粒 灰]