三角形全等的難點突破

三角形全等的證明是學習初中幾何證明的重要奠基階段，是今后證明較復雜的幾何題的基礎，下面就這部分內容的學習和同學們談三點經驗.

一、確定全等三角形的對應關系

在全等三角形中正確地找出對應頂點、對應邊、對應角，是解決與全等三角形相關的問題的關鍵.全等三角形有許多對應的元素，怎樣尋找這些對應元素呢？

1.根據全等符號暗示的信息找對應

符號語言是數學思維的載體，教材中說，“記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上”，此要求同學們在學習中要嚴格遵循，養成按對應頂點表示全等三角形的習慣，并且按“對應頂點記位置”的特點找全等三角形的對應邊、對應角，達到無需看圖也能迅速找出兩個全等三角形的對應邊和對應角的目的.

例1 已知△ABC≌△BAD，如果AB=8，BD=9，AD=11，那么AC= .

【分析】一般情況下，在用符號≌表示兩個三角形全等時，我們是把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，根據這個規則可知：對應位置上的字母就是表示對應頂點的字母，對應位置上的字母表示的線段就是對應邊，表示的角就是對應角.由題設已知中所給△ABC≌△BAD符號表示可知：AC與BD是對應邊（如圖1），所以AC=BD=9.

例2 已知△ABC與△DEF全等，∠A=30°，∠B=50°，則∠D=（ ）.

A.30° B.50° C.100°

D.以上三種情況都有可能

【分析】注意本題與上例的區別，題目只說△ABC與△DEF全等，并沒有給出對應法則（即沒有用全等關系的符號）表示，所以會出現三種可能，選擇D.

2.觀察圖形特征暗示的信息找對應

①有公共邊的，公共邊是對應邊；

②有公共角的，公共角是對應角；

③有對頂角的，對頂角是對應角；

④兩個三角形中，對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角的夾邊是對應邊；

⑤兩個三角形中，對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊的夾角是對應角；

⑥兩個三角形中，一對最長的邊是對應邊，一對最短的邊是對應邊；

⑦兩個三角形中，一對最大的角是對應角，一對最小的角是對應角.

二、靈活選擇運用判定方法

三角形全等的證明有三條公理、一條推論以及直角三角形特有的斜邊直角邊公理.每個公理和推論都有自己的符號表示形式，如SAS、ASA、AAS、SSS、HL等，在學習中可以充分考慮已知條件和圖形的結構特點，利用公理及推論的字母表示形式去尋找解題思路，培養解題能力.如：（1）已知條件中有兩邊對應相等時，找兩邊的夾角或第三邊對應相等（SAS、SSS）；（2）已知條件中有兩角對應相等時，找兩角的夾邊或任何一組等角的對邊相等（ASA、AAS）；（3）已知條件中有一邊和一角對應相等時，找夾等角的另一組邊對應相等，或任何一組角對應相等（SAS、AAS）.

例3 如圖2，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明.所添條件為： .你得到的一對全等三角形是： .

【分析】本例是一道條件探索型試題，需從結論出發，執果索因，考慮要圖中存在全等三角形，現已有哪些條件，逆推還需添加什么條件， 同時本例又是一道開放性試題，答案不唯一，從圖中也可以直觀地看出可能有△ACE與△ADE，△ABC與△ABD，△BCE與△BDE三對三角形全等.

若要△ACE≌△ADE，現已有AC=AD，又AE=AE（公共邊），故還需添加CE=DE（從邊的角度考慮用SSS）或∠CAE=∠DAE（從角的角度考慮，已有兩邊，考慮兩邊的夾角用SAS）；

若要△ABC≌△ABD，現已有AC=AD，又AB=AB（公共邊），故還需添加BC=BD或∠CAB=∠DAB；

當然由△ACE≌△ADE或△ABC≌△ABD，也可推得△BCE≌△BDE.

故所添條件為：CE=DE，或∠CAE=∠DAE（∠CAB=∠DAB），或BC=BD.

由此得到的一對全等三角形是： △ACE≌△ADE，或△ABC≌△ABD，或△BCE≌△BDE.

三、熟悉三角形全等的基本圖形

在全等三角形的學習中，有很多的基本圖形，我們通過對兩個全等三角形各種不同位置關系的觀察分析，看出其中一個三角形是由另一個三角形經過平移、翻折、旋轉變換后形成的，我們將常見的三角形全等的基本圖形整理如下：

1.平移型：圖3的圖形屬于平移型圖形.它們可看成是由對應相等的邊在同一直線上移動所構成的，故該對應邊的相等關系一般可由同一直線上的線段和或差而證得.

2.對稱型：圖4屬于對稱型圖形.它們的特征是可沿某一直線對折，且這直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應頂點.

3.旋轉型：圖5屬于旋轉型圖形.它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉所構成的，故一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角、某些角的和或差中.

這些基本圖形都是由三角形經過圖形的運動得到的，只有熟悉了這些圖形，才能學會從復雜的圖形中分離出題目需要的基本圖形，對今后解決有關問題是大有益處的.在具體解題時，如能抓住基本圖形，就比較容易找到解決問題的途徑和方法.

四、復雜圖形拆分為基本圖形

當圖形復雜時，我們可把不需要的線段、角隱藏，也可將圖形分離、涂色等.圖形分離就是面對一個較為復雜的圖形時，我們從解題的需要出發，在保持圖形中各元素（點、線、角等）相對位置不變的情況下，提取出原圖形的一部分來分析問題的解決方法.分離出來的基本圖形比原圖形簡捷，少了許多來自不相干的圖形元素的干擾，看著簡化后的圖形，結合基本知識，諸多問題可迎刃而解.

例4 如圖6，已知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、E在同一直線上，求證：BD=AE.

【分析】BD是△BED或△BCD的邊，AE是△ABE或△ACE的邊，顯然△BED和△ABE不全等，故轉而考慮△BCD和△ACE，將△BCD和△ACE涂色，特別關注這兩個三角形，它們有BC=AC，CD=CE，欲證它們全等尚需一個條件，即BC和CD的夾角與AC和CE的夾角是否相等.因∠BCD=60°+∠ACD=∠ACE，故△BCD≌△ACE，從而BD=AE.

【點評】當我們利用全等三角形證明線段或角相等時，首先觀察線段或角在哪兩個可能全等的三角形中，將它們涂色后加以特別的關注，然后再分析欲證全等的這兩個三角形中，已知什么條件，還缺少什么條件，想方設法證得所缺條件.