數學思想在“軸對稱圖形”中的滲透

數學思想方法是數學的靈魂，各種考試命題都加強了對它的考查，現舉例說明數學思想在“軸對稱圖形”一章中的滲透.

一、 轉化思想

轉化是解數學題的一種重要的思維方法，轉化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想，不少數學思想都是轉化思想的體現.就解題的本質而言，解題就意味著轉化，即把生疏問題轉化為熟悉問題，把抽象問題轉化為具體問題，把復雜問題轉化為簡單問題，把一般問題轉化為特殊問題，把高次問題轉化為低次問題，把未知條件轉化為已知條件，把一個綜合問題轉化為幾個基本問題，把順向思維轉化為逆向思維等.因此同學們若能掌握轉化思想，有利于實現學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以較快地提高學習質量和培養數學能力.下面就“轉化思想”在《軸對稱圖形》一章中的應用舉例進行說明.

1.生活中有許多非直線路徑問題，我們采用適當的方法可以將它們轉化為直線路徑來處理，往往能化繁為簡.

例1 在廣闊無垠的大草原上，一個人騎著馬從A到B，半路上他必須在河邊飲馬一次，如圖1，他應該怎樣選擇飲水點P，才能使所走的路程AP+PB最短呢（假定河岸是直線l）？試在圖中作出該點，并說明理由.

【分析】這個問題源于古希臘的著名“飲馬問題”，大數學家海倫曾運用軸對稱方法巧妙地解決了這個問題.作點B關于小河l的對稱點B1，連接AB1，交l于點P，則點P就是飲馬點.

這種解法的依據是“兩點之間，線段最短”，而究其思想，在本質上是化曲為直，馬在到達點P的前后方向改變了，但我們可以設想馬是按照A→P的方向來到點B的（前后行走方向未變），那么馬的到達點必然是點B關于直線l的對稱點B1.

作法：如圖2. （1）作點B關于直線l的對稱點B1；

（2）連接AB1，交直線l于點P.

則沿路徑AP→PB飲馬，總路程AP+PB最短.

理由：如圖2，在直線l上任取一點P1（不與P重合），連接AP1、BP1、B1P1.由軸對稱的性質，得PB=PB1，BP1=P1B1.在△AB1P1中，AB1

2.當一個三角形中出現一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉化倍角關系尋找到等腰三角形.

例2 如圖3①中，若∠ABC=2∠C，如果作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；如圖3②中，若∠ABC=2∠C，如果延長CB到D，使BD=BA，連接AD，則△ADC是等腰三角形；如圖3③中，若∠B=2∠ACB，如果以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長線于點D，則△DBC是等腰三角形.

如圖4，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC.求證：∠A=90°.

【分析】由于條件中有兩個倍半關系，而結論與角有關，因此首先考慮對∠ACB=2∠B進行處理，即作CD平分∠ACB交AB于D，過D作DE⊥BC于E，則由∠ACB=2∠B知∠B=∠BCD，即△DBC是等腰三角形，而DE⊥BC，所以BC=2CE，又BC=2AC，所以AC=EC，所以易證得△ACD≌△ECD，所以∠A=∠DEC=90°.

【說明】本題也可以利用圖3的②、③來構造等腰三角形求解.

3.在證明線段相等或求某些線段長度時也常常會用到等線代換，將要求的線段轉化為已知線段.

例3 如圖5，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD//AB，PE//AC，BC=5cm，求△PED的周長.

【分析】因為BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACB的平分線，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因為PD//AB，所以∠1=∠5，所以∠2=∠5，所以BD=PD.（等角對等邊）

因為PE//AC，所以∠4=∠6，所以∠6=∠3，所以PE=EC.（等角對等邊）

所以△PDE的周長等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm.

二、分類思想

數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想.它既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法.所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法.分類思想是初中數學重要的思想之一，因試題覆蓋的知識點多，知識面廣，具有明顯的“邏輯性、綜合性、探索性”的特點，能體現“著重考查學生數學能力”的要求，所以成為歷年中考的熱點之一.從近幾年中考考生答題情況來看，分類討論題得分率很低，考生出錯往往是因為不知何時、為何分類，在分類過程中存在重復和遺漏現象.有關分類討論的思想的數學命題在中考試題中占有重要地位，命題者經常利用分類討論題來加大試卷的區分度，很多壓軸題也都涉及分類討論.下面就“轉化思想”在“軸對稱圖形”一章中的應用舉例進行說明.

例4 1.一個等腰三角形的周長為18cm，一邊長為4cm，求其他兩邊的長.

【分析】分兩種情況討論：

①若以4cm為底邊長，設腰長為xcm，則有4+2x=18，∴x=7.

∴另外兩邊的長為7cm，7cm.

②若以4cm為腰長，設底邊長為ycm，則有4×2+y=18，∴y=10.

∵4+4<10，不滿足三角形的三邊關系，

∴4cm，4cm，10cm不能組成三角形.

∴三角形的另外兩條邊長為7cm，7cm.

2.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為（ ）

A.60° B.120°

C.60°或150° D.60°或120°

【分析】分兩種情況，①當頂角是銳角時，如圖6，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°.

②當頂角是鈍角時，如圖7，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC=120°.所以頂角度數為60°或120°，所以選D.

三、 方程思想

方程思想是一種極為重要的數學思想，是中考數學中必考的基本數學思想之一.方程思想通俗地講就是當你遇到無法求值的量，如線段的長度、角度等涉及大小求值的問題，能夠主動地設未知數（用字母表示），尋找等量關系，建立方程，通過解方程求出結果的一種思想意識.通過下面一些題，看看你有沒有建立起來方程思想吧.

例5 如圖8，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求∠A的度數.

【分析】本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組的方法來求解，應當在圖形上標出各未知數，可使解題過程清晰明了.

解：設∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=z.

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=z.

∵BE=DE，

∴∠EBD=∠EDB=y.

∵AD=DE，

∴∠A=∠AED=x.

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴x=2y，z=x+y，x+z+z=180°.

解得：x=45°.

即∠A=45°.

例6 若等腰三角形一腰上的中線將三角形周長分為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長.