例談遞進式幾何探究題求解策略

何為遞進式幾何探究題

遞進式幾何題都具有如下特點：小切口，深分析， 其問題都是從特殊到一般，由表及里、由淺入深，每個問題之間，是逐步遞進的關系，前一問題的解法對后一問題的解法有直接或間接的提示作用，解法互相關聯.

解答遞進式幾何探究題的策略

關鍵在于對后續問題中圖形結構進行類比聯想，可添加適當的輔助線，化歸為前面問題中出現的相同或相似的圖形結構模型，以已經解決的問題的結論或方法，類比、猜想、論證另一個問題的結論或方法，抽絲剝繭、層層深入.

例題精講

如圖（1）～（3），已知∠AOB的角平分線OM上有一點P，∠CPD的兩邊與射線OA、OB交于點C、D，連接CD交OP于點G，設∠AOB=α（0°<α180°），∠CPD=β.

（1）如圖（1），當α=β=90°時，試猜想PC與PD，∠PDC與∠AOB的數量關系（不用說明理由）；

（2）如圖（2），當α=60°，β=120°時，（1）中的兩個猜想還成立嗎？請說明理由；

（3）如圖（3），當α+β=180°時，你認為（1）中的兩個猜想是否仍然成立？請說明理由.

（2）與（1）比較，α從特殊的90°變成較為一般的60°，β從特殊的90°變成較為一般的120°，圖形結構沒有本質變化，關鍵是α+β仍然是180°，因此，以（1）的思路方法為模型，應該仍可證結論成立.

（3）與（1）（2）比較，圖形與角度更具有一般性，但仍然保持α+β=180°這一本質特征，因此，可模仿上面的思路猜想并證明.模仿過程中，原來找什么角和邊的，現在還找什么角和邊，但要注意理論依據可能有所變化.

（2）成立.理由如下：如圖1，作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，所以∠CEP=∠DFP.因為OP平分∠AOB，所以PE=PF.

在四邊形EOFP中，因為∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，所以∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°.

又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°，所以∠EPC= ∠DPF.

（3）成立.理由如下：

【點評】本題主要考查了角平分線性質、三角形全等的判定和性質，綜合性強，有一定的難度.

遞進式幾何探究題是近年熱點題型，隨著學習的深入，同學們將會有更多的接觸，其解法并不神秘，從起始基本問題挖掘 “模型”（或者說基本圖形）是解決問題的有效策略.