例談中考中的全等

全等三角形是初中幾何的基礎(chǔ)，是中考命題的熱點(diǎn)之一，全等三角形是兩個(gè)三角形之間最簡單、最常見的關(guān)系.它不僅是后面學(xué)習(xí)相似三角形、平行四邊形、圓等知識的基礎(chǔ)，并且是證明線段相等、角相等常用的方法，也是證明兩直線互相垂直、平行的重要依據(jù).因此必須熟練地掌握全等三角形的性質(zhì)及判定方法，并且能靈活應(yīng)用.由于同學(xué)們剛剛接觸，故選取近年來中考中出現(xiàn)的最基本的全等三角形的題目，介紹一下全等三角形在中考中的基本考法.

考點(diǎn)一：全等三角形的性質(zhì)

例1 （2009·清遠(yuǎn)）如圖1，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，則∠C1= .

解：∵△ABC≌△A1B1C1，

∴ ∠C1=∠C.

∵∠A=110°，∠B=40°，

∴∠C1=∠C=180-110-40=30°.

例2 （2009·海南）已知圖2中的兩個(gè)三角形全等，則∠α度數(shù)是（ ）.

A.72° B.60° C.58° D.50°

解：因?yàn)閮蓚€(gè)三角形全等，∠α為a與c的夾角，所以∠α=50°，故答案選D.

【點(diǎn)評】全等三角形的性質(zhì)有對應(yīng)邊、對應(yīng)角、周長、面積相等，即所有的對應(yīng)元素都相等.中考中直接考三角形全等性質(zhì)的題目一般難度不大，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)以夯實(shí)基礎(chǔ)為首要任務(wù).

考點(diǎn)二：全等三角形的判定

例3 （2012·福州）如圖3，點(diǎn)E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF.求證：△ABF≌△CDE.

證明：∵AB∥CD，

∴ ∠A=∠C，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

∴AF=CE.

在△ABF與△CDE中，

AB=CD，∠A=∠CAF=CE，，

∴△ABF≌△CDE（SAS）.

例4 （2012·南京）如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D在BC的延長線上，且BD=AB，過B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E，求證△ABC≌△BDE.

證明：∵BE⊥AC，

∴ ∠ABE=∠A=90°，

∵∠ABE+∠EBD=90°，

∴∠A=∠EBD.

在△ABC與△BDE中，

∠A=∠EBD，AB=BD，∠ABC=∠BDE，

∴△ABC≌△BDE（ASA）.

【點(diǎn)評】中考考全等三角形的證明是基本要求，所以掌握好全等的判定方法是特別重要的一環(huán).對“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”以及“HL”這五種判定方法都要熟練掌握好.對間接條件的處理尤為重要，比如例3的證明用的是“SAS”，其中AF=CE這個(gè)條件的獲得就需要通過已知條件AE=CF進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4中∠A=∠EBD的獲得是利用同角的余角相等得到的.

考點(diǎn)三：判定和性質(zhì)的綜合

例5（2012·北京）已知：如圖5，點(diǎn)E，A，C在同一條直線上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求證：BC=ED.

解：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ECD.

在△ABC≌△ECD中，

AB=CE，∠BAC=∠ECDAC=CD，，

∴△ABC≌△ECD（SAS）.

∴BC=ED.

例6 （2012廣州）如圖6，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求證：BE=CD.

解：在△ABE與△ACD中，

∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，

∴△ABE≌△ACD（ASA）.

∴BE=CD.

【點(diǎn)評】證相等找全等是這種題型的常規(guī)思維，先用全等三角形的判定再用全等三角形的性質(zhì)是這類題型的常用步驟.全等作為題目的基本組成部分在中考中屢見不鮮，全等與后面同學(xué)們要學(xué)的圖形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等知識是緊密相連的，所以一定要加強(qiáng)全等三角形的學(xué)習(xí).

考點(diǎn)四：全等三角形的應(yīng)用

例7 （2012·柳州）如圖7，小強(qiáng)利用全等三角形的知識測量池塘兩端M，N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（ ）.

A.PO B.PQ

C.MO D.MQ

解：利用全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等得MN=PQ，本題答案B.

例8 （2010·河南）如圖8，要測量河兩岸相對的兩點(diǎn)A、B的距離，可以在AB的垂線l上取兩點(diǎn)C、D，使BC=CD，再定出l的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，這時(shí)測得DE的長就是AB的長.請說明理由.

解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，

∴∠ABC=∠EDC=90°.

在△ABC與△EDC中，

∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC≌△EDC（ASA）.

∴AB=ED，即DE的長就是AB的長.

【點(diǎn)評】這兩道例題介紹中考中全等三角形的應(yīng)用的考法，利用全等三角形的性質(zhì)和判定來解決 “不可測”的問題.“不可測”問題是指那些在生活中直接測量不方便或者就是直接測無法測量的一類問題，利用全等三角形的知識解決這類問題只是冰山一角，在初中階段后面的學(xué)習(xí)中，還將介紹其他的測量方法.

考點(diǎn)五：開放性題型

例9 （2012·黑河）如圖9，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是 （填一個(gè)即可）.

解：此題兩三角形已有兩條邊相等，除已知條件外，線段BC是共有的，所以有兩種添法，其一是添AB=DC，利用“SSS”證全等，其二是添∠ACB=∠DBC，利用“SAS”證全等.

例10 （2012·濰坊）如圖10所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ，使△ABC≌△DBE. （只需添加一個(gè)即可）

解：根據(jù)∠ABD=∠CBE可以證明得到∠ABC=∠DBE，所以本題可添加∠BDE=∠BAC或添加BE=BC或添加∠ACB=∠DEB.

【點(diǎn)評】開放性的題目是中考中的熱點(diǎn)，開放性問題答案不唯一，可以有很多答案，只要是合理的就行.這種添加條件對某個(gè)結(jié)論做出判斷的類型是數(shù)學(xué)開放性問題的典型考法之一，由于答案不止一個(gè)，只要寫出一個(gè)符合題目意思的答案即可.