用幾何畫板驗證“全等三角形”

《幾何畫板》是美國Key Curriculum Press 公司制作的優秀教育軟件，它可以給我們創造一個實際“操作”數學、做數學“實驗”的環境，如任意拖動某點、線，觀察圖形的變化，猜測、驗證結論，在觀察、探索、發現的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經驗背景，從而更有助于我們對數學的學習和理解.下面我帶領同學們用幾何畫板實驗驗證：為什么三角形全等的條件只有SSS、SAS、ASA這3個基本事實和AAS這1個推論呢？SSA為什么不可以呢？用SSS、SAS、ASA、AAS判定兩個三角形全等，其本質是給定的條件能不能唯一確定三角形，現在我們以邊為線索，先從三邊開始探究：

一、 三邊對應相等

已知△ABC的三邊AB=c，BC=a，CA=b，求作△ABC.

過程：先作線段AB=c，然后分別以A、B為圓心，b、a為半徑畫圓，如果兩圓不能相交，則說明給定的三邊不能組成三角形，這驗證“三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”.如圖1，我們看到，兩圓相交于兩點C、D，連接AC、AD、BC、BD，則得到△ABC和△ABD，度量三對角，發現它們分別相等，則說明這兩個三角形全等.從這里可以看出，有了三邊的長度，不用考慮角的大小，就能把三角形唯一確定下來.這說明若三角形的三邊相等，則兩三角形全等.

二、兩邊對應相等

①無角相等：已知△ABC的兩邊AB=c，CA=b，求作△ABC.

過程：先作線段AB=c，再以A點為圓心，b為半徑畫圓，在圓上任取一點C與A、B連接，所形成的三角形均滿足兩邊AB=c，CA=b的條件，如圖2，拖動點C，可以看到，這樣的三角形有無數，這說明兩邊對應相等的兩個三角形不全等.

②兩邊的夾角相等：已知△ABC的兩邊AB=c，AC=b和它們的夾角∠BAC=∠α，求作△ABC.

過程：先作∠BAC=∠α，然后以點A為圓心，分別以c，b為半徑畫圓，交∠A的兩邊于B、C兩點，連BC，則圖3中有一個確定的△ABC，滿足條件AB=c，AC=b，∠BAC=∠α.這說明若三角形的兩邊及兩邊的夾角對應相等，則兩三角形全等.

③一邊的對角相等：已知△ABC的兩邊AB=c，BC=a和邊BC的對角∠BAC=∠α，求作△ABC.

過程：先作∠BAC=∠α，然后以點A為圓心，以c為半徑畫圓，交∠A的一邊于B點，再以B點為圓心，a為半徑畫圓，可以看到，這個圓與∠BAC的另一邊有兩個交點，如圖4（也可能是一個交點，也可能沒有交點），即滿足條件的三角形不能唯一確定，這說明若三角形的兩邊及一邊的對角對應相等，則兩三角形不一定全等.

由上面的三點討論知：當已知三角形的兩邊對應相等時，必須再知道它們的夾角相等，才能確定這兩個三角形全等，而SSA不能判定兩個三角形全等.

三、有一邊相等

類似地，我們用畫板實驗有一邊相等的情形，這個留給同學們自己嘗試.