關于“軸對稱圖形”中的兩個重要基本圖形

幾何離不開幾何圖形，幾何中每個定義、定理、公理都對應著一個基本圖形，除了掌握這些最基本的圖形外，還要掌握一些常用的基本圖形.在幾何知識的學習中，同學們若能注重總結歸納基本圖形，必將受益匪淺.下面以蘇科版八（上）第二章“軸對稱圖形”中總結出的兩個重要的基本圖形為例加以說明.

一、基本圖形——垂直平分線

性質：如圖1，已知AD是線段BC的垂直平分線，則AB=AC.（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）

判定：如圖1，已知AB=AC，BD=CD，則AD是線段BC的垂直平分線.（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）

應用：

例1 如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E.求證：BF=■FC.

【分析】添輔助線往往是找出基本圖形的首要條件，它能將不完整的基本圖形補充完整.這里輔助線的著眼點就是“垂直平分線”，所以連接AF得到等腰三角形，再利用等腰三角形性質定理證明.

證明：連接AF.

∵EF為AB的垂直平分線，

∴AF=BF，

∴∠B=∠FAB.

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，

∴∠FAB=30°，

∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°，

∴AF=■FC，

∴BF=■FC.

例2 如圖3，在△ABC中，M、N分別是BC與EF的中點，CF⊥AB，BE⊥AC.求證：MN⊥EF.

【分析】這里輔助線的著眼點依然是“垂直平分線”.要證明的MN與EF的垂直關系以及條件中N是 EF的中點，就是提示我們MN是EF的垂直平分線，所以連接MF與ME得到等腰三角形，再利用等腰三角形“三線合一”證明，從而輕松解決問題.

證明：連接MF、ME.

∵CF⊥AB，

∴△CFB是直角三角形.

又∵M是BC邊上的中點，

∴MF=■BC.

同理ME=■BC.

∴MF=ME.

又∵N是 EF的中點，∴MN⊥ EF.

二、基本圖形——角平分線

性質：如圖4，點P是∠BOA的角平分線OE上的一點，PD⊥OB，PC⊥OA，垂足分別為D、C. 則DP=CP.（角平分線上的點到角的兩邊距離相等.）

判定：如圖4，點P是∠BOA內的一點，PD⊥OB，PC⊥OA，垂足分別為D、C，且 DP=CP， 則點P在∠BOA的平分線上.（角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.）

應用：

例3 如圖5，OC平分∠AOB，P是OC上一點，D是OA上一點，E是OB上一點，且PD=PE，求證：∠PDO+∠PEO=180°.

【分析】要證∠PDO+∠PEO=180°，而∠PDO、∠PEO在圖形的不同位置，且無平行線使它們聯系起來，若設法把其中的一個角轉化為另一個角的鄰補角，問題便可以解決.由于OC是角平分線，故可過P點作兩邊的垂線，構造出兩個直角三角形，再證明這兩個三角形全等即可.

證明：過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N.

∵OC是角平分線，

∴PM=PN.

在Rt△PMD和Rt△PNE中，

PD=PE，PM=PN，

∴Rt△PMD≌Rt△PNE，

∴∠MDP=∠NEP.

又∵∠MDP+∠PDO=180°，

∴∠PDO+∠PEO=180°.

例4 如圖6，已知：∠A=90°，AD∥BC，P是AB的中點，PD平分∠ADC.求證：CP平分∠DCB.

【分析】點P在∠ADC的平分線上，欲證點P在∠DCB的角平分線上，可轉化為證點P到這個角兩邊的距離相等，這是本題證明的關鍵.過點P向DC引垂線，以便充分運用角平分線的性質定理和判定定理.

證明：過點P作PE⊥DC，垂足為E.

則∠1=∠2=90°.

又∵∠A=90°，∴∠1=∠2=∠A=90°.

又∵PD平分∠ADC，∴PA=PE.

∵P是AB的中點，∴PA=PB，∴PE=PB.

∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=90°.

∴點P在∠DCB的平分線上，

∴CP平分∠DCB.

通過對這兩個基本圖形的研究，我們不難發現幾何問題中所涉及的復雜圖形往往都是一些基本圖形的疊加和演變.牢牢掌握基本圖形，能幫助我們迅速添加輔助線“補圖”，找到證題思路.如果我們能掌握這些基本圖形的性質和特征，在以后的幾何解題過程中，便會從容不迫地應對各種復雜的圖形.