中學物理解答限制性三體問題的討論

一、問題的提出

有心力作用下的三體問題（three-body problem）是物理學的難題，但一些特殊情況的三體和限制性三體問題也常出現在中學物理習題中.本文通過兩道高考題的分析，提出限制性三體在特定參考系中轉化為中學物理問題的條件和結論.

高考試題一：（2008年全國卷Ⅰ第17題）已知太陽到地球與地球到月球的距離的比值約為390，月球繞地球旋轉的周期約為27天.利用上述數據以及日常的天文知識，可估算出太陽對月球與地球對月球的萬有引力的比值約為（ ）

A.0.2B.2C.20D.200

本題標準答案是B. 解答過程如下：設太陽質量為mT、月亮質量為mY、地球質量為mD，月地距離為r，日地距離為R.

對地球、太陽系統：G=mD（）2R （1），

對地球、月球系統：G=mY（）2r （2），

可得：=（）3·（） （3）.

由萬有引力定律F=G可得：

=·（）2（4），

（3）、（4）聯立并由TY=27天、TD=365天得：

=·（）2≈2，所以B正確.

高考試題二：（2008年廣東卷第12題）如圖1是“嫦娥一號奔月”示意圖.衛星發射后通過自帶的小型火箭多次變軌，進入地月轉移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛星，并開展對月球的探測.下列說法正確的是（ ）

A. 發射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度

B. 在繞月圓軌道上，衛星周期與衛星質量有關

C. 衛星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比

D. 在繞月軌道上，衛星受地球的引力大于受月球的引力

本題標準答案是C.解答過程如下：第三宇宙速度是人造衛星脫離太陽系的速度，所以A錯誤；設月亮的質量為mY，衛星質量為m0，衛星繞月圓軌道半徑為r，由

G=mD（）2r （5），

知衛星周期與衛星質量無關，所以B錯誤；由萬有引力定律，顯然C正確；對于D選項的分析是若衛星受地球的引力大于受月球的引力，就不會繞月球做圓周運動了，所以D錯誤.

比較這兩道高考題，我們感到題一中正確的B選項和題二錯誤的D選項似乎矛盾. 對于題一提出的問題是：既然太陽對月球的引力大約是地球對月球引力的2倍，月球怎么會繞地球做圓周運動？對于題二提出的問題是：嫦娥一號在軌道上受地球的引力小于受到的月球引力是其實現繞月運行的條件？

二、問題的討論

上述兩道高考題的情景實際上屬于天體力學中的三體問題，有心力作用下的三體問題，大都要用計算機求解.如果有一個天體的質量與其他兩個天體的質量相比，小到可以忽略時，這樣的三體問題稱為“限制性三體問題”.一般地，把這個小質量的天體稱為無限小質量體，或簡稱小天體；把兩個大質量的天體稱為有限質量體.對于“限制性三體問題”，由于忽略小質量的天體對其他天體的引力，三體問題也就轉化為兩體問題了.如圖2所示，我們現進一步將問題理想化為在有心力作用下的同一平面內的天體圓周運動問題.上述兩道高考題并不涉及軌跡的計算，只涉及非慣性系中的動力學方程的正確表達.

取M為參考系：設m（含m0）繞質心C運動的周期為T，軌道半徑為r2，則有：

G=ma=m（）2r2 ，r2=R，

a=（）2r2 =G （6）.

取m為參考系：如圖3所示，m0受到三個力的作用：

m的引力 F=G；

M的引力F1=G；

慣性離心力 F2=m0a=m0（）2r2 =G.

設m0繞m的運動周期為T0，軌道半徑為r，向心加速為a0，對m0有：

G-G+G=m0a0 （7），

當R?r時，有F1≈F2，（7）式可簡化為：

G=m0a0=（）2r，事實上當R?r時，在m0運動的整個圓周上也同樣有F1≈F2，簡化式在整個圓周上成立.

三、條件與結論

條件一：當M?m0、m?m0、R?r時，

結論一：m參考系可以看成是M不存在的孤立參考系，即可以看成是慣性系，在該參考系中可以獨立地寫出有關m0的動力學方程，m0在此參考系可以做勻速圓周運動.

如果有M?m，由（6）式可知，此時r2=R，所以上述條件結論可進一步轉化為：

條件二：當M?m?m0及R?r時，

結論二：在M參考系中有：

G=m（）2R （8），

在m參考系中有：G=m0（）2r （9）.

所以在條件二下，三體問題才能轉化為中學物理可解的理想化的天體圓周運動問題.

四、結論的運用

在題一中應用上述結論：日、地、月三體系統基本滿足M?m?m0及R?r的條件，所以（1）、（2）兩式近似成立，答案B正確.

在題二中應用上述結論：地、月、嫦娥一號三體系統，月球質量為地球的1/81，基本滿足M?m?m0，地月間距離約R≈4×108米，嫦娥一號軌道高度約200千米，月球半徑約1.7×106米，嫦娥一號軌道半徑r≈2×106米，近似滿足R?r的條件，所以題二解答中（5）式成立.對于題二中的D選項，事實上這是與題一中的B選項一樣的問題，既然滿足R?r，地球對嫦娥一號的引力和嫦娥一號受到的慣性離心力就相互平衡，嫦娥一號就可在月球參考系中做勻速圓周運動，這時地球對嫦娥一號的引力的大小已經和嫦娥一號是否能繞月做圓周運動無關了.事實上可以由萬有引力定律求得嫦娥一號受到的月球引力FY和地球引力FD之比：=·（）≈·（）2≈，所以D選項確實是錯誤的，但解答中認為衛星受地球的引力大于受月球的引力就不會繞月球做圓周運動了的分析方法是錯誤的.而且這里得到的比值在題設條件中是無法求得的，所以D選項出現在本題中顯得命題不妥.

綜上所述，涉及三體問題時高中物理常用的（8）、（9）兩式是有條件的.需要說明的是本文沒有對M?m?m0及R?r兩個條件進行嚴格的數學推算，沒有給出“遠大于”的具體數學范圍，因此我們這里的條件和結論都是定性的，但對高中物理的命題有指導意義.

參考文獻：

[1] 易照華，等. 天體力學引論[M]. 北京：科學出版社，1978.