反例在數學教學中的應用

摘要：恰當的反例可以發現數學中原有理論的局限和不足，從而推動數學不斷向前發展.本文從三個方面闡述了反例在數學教學中的重要應用.

關鍵詞：逆向思維；創造能力；反例

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）23-0053-02

一、引言

數學史上很多事實表明恰當的反例可以發現數學中原有理論的局限與不足，從而推動數學不斷向前發展.反例在教學中有著重要的作用，它不但可以強化學生對基礎知識的理解和掌握，還可以培養學生的思維能力、創造能力和邏輯推導能力.

二、反例在小學數學中的應用

1.列舉反例有利于破除學生的思維定式。小學生在數學學習中，往往會沿用慣例，死套公式，不能根據問題中條件的變化選取正確方法來解決數學問題.究其原因，一方面是學生對概念理解不清，對定理、公式模棱兩可，沒有真正掌握數學實質.另一方面則是學生在心理上受到思維定式的作用，不假思索地用既定的思路去解決已發生變更的問題，以致解題錯誤.而教材在引入概念、定理、公式之后，多以正面例子幫助學生理解和鞏固，很少給出反例，這是形成數學思維定式的基礎.我們要打破這種思維慣性，便要在它形成之前增加反例教學，此時學生的慣性思維會受到強烈沖擊，使之認識到當問題的條件與情況發生變化時，應及時改變先前的思維過程.例如：小數的基本性質：“小數末尾的零可添可去”，學生常會誤將條件理解為“小數點后面的零可添可去”.反例：“3.08與3.8”等就會幫學生分清條件.如果教師能在平時的教學中有意識地對學生進行這方面的訓練，對提高學生的思維能力，使學生學會全面地分析問題和判斷問題無疑是有幫助的.

2.列舉反例有利于學生對數學語言的判斷和課堂氣氛的調節。在小學數學教學中，常用舉反例的方法做判斷題，例如：1.兩個素數一定是互質數，互質的兩個數一定是素數.（8和9是互質數，但它們卻是合數）2.所有的偶數都是合數.（2是偶數但不是合數）……這樣我們就可以引導學生進行判斷了，當然弄清這里的每一個概念才是我們教學的重點.

新的《數學課程標準》指出：“要關注學生在數學活動中表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我，建立信心.”而良好的數學情感與態度是學生參與數學活動的重要動力，是克服困難和探索創新的力量源泉.適時采用反例教學就是我們教師的一大法寶，學生往往會由于慣性思維而上當出錯，從而表現出一種好奇，感覺出其不意，有一種挑戰的欲望.在這種情況下，學生的思維最活躍，實踐能力也最強，因此作為教師，首先要本著以人為本的主體教育觀，尊重、理解、寬容出錯的學生.只有這樣，反例教學才能成為課堂教學的“調節器”，學生才會沒有心理負擔而心情舒暢，才會敢想、敢說、敢做，勇于大膽創新，才能讓我們的學生在獲得數學理解的同時，真正體會到數學的樂趣.可以想象這樣的課堂會是一幅怎樣的情景：課堂氣氛十分活躍，學生個個爭先恐后.

三、反例在中學數學中的應用

1.深化概念教學的有效手段。概念是數學理論和方法的基礎，教師不僅要運用正面的例子來深刻闡明其本質屬性，而且要靈活借助反例加深學生對概念中的關鍵詞和本質特征的認識，強化對概念的理解。例如：“一個變量隨著另一個變量的變化而變化，即是函數關系.”教學中為糾正這個錯誤，可提出反例：“一個非負數X與它的平方根Y是函數關系嗎？”通過討論學生發現雖然平方根Y與非負數X有關，但當自變量X發生變化時Y沒有唯一完全確定的值與之相對應，不符合函數的定義.

2.鑒別假命題的常用工具。要證明一個命題是正確的必須有嚴密的推理論證，而要否定一個命題只需舉出一個反例.

例1 ？搖“如果a和b都是無理數，那么ab也是無理數”是否正確？

解 設：a=■■ b=■，則ab=■■■=■■2=2

由于2是有理數，因此：命題不正確.

3.培養學生良好思維品質的重要途徑.在數學學習中，學生思維的靈活性主要表現在隨著新知識的掌握和經驗的積累，能恰當安排好新舊知識在思維中的地位，善于類比，善于用運動的、變化的觀點來看待數學內容，表現在從已知數學關系中，看出新的數學關系，從隱蔽的形式分清實質的能力上.尋求問題的反例，實際上是在帶領學生探討和研究這一課題.所以舉反例也是指出和發現問題的重要途徑，反例的應用不僅能調動學生學習的積極性、主動性，養成重視條件、嚴格推理的習慣，還可以培養思維的批判性，發展逆向思維和發散思維，形成良好的思維品質.

四、反例在高等數學中的應用

1.利用反例發現問題，培養學生思維的嚴密性。高等數學包含一套抽象嚴謹的理論體系，利用反例不但能加深學生對基本概念的理解，通過反例教學還可以使學生發現錯誤和漏洞，從反例中得到修補而獲得正確的結論.

例2 求■■+■+…+■.

許多同學在計算這個極限時，往往用數列極限的加法運算法則，則■■+■+…+■=■■+■■+……■■=0.而實際上，當n→∞時，數列{■}個數無限多，不能應用數列極限的加法運算法則.因此上述的極限運算是錯誤的，正確的做法如下：

■■+■+…+■=■n·■=■1=1

通過這個例子使學生認識到數學的嚴密性，形成良好的思維品質.

2.通過誘發學生構造反例，培養學生逆向思維能力和創造能力。在教學中恰當地引導學生構造反例，訓練學生構造反例的能力，通過構造反例培養學生的逆向思維能力和創造能力.

例3 羅爾中值定理有三個條件，缺其中一個條件羅爾中值定理就不能成立.可通過三個反例說明，再啟發學生進一步思考：若羅爾中值定理的三個條件在區間[a，b]都不成立.那么能否在區間（a，b）找到一點ε使f'（ε）=0？

構造分兩步：（1）構造函數f（x）在（c，d）？奐（a，b）內找到一點ε使f'（ε）=0.如：f（x）=x2（-1