簡化和回避分類討論的若干方法
2013-04-12 00:00:00高留順
教育教學論壇 2013年23期
摘要：分類討論是一種重要的數學思想方法和解題策略，滲透在整個中學數學每個章節，一直是高考中的熱點和重點。由于這類題目綜合性強，邏輯性嚴，探索性開放，自然也是高考的難點。
關鍵詞：分類討論；中學教育；教學方法
中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）23-0077-02
我們在重視分類討論思想應用的基礎上，也要注意克服動輒加以討論的思維定式，要充分挖掘數學問題中潛在的特殊性和簡單性，盡力打破常規，避免不必要的分類討論.下面舉例說明簡化和回避分類討論的各種方法，供同學們復習參考.
一、活用定義，另辟蹊徑
定義是我們解決問題的出發點，回歸定義，可以使問題變得簡單，解題過程更自然.
例1：等比數列{an}的前n項和為Sn，若2S9=S3+S6，試求公比q的值.
解：依題意可知，2（S9-S6）=S3-S6？圯2（a7+a8+a9）=-（a4+a5+a6）
由于a4+a5+a6=a4（1+q+q2）=a4[（q+■）2+■]≠0
從而有2（a7+a8+a9）=2q3（a4+a5+a6）=-（a4+a5+a6）
故q3=-■，即有q=-2■
點評：若用等比數列的求和公式Sn=■來求解，需分q≠1及q=1來討論。而直接運用等比數列前n項和的定義Sn=a1+a2+a3+…+an可避免討論.
二、巧用性質，避繁就簡
靈活地使用一些函數的性質，可以避免一些不必要的討論，使解題過程更簡捷.
例2：已知定義在[-2，2]偶函數f（x）在區間[0，2]是單調遞減，且f（1-m） 解：由f（x）是偶函數及條件f（1-m） f（|1-m|） 又f（x）在[0，2]是單調遞減， ∴|1-m|>|m|-2≤1-m≤2，解得-1-2≤1-m≤2≤m<■. ∴m的取值范圍是[-1，■）. 點評：由于1-m，m在[-2，0]，[-0，2]的哪一個區間不定，故要分類討論.若巧用“f（x）是偶函數，則f（-x）=f（x）=f（|x|）”這一性質，即可避免分類討論. 三、分離參數，反客為主 在含參數的方程或不等式中，若能通過適當的變形，使方程或不等式的一端只含有參數的解析式，另一端是無參數的主變元函數，從而分離參數，反客為主，接下去需解有關主變元函數的有關問題，往往可以回避討論. 例3：若不等式x2+ax+1≥0對于一切x∈（0，■]成立，則a的取值范圍是（ ） A.0？搖 B.-2 C.-■ D.-3 解：根據已知條件有a≥-x-■，令f（x）=-x-■，x∈（0，■]，則f（x）的最大值是f（■）=-■，因此a≥-■ 點評：在給定的條件下，參數能夠成功地完全分離出來，然后轉化為求函數的最值問題，這樣就避免了關于二次函數的討論. 四、數形結合，巧思妙解 利用函數圖像、幾何圖形的直觀性能巧妙地將數量關系與空間圖形有機的結合起來，有時也可以回避問題的討論. 例4：已知集合A={x|lg（x2-2ax+a2+1） 解：由A={x|lg（x2-2ax+a2+1） 令f（x）=（x-a）（x-2）>0，如圖，不論y=f（x）的Δ>0，Δ=0，Δ<0，由A∪B=R？圳f（a+1）>0f（a-1）>0？圳1 點評：按照不等式知識需按a>0，a=0，a<0分類討論求出集合B，而用數形結合來解就不必討論。 五、巧用補集，不正則反 有些問題，分類討論比較麻煩，若用補集法去考慮問題的對立面，即從結論的反面去思考和探索，得出反面結論，結合集合性質A∪CUA=U，可以將題目化難為易，化繁為簡，開拓解題思路。 例5：如果二次函數y=mx2+（m-3）x+1的圖像與x軸的交點至少有一個在原點的右側，試求m的取值范圍. 解：不妨從反面考慮問題，即先考慮兩個交點都在原點左側時m的取值范圍，則由一元二次方程mx2+（m-3）x+1=0有兩負根得： Δ=（m-3）2-4m≥0■<0 ？圯m≥9或m≤1m>0或m>3？圯m≥9，m>0■>0 取其補集得m<9，且必須滿足Δ≥0與m≠0，故二次函數圖像與軸的交點至少有一個在原點右側，m的范圍為m≤1且m≠0. 點評：若從正面求解，必須要對“兩交點均在原點右側”，“一個交點在原點右側另一個交點在原點左側”等情況進行分類討論；而從反面考慮，可以避免復雜的討論. 六、巧設方程，直達目的 在求解曲線方程時，巧妙地引入參數來假設方程，可以減少計算量，避免討論. 例6：求中心在原點，對稱軸是坐標軸，一條漸近線方程是4x+3y=0，且經過點A（-3，2■）的雙曲線的標準方程. 解：依題意可設所求的雙曲線方程為■-■=λ（λ≠0），將A（-3，2■）代入上述方程，得λ=■，故所求的方程是■-■=1. 點評：由于未明確給出焦點的位置，若設出兩個雙曲線方程，再用待定系數法來解較繁。而巧設雙曲線系方程，則可避免討論。
