中學數(shù)學教學中如何教會學生“審題”

摘要：中學數(shù)學教學中正確的審題是解題的關(guān)鍵。因此，教學過程中，我們應該從培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的途徑和方法出發(fā)，讓學生學會科學審題，即引導學生對題目中的題設、條件和結(jié)論等進行深層次的分析，以尋找正確的解題途徑。

關(guān)鍵詞：題設特征；隱含條件；內(nèi)在聯(lián)系；逆向條件

中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2013）19-0165-02

在中學數(shù)學教學過程中，學生經(jīng)常有這樣的反映：公式、定理都已經(jīng)熟悉，老師講解的每個內(nèi)容都已經(jīng)聽懂，但在做習題時，總有部分習題有著無從下手的感覺。其實，解題難的真正原因是這些學生不會真正意義上的“審題”。正確的審題是解題的關(guān)鍵。怎樣教會學生正確“審題”，是我們每個教師都應該認真研究的問題。

一、分析題設特征，尋找解題關(guān)鍵

（一）從題目數(shù)字特征中尋找解題關(guān)鍵

有些數(shù)學問題中往往蘊含著一些數(shù)字特征，如三條線段a、b、c的長度如果滿足a∶b∶c=3∶4∶5，則蘊含著這三條線段能夠成直角三角形，若滿足a∶b∶c=1∶■∶2，則表示這三條線段構(gòu)成直角三角形，且一銳角為，等等。仔細觀察題目中的數(shù)字特征，能幫助我們找出解題思路。

例1 化簡■。

分析 仔細觀察，這些被開方數(shù)存在一定的關(guān)系：

15=3×5 35=5×7 21=3×7 5=■=■×■

∴分子=■×■+■×■+■×■+■×■=（■×■）（■×■）

分子可以分解因式，而分母拆項后則是分子的兩個因式之和，因此利用倒數(shù)的性質(zhì)可達到裂項、分解、約分、化簡的目的。即：

■=■

=■=■+■=■

（二）從題目結(jié)構(gòu)特征中尋找解題關(guān)鍵

有些數(shù)學問題中往往隱含一些結(jié)構(gòu)特征，數(shù)學問題中都有這樣那樣的關(guān)系式，注意觀察關(guān)系式中的字母、數(shù)字、數(shù)式等在結(jié)構(gòu)上的特征，往往能找到解決問題的途徑。

例2 已知4個方程

①x2+x-2=0 ②x2+2x-3=0

③x2+3x-2=0 ④x2+4x-5=0

按此規(guī)律，寫出第100個方程： 。

分析 二次項系數(shù)都是1，一次項系數(shù)都為正，常數(shù)項都為負，且常數(shù)項的絕對值比一次項系數(shù)大1，更重要的是常數(shù)項可以分解成兩個數(shù)-1與n+1的積，而一次項系數(shù)正好是這兩個數(shù)的和，所以第個方程為：

n2+nx-（n-1）=0

二、挖掘隱含條件，化顯為隱

有些看似容易但很難解的題目，有時是無從著手，有時是解到一半而無法繼續(xù)，究其原因，是沒有挖掘出題目的隱含信息。

（一）從題目的語言文字中挖掘隱含信息

我們可以從題目的語言文字中挖掘隱含信息，尋找解題關(guān)鍵。

例3 已知實數(shù)a、b、c滿足a=6-b，c2=ab-9，求a=b。

分析 因a=6-bc2=ab-9，所以a+b=6ab=c2+9，聯(lián)想到韋達定理的逆定理，知a、b是一元二次方程x2-6x+c2+9=0的兩根。

∵a、b、c都為實數(shù)，這就隱含了方程x2-6x+c2+9=0有兩個實根這一條件。

∴Δ>0，即（-6）2-4（c2+9）≥0

∴c2≤0，而c2≥0，∴c=0，∴Δ=-4c2=0

故方程x2-6x+c2+9=0有兩個相等的實根，即a=b。

（二）從題目所涉概念、定義中挖掘隱含條件

例如我們可以從代數(shù)式有意義的條件、方程、不等式有解的條件中挖掘出隱含條件。

例4 已知實數(shù)滿足■+|x-1|=x，求x。

分析 此題用常規(guī)的方法很難求解，但如果能根據(jù)二次根式有意義的條件，挖掘出隱含條件：x-999≥0，即x≥999，問題就迎刃而解了。

解 由已知得x-999≥0，x≥999，∴x-1>0

有■+x-1=x，■-1-0，■=1

所以x-999=1，最后解得x=1000。

（三）從結(jié)論中挖掘隱含條件

題目的條件和結(jié)論是“怎樣解這道題”的兩個信息源，有些題目的結(jié)論中往往隱含一些條件，需要我們?nèi)ネ诰颉?/p>

例5 求方程|x-2y-3|+|x+y+1|=1的整數(shù)解。

分析 要求整數(shù)解說明、都是整數(shù)，從結(jié)論可知，原方程等價于

|x-2y-3|=0|x+y+1|=1 或 |x-2y-3|=1|x+y+1|=0

三、尋找題設和題設、題設和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋找解題突破口

數(shù)學問題的題設和題設，題設和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系有時不能一眼就看出來需要我們仔細觀察綜合分析才能挖掘出來，只要挖掘出這樣的內(nèi)在聯(lián)系，就能化難為易，化繁為簡。

例6 如圖1所示，直線y=3x+3與x交于A點與y軸交于B點，P為第四象限內(nèi)一點，連接BP，點Q（x，y）為線段AB上一動點，過Q作QD⊥PB。若QD=n，問是否存在點P使y+n=3，若存在求直線BP的解析式。若不存在，說明理由。

分析 對這個問題很多同學無從著手，但如果仔細觀察和分析，不難找出題設之間的內(nèi)在聯(lián)系。

由直線y=3x+3可得A（-1，0）、B（0，3），有OA=1，OB=3；又因QD=n，由y+n=3可知y=3-n，也就是Q點的縱坐標等于OB-QD，這就找到了題設y+n=3與QD=n、OB=3之間的聯(lián)系。所以只要過Q作ON⊥y軸于N，就能夠證明BN=QD，再證明△BQN≌△QBD，設BP與x軸交于E，得到∠EBA=∠BQN=∠BAE，推出EB=AE。再設OE=m，則BE=AE=1+m，然后在Rt△BOE中由勾股定理列方程：32+m2=（1+m）2，從而求出E（4，0），后面的思路就簡單了。

四、巧用逆向條件，創(chuàng)造解題條件

有些數(shù)學問題，如果從正面思考難以奏效時，可以嘗試從反面入手，打破定式思維，巧用逆向思維的解題策略，往往能解決問題。

例7 函數(shù)y=x2+ax+b，a、b為實數(shù)，且-1≤x≤1，求證：|y|的最大值M≥■。

證明 假設M<■，因M為|y|的最大值，故|y|<■恒成立，有-■

-■

（2）+（3）得-■

此例通過假設不成立，創(chuàng)造了-1≤x≤1時|y|<■恒成立這一能夠推出矛盾結(jié)論的有利條件。

五、結(jié)語

學習數(shù)學離不開解題，而解題首先應該會審題，正確的審題是解題成功的第一步。審題時必須看清楚題目中的每一個題設，正確理解題意，不要審題失誤。只有正確、科學地審題，才能正確地解題，審題是解題成功的關(guān)鍵，因而，在數(shù)學教學中必須注重培養(yǎng)學生的審題能力，讓學生通過科學的審題方法，養(yǎng)成良好的審題習慣，提高解題能■力。