函數(shù)中大小的比較

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）49-0101-03

學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，常會(huì)碰到一類比較大小的習(xí)題，這類題常會(huì)出現(xiàn)在冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)中。題目拿到手后，學(xué)生可能會(huì)無從下手，但只要掌握其中的方法，問題就會(huì)迎刃而解，下面就一些常見題型及其解法作如下分析。

一、首先判斷是何種函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

這是一類不需計(jì)算比較大小的習(xí)題。我們由函數(shù)的單調(diào)性知：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，若x1

1.先判斷是何種函數(shù)

2.根據(jù)這種函數(shù)的性質(zhì)，判斷它是增函數(shù)還是減函數(shù)

3.再由函數(shù)的增減性比較大小。

如比較下列三組函數(shù)的大小：

（1）1.01-3/4與0.99-3/4；

（2）0.22/3與0.20.69；

（3）log23與log25。

（1）題中函數(shù)變化的部分在函數(shù)的底，這是冪函數(shù)y=xa在比較大小。由冪函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)a>0時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)a<0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，因?yàn)閍=-3/4<0，y=x-3/4為減函數(shù)；由減函數(shù)性質(zhì)判斷：1.01>0.99，則1.01-3/4<0.99-3/4。

（2）題中函數(shù)變化的部分在函數(shù)的指數(shù)，這是指數(shù)函數(shù)y=ax在比較大小。由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)00.20.67。

（3）題中為對數(shù)函數(shù)y=logax比較大小。由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)01，y=log2x為增函數(shù)；由函數(shù)單調(diào)性判斷：3<5，則log23

二、利用函數(shù)圖像比較大小

知道幾種函數(shù)的圖像，對解答這類不需計(jì)算而比較大小的習(xí)題有很大的幫助。

已知：指數(shù)函數(shù)圖像：？搖？搖？搖？搖？搖？搖 對數(shù)函數(shù)圖像：

正弦函數(shù)圖像：？搖？搖？搖？搖？搖？搖 余弦函數(shù)圖像：

如比較大小：

（1）（1/3）-0.25與1

（2）log32與log1/23

由此判斷l(xiāng)og32>log1/23

（3）0.32 log20.3 20.3之間的大小

0.32=0.09

Log20.3：由a>1對數(shù)函數(shù)圖像判斷：x=0.3<1，則y<0即log20.3<0

20.3：由a>1指數(shù)函數(shù)圖像判斷：x=0.3>0，則y>1即20.3>1

所以Log20.3<0.32<20.3。

（4）sin2500與sin2600

由上述正弦函數(shù)圖像知：y=sinx在[900，2700]內(nèi)為減函數(shù)，因?yàn)?500<2600，所以sin2500>sin2600

（5）cos（-23/5∏）與cos（-17/4∏）

因?yàn)閏os（-23/5∏）=cos23/5∏=cos3/5∏

cos（-17/4∏）=cos17/4∏=cos1/4∏

由上述余弦函數(shù)圖像知：y=cosx在（0，∏）內(nèi)為減函數(shù)，3/5∏>1/4∏，則cos3/5∏

三、巧妙構(gòu)設(shè)函數(shù)

在函數(shù)與1或0比較大小時(shí)，除了利用函數(shù)圖像比較大小，也可巧妙地根據(jù)需要將0和1轉(zhuǎn)化為指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，如a0=1，logaa=1或loga1=0。

如比較大小：（1）0.760.12與1 （2）log51/3與0

（1）0.760.12與1

因?yàn)?.760=1，所以此題變成指數(shù)函數(shù)0.760.12與0.760比較大小；0<0.76<1，y=0.76x為減函數(shù)；因?yàn)?.12>0，則0.760.12<0.760，即0.760.12<1。

（2）log51/3與0

因?yàn)?=log51，此題變成log51/3與log51比較大小，y=log5x為增函數(shù)，而1/3<1，則log51/3

四、同類函數(shù)比較大小時(shí)，也可已知函數(shù)y的大小，比較自變量x的大小，但此時(shí)需考慮函數(shù)本身的定義域

如：解下列不等式

（1）（x-1）-1/2>（2-x）-1/2

此為冪函數(shù)y=xa比較大小，a=-1/2<0，冪函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)y1>y2時(shí)，有x102-x>0，得1

（2）lg（2x+1）>lg（5-x）

此為對數(shù)函數(shù)Y=lgx比較大小，y=lgx為增函數(shù)，當(dāng)y1>y2時(shí)，有x1>x2，即2x+1>5-x，得x>4/3；而對數(shù)不等式的定義域?yàn)?x+1>05-x>0，得-1/2

（3）2x2+3>24x

此為指數(shù)函數(shù)y=2x比較大小，y=2x為增函數(shù)，當(dāng)y1>y2時(shí)，有x1>x2，即x2+3>4x，得x>3或x<1；而指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），此題不考慮定義域，所以不等式的解為x>3或x<1。

五、同類函數(shù)比較大小時(shí)，若a為不確定的變量，則需先分類討論討論函數(shù)的增減性，然后再比較大小

a取不同范圍的值，函數(shù)的增減性可能不同，則需根據(jù)a的不同取值范圍，分函數(shù)的增減性來討論函數(shù)的大小。

例1：解不等式a■

解：a>1時(shí)，x2+2<2x2+1，則x>1或x<-1

02x2+1，則-1

例2：解不等式loga（x2-2x-15）>loga（x+3）

解：a>1時(shí) x2-2x-15>x+3x2-2x-15>0x+3>0得x>6

00x+3>0得5

所以：當(dāng)a>1時(shí)，x>6；0

例3：若loga1/2<1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

解：因?yàn)閘ogaa=1，由已知得loga1/2

當(dāng)a>1時(shí)，loga1/21/2，由a>1a>1/2 得a>1

當(dāng)0

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>1或0

例4：求函數(shù)的定義域y=■（a>0，a≠1）

解：函數(shù)定義域?yàn)椋?-loga（x+a）≥0x+a>0即loga（x+a）≤logaax+a>0

當(dāng)a>1時(shí)，x+a≤ax>-a 即-a

當(dāng)0-a 即x≥0

以上為本人在函數(shù)教學(xué)中，對部分函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和解題方法的總結(jié)。本文歸納了幾種常用的方法，僅起到拋磚引玉的作用。而作為教師本人解題經(jīng)驗(yàn)畢竟是淺顯有限的，在今后工作中應(yīng)不斷學(xué)習(xí)解題理論，不但要提高自身素質(zhì)，而且更重要的是，通過解題教學(xué)更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。