基于誤差反饋的變步長LMS自適應濾波算法

摘 要： 對變步長LMS濾波算法進行研究，提出一種新的變步長LMS自適應濾波算法。該算法基于Sigmoid函數(shù)，通過引入誤差因子反饋來調(diào)整函數(shù)參數(shù)，解決了類Sigmoid函數(shù)中參數(shù)設置的問題，并使算法具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。計算機仿真表明，相對于其他變步長算法，該算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面均表現(xiàn)優(yōu)異，具有較好適用性。

關(guān)鍵詞： LMS算法； 自適應濾波； 收斂速度； 穩(wěn)態(tài)誤差

中圖分類號： TN713?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）11?0057?03

0 引 言

LMS（Least mean square）自適應濾波算法[1]由Widrow和Hoffman提出，該算法計算簡單、穩(wěn)定性好、易于實現(xiàn)，被廣泛應用在控制、雷達、系統(tǒng)辨識等領(lǐng)域。但是這種固定步長的LMS算法在收斂速率和穩(wěn)態(tài)誤差之間的要求是相互矛盾的，而且該算法在處理相關(guān)信號時，其收斂速度顯著下降。

經(jīng)典的LMS算法的局限在于其固定步長無法兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。為了解決這一問題，人們在此基礎上提出了各種各樣的變步長LMS濾波算法。其核心思想都是用變步長代替固定步長，使算法在大的誤差范圍內(nèi)具有快速的收斂性，在小的誤差范圍內(nèi)具有較小的失調(diào)量。文獻[2]提出了變步長參數(shù)正比于誤差的算法，其性能有所提升，但并不理想。文獻[3]給出了一種稱為S函數(shù)的變步長LMS算法（SVLMS），該算法的步長調(diào)整策略有一定的先進性，但該算法在誤差接近零時步長變化劇烈，可能導致穩(wěn)態(tài)誤差增大。文獻[4]在文獻[3]的基礎上做了進一步的改進，修正了步長在誤差接近零時變化劇烈的問題，但算法中的關(guān)鍵參數(shù)需要通過實驗手工設置，而參數(shù)設置不當將嚴重影響算法的性能。文獻[5?6]則分別基于其舌線、雙曲正切函數(shù)和反正切函數(shù)提出了相應的變步長LMS算法，在一定程度上緩解了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。文獻[7]提出了基于變換域的LMS濾波算法，變換域的LMS算法能夠提高運算速度，但收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾并沒有解決。

可見目前的研究大多集中在變步長策略。變步長策略的實質(zhì)是找到誤差和步長之間的一個對應關(guān)系，此對應關(guān)系能自動調(diào)節(jié)函數(shù)的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。本文在文獻[4]的基礎上提出基于Sigmoid函數(shù)的EFLMS（Error Feedback Least Mean Square）算法。該算法利用反饋的思想，通過在參數(shù)中引入誤差因子，解決Sigmoid函數(shù)參數(shù)設置的問題，使算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標上均有所改善，同時算法具有廣泛的適應性。

1 相關(guān)工作

變步長LMS濾波算法的實質(zhì)是通過誤差自適應的調(diào)節(jié)步長，即在誤差較大的收斂階段用較大的步長以提高收斂的速度，在誤差較小的穩(wěn)態(tài)階段用較小的步長以獲得較小的誤差。其核心思想是用誤差來反饋調(diào)節(jié)步長，也就是找到誤差和調(diào)節(jié)步長之間的函數(shù)關(guān)系，使算法在穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度上找到一個好的平衡。

文獻[4]提出了一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長濾波算法。該算法的Sigmoid函數(shù)相對簡單，而且在誤差接近零處變化不大，具有緩慢變化的特征。其算法設計如下：

[e（n）=d（n）-XT（n）W（n）] （1）

[μ（n）=β[1-exp（-α|e（n）|2）]] （2）

[W（n+1）=W（n）+2μ（n）e（n）X（n）] （3）

算法的核心是公式（2）。通過式（2）建立起誤差[e（n）]和步長[μ（n）]之間的對應關(guān)系，當誤差大時步長變大，收斂速度提高；當誤差逐漸變小時，調(diào)整步長變小，算法趨于穩(wěn)態(tài)。式（2）中[α]和[β]是常數(shù)，其中[α>0]，其控制函數(shù)的形狀和收斂速度，參數(shù)[β>0]控制函數(shù)的取值范圍。其中參數(shù)[α]是影響算法性能的關(guān)鍵之一，其取值的大小將直接影響算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差值。

但是文獻[4]中并沒有就參數(shù)的取值提出明確的設置方法，而是采用實驗的方法確定參數(shù)的最優(yōu)值。而參數(shù)設置不當將嚴重影響算法的性能，同時也使算法的適用性受到了一定的限制。

本文提出的EFLMS算法基于Sigmoid函數(shù)，通過在參數(shù)中引入誤差因子解決了函數(shù)參數(shù)設置的問題。下面介紹EFLMS算法。

2 算法描述

EFLMS算法基于文獻[4]提出的變步長策略，并在其基礎上做了進一步的改進，通過在參數(shù)中引入誤差反饋實現(xiàn)參數(shù)自動調(diào)整。

算法中設計步長和誤差的函數(shù)如下：

[μ（n）=β（n）?[1-exp（-α（n）?e（n）2）]] （4）

其中：

[α（n）=[e（n）/e（n-1）]2] （5）

[β（n）=（1-b0）?β（n-1）+b0?[e（n）/e（n-1）]2-1] （6）

式中：參數(shù)[α（n）]控制算法步長變化的形狀和速度，而[β（n）]控制函數(shù)的取值范圍。式中的常數(shù)[b0]用于調(diào)整取值范圍以滿足算法收斂。

兩個參數(shù)[α（n）]和[β（n）]都是誤差比值[e（n）e（n-1）]的函數(shù)。當[e（n）e（n-1）]的比值較大時，說明誤差變化較大，算法還處在收斂階段，那么這時相應的參數(shù)[α（n）]對應較大的值，這時對應得到的步長[μ（n）]較大，算法的收斂速度加快。隨著誤差[e（n）e（n-1）]比值的逐漸變小，這時[α（n）]變小使步長[μ（n）]變小，算法趨于穩(wěn)態(tài)。在參數(shù)[β（n）]中，當[e（n）e（n-1）]比值較大時，說明誤差變化較大，算法處在收斂階段，這時[β（n）]較大，相應此時步長[μ（n）]變大，算法收斂加快；當[e（n）e（n-1）]比值逐漸變小，這時[β（n）]變小使步長[μ（n）]變小，算法趨于穩(wěn)態(tài)。當極限時[e（n）e（n-1）～1]，此時[β（n）=（1-b0）β（n-1）]，保證了系統(tǒng)不會出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況。

下面在Matlab仿真平臺上對EFLMS算法進行仿真實現(xiàn)，驗證算法的性能。

3 仿真分析

自適應濾波算法的性能指標主要有收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，為此對算法的步長和誤差進行仿真實驗。這里主要對文獻[4]中的自適應算法和EFLMS算法進行仿真，以驗證EFLMS算法的性能。

仿真設置如下：自適應濾波器階數(shù)為20，輸入信號為單頻正弦波，參考的輸入信號為零均值、方差為1的高斯白噪聲，采樣點數(shù)為900。其中文獻[4]中的參數(shù)[α=0.5]，[β=0.01]。而EFLMS中的參數(shù)設置如下：式（5）中的[k=2]，式（6）中的[b0=0.02]。

3.1 步長變化仿真

算法的調(diào)整步長是誤差的函數(shù)，步長的變化反映了算法的運行情況。優(yōu)秀算法步長應該是在收斂階段較大，使系統(tǒng)具有較快的收斂速度；達到穩(wěn)態(tài)階段較小，以使系統(tǒng)獲得較小的誤差。所以步長的變化規(guī)律在一定程度上反映了算法的合理性。

文獻[4]的算法中步長隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖1所示，是EFLMS算法的步長變化曲線如圖2所示。圖中橫坐標是迭代次數(shù)，縱坐標是算法的調(diào)整步長。

可以看到，兩種算法的步長都隨著迭代次數(shù)的增大而減小，達到一定的迭代次數(shù)之后趨于穩(wěn)定。圖1中，其步長在迭代160次左右時趨于穩(wěn)定，而圖2中步長在迭代60次左右就趨于穩(wěn)定?？梢奅FLMS算法的步長調(diào)整策略更加合理，其收斂速度顯著優(yōu)于文獻[4]的算法。這是因為EFLMS算法自適應特性更強，其對參數(shù)設置的依賴程度更小，其步長調(diào)整更合理。

3.2 誤差仿真

誤差反映了算法的輸出信號和原信號之間的差別，達到最小誤差所用的迭代次數(shù)越少，說明算法的收斂速度越快，最小誤差值越小說明算法的精度越高，濾波效果越好。所以誤差值的在一定程度上反映了算法的性能。

圖3和圖4分別是文獻[4]和EFLMS算法的誤差變化曲線圖。隨著迭代次數(shù)的增加，兩個算法的誤差都逐漸變小，小到一定程度之后都趨于穩(wěn)定，此時系統(tǒng)也趨于穩(wěn)定。

圖3中所示算法的誤差在迭代160次左右達到穩(wěn)定，圖4中的算法在迭代60次左右誤差達到穩(wěn)定，顯然圖4的算法達到穩(wěn)定誤差所需的次數(shù)更少，收斂速度更快，而且在系統(tǒng)穩(wěn)定之后的誤差也更小，對信號的濾波效果更好。這是因為EFLMS算法能根據(jù)誤差的變化自適應調(diào)整步長的能力更強，在收斂階段誤差較大時其步長較大，所以其收斂速度很快；而在誤差變小之后調(diào)整步長更小，使系統(tǒng)獲得更高的精度。

可見，EFLMS算法的性能優(yōu)異，無論在收斂速度還是在穩(wěn)態(tài)誤差上均優(yōu)于文獻[4]的算法。

4 結(jié) 語

本文提出一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS自適應濾波算法——EFLMS算法。該算法通過引入誤差因子來調(diào)節(jié)參數(shù)，解決了Sigmoid函數(shù)參數(shù)需要手工設置的問題，使算法的步長調(diào)整策略更合理。在仿真平臺上對算法進行驗證，仿真結(jié)果表明，相對文獻[4]濾波算法，EFLMS算法在收斂速度更快，精度更高，驗證了算法的可行性和優(yōu)越性。

參考文獻

[1] WIDROW B， STEARNS S D. Adaptive signal processing [M]. Englewood Cliffs， NJ： Prentice Hall， 1985.

[2] YASUKAWA H， SHIMADA S， FURUKRAWA I， et al. Acuoustic echo canceller with high speech quality [C]// IEEE ICASSP. [S.l.]： IEEE， 1987： 2125?2128.

[3] 覃景繁，歐陽景正.一種新的變步長LMS自適應濾波算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理，1997，12（3）：171?174.

[4] 高鷹，謝勝利.一種變步長LMS自適應濾波算法及分析[J].電子學報，2001，29（8）：1094?1097.

[5] 鄧江波，侯新國，吳正國.箕舌線的變步長LMS自適應算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理，2004，19（3）：282?285.

[6] 鄭莎莎.智能天線變步長最小均方算法的研究與仿真[D].長春：吉林大學，2007.

[7] BEAUFAYS F， WIDROW B. Transform?domain adaptive filters： an analytical approach [J]. IEEE Transaction on Signal Processing， 1995， 43（2）： 442?431.