人體頭部過載模型階次的辨識與降階研究

摘要： 針對在系統辨識過程中面臨的人體頭部過載模型階次辨識問題，介紹了常用的模型階次辨識方法及利用殘差平方和即損失函數J估計模型階次的原理，并基于20組試驗數據開展人體頭部過載模型階次辨識研究。通過系統辨識獲得了人體頭部過載模型后，采用Gram陣對Hankel奇異值分解方法實施模型簡化和降階處理。通過比較降階前后模型，表明模型降階方法是有效和正確的。

關鍵詞： 人體； 頭部過載模型； 模型階次辨識； 模型降階

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）22?0031?04

0 引 言

基于試驗數據及試驗過程的系統建模過程，通常稱為“系統辨識”，它是系統建模的一個十分重要的途徑。隨著現代控制理論的迅速發展，過程控制及計算機技術的不斷進步，“系統辨識”已經成為在理論和方法上都有著鮮明特色的學科，已經廣泛而有效地應用于航空航天、生物工程、經濟系統等諸多領域，也為人體頭部過載研究提供了有力工具。

模型階次辨識是在給定的模型結構中選擇一個合適的模型階數，使其能夠很好地挖掘出所給出數據的特征。如果模型階數選擇太小，將使模型失真，無法完整的表達出數據的特征，如果階次選擇太大，則會出現信息冗余，既降低了計算效率，也會影響到系統狀態的識別[1]。所以，合理選擇模型的階次對于人體頭部過載辨識研究具有很重要的意義。

1 模型階次辨識原理

在實際工程應用中，系統的階次是很難被準確知道的，因為對階次的了解程度是直接與一個線性差分方程的準確結構有關的，因此階次的確定也稱為系統結構的確定[2]。如果模型的階次確定得不準確，就可能在控制系統設計中造成嚴重的問題。常用的階次辨識方法有行列式比、推廣的行列式比、F檢驗、赤池信息準則等[3]。

在模型辨識過程中，模型階數估計與參數估計是相互聯系，互為條件的。文章詳細介紹了殘差平方和（損失函數J）估計模型階次的方法。這是一種簡單的但也是最有效的確定階次的方法，它通過比較不同階次的模型與測量數據之間的擬合程度，擬合度可用損失函數J來測量：

式中：[θ]是對于一個給定模型階次n的最小二乘估計。一般來說，n變大，則J下降。但是，當n變得比實際階次大時，J的下降就不那么明顯了。這個性質可以直接用來估計模型的階次，也就是說，模型階次的確定可以直接依次計算階次[n=1，2，…]時的最小二乘估計[θ]及其響應的損失函數J，然后選擇當J下降不明顯時的階次作為合適的模型階次[n]。

2 人體頭部過載模型階次辨識

在此以乘體過載和人體的復雜組合體為研究對象，根據實際具備的試驗條件，設計實現了以乘體過載為輸入、以人體頭部過載為輸出的特殊作業條件下人體頭部過載試驗，采集獲取了4名被試者20組試驗數據開展系統辨識研究。

本文結合實際分析和工程經驗，確定以ARX模型進行系統辨識研究。時不變SISO動態系統的數學模型為：

通過Matlab辨識工具箱中的模型辨識函數，計算和比較ARX模型的損失函數值，并得到最小損失函數所對應的階次。從模型定階結果來看，20組試驗數據確定的ARX模型多項式A（q），B（q）的階次范圍na，nb都為10，其差異在于純延遲時間nk不同。階次結果如表1所示，自動定階結果如圖1所示。

通過數據預處理和模型定階，確定了每次試驗的模型階次，并通過ARX參數辨識方法確定了模型參數。將多次試驗系數平均化，確定了通用化ARX模型，模型結構如下：

3 辨識模型降階

由于辨識模型階次較高，不便于實際使用，因此需對模型進行降階。降階過程中，既不能過分強調傳遞函數的準確性，給模型的應用帶來許多不便，也不能過分簡化傳遞函數，使系統的能觀能控性變得很差。實際上，由傳遞函數的零極點相銷造成的不能控不能觀的現象還是比較少的，這是由于實際系統的復雜性幾乎不可能使傳遞函數正好零極點相等，所以實際應用中的不能控不能觀的說法只能是一種近似說法，也就是在傳遞函數中有相近的零極點時，這樣的系統就是臨界能控能觀的，當零極點相近程度很高時，系統就成為不能控不能觀系統[3]。

傳遞函數進行降階的通用算法是[4]：先將傳遞函數轉化為狀態實現，計算可控和可觀格拉姆陣，再求兩者之積的特征值的平方根（亦稱為Hankel奇異值），確定相似變換和平衡實現，接著根據奇異值分布決定降階模型的階數，最后將狀態方程轉化為傳遞函數。總之，模型降階的關鍵就是取出與較小Hankel奇異值相對應的子系統。

數學上定義為：假定狀態空間系統（A，B，C，D），Hankel奇異值定義為[5]：

將Hankel奇異值按照降序排列，[σ1≥σ2≥…≥][σm≥σm+1≥…≥σn>0]，[i=1，2，…，n，]當[σm≥σm+1]時，取m作為降階后系統的階次，刪除平衡模型[Sb]中m+1以后的行和列，得到一個m階系統，該方法保留了系統可控性和客觀性較強的狀態，這是通過將這些狀態的Gram陣進行奇異值分解而得到的[6]。系統的Hankel奇異值大小可以顯示系統各個狀態的能量并可以衡量各個狀態的可控、可觀程度。Hankel奇異值越小，對應的狀態能量也就越小，其可控、可觀性也就越弱，被稱為“弱狀態”，在降階過程中就可以被截去。人體頭部過載系統連續時間模型Hankel奇異值計算結果如圖2所示。

取階次m=2，由balred（）函數得到降階后系統連續時間模型，降階前后零極點分布對比情況見圖3，其中黑色為降階前模型零極點，灰色為降階后模型零極點。降階后模型階躍響應和脈沖響應對比分析如圖4所示，某一名被試者某次試驗降階前后模型對實測數據的擬合情況如圖5所示。

由模型降階前后的響應對比分析可知，當降階后階次m=2時，降階前后模型階躍響應和脈沖響應變化較大，對實測數據擬合程度較低，因此m=2不可取。

取m=9，由balred（）函數得到降階后系統連續時間模型，降階前后零極點分布對比情況見圖6。其中藍色為降階前模型零極點，綠色為降階后模型零極點。降階后模型階躍響應和脈沖響應對比分析如圖7所示，某一名被試者某次試驗降階前后模型對實測數據的擬合情況如圖8所示。

由模型降階前后的響應對比分析可知，當降階后階次m=9時，降階前后模型穩定性和響應變化一致性較好，對實測數據的擬合程度較高，因此取降階模型階次為m=9，得到降階后系統模型為：

降階后的人體頭部過載系統輸入/輸出傳遞函數模型為：

降階后的模型是具有9個零點、9個極點的高階系統，仍然具有臨界穩定特性，可見模型降階后保留了系統的穩定特性。通過降階前后模型對階躍輸入信號和脈沖輸入信號的響應以及與實測數據的仿真對比來看，系統降階未改變系統的響應特性。因此，認為系統經過降階，有效的保留了輸入/輸出特性及穩定性，并由10個極點、9個零點系統簡化為9個極點、9個零點的系統，模型降階處理正確有效，同時也由此驗證了ARX模型辨識定階方法的正確性和有效性。

4 結 語

計算人體頭部過載系統辨識模型的Hankel奇異值，通過觀察發現了降階后的階次m=2和m=9存在降階的可能，并通過對m=2和m=9進行降階嘗試。通過模型階躍響應、脈沖響應及實際輸入數據仿真等手段對降階后模型進行了驗證，結果表明模型降階后的階次m取9時較合適。由此，獲得了降階后的階次為9的人體頭部過載系統辨識模型，模型降階處理正確有效，同時驗證了ARX模型辨識定階方法的正確性和有效性。通過對人體頭部過載模型階次的設計和降階，使得模型更加簡潔，對工程應用具有一定的意義。

參考文獻

[1] 姚福來.傳遞函數的降階處理[J].計算技術與自動化，1990，9（3）：15?18.

[2] 胡壽松.自動控制原理[M].4版.北京：科學出版社，2001.

[3] 李言俊，張科.系統辨識理論及應用[M].北京：國防工業出版社，2006.

[4] 張勇.基于模型降階法的線性相位IIR濾波器設計[J].北方交通大學學報，1993（1）：87?94.

[5] 魏巍.Matlab控制工程工具箱技術手冊[M].北京：國防工業出版社，2004.

[6] 劉佳璐，陳雪波.系統模型降階平衡法的改進[J].鞍山鋼鐵學院學報，1999（5）：291?293.