基于傅里葉變換干涉光譜濾波技術的研究

摘 要： 干涉光譜技術是現如今光譜成像技術的前沿技術，但是由于實驗中噪聲的影響，往往使得干涉圖像摻雜噪聲信號，因此需要對實驗所得的干涉圖進行處理。重點研究圖像的濾波處理以及對干涉圖進行傅里葉變換，用Matlab編寫相應的處理程序。比較中值濾波和高斯濾波兩種濾波技術各自的作用及優點；分析干涉圖經過濾波處理后圖像的變化情況，最后處理后的干涉圖經過傅里葉變換，用傅里葉逆變換把圖像顯示出來，與原圖像比較得出濾波技術在圖像處理中的重要作用。

關鍵詞： 干涉光譜； 傅里葉變換； 中值濾波； 高斯濾波

中圖分類號： TN911.73?34； TP391.41 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）21?0048?04

0 引 言

干涉成像光譜技術又稱作傅里葉變換成像技術，其基本原理是被測場景經過成像系統后，在CCD探測面上獲得干涉圖與被測場景的光譜圖之間有傅里葉變換關系。因此，對干涉圖進行逆傅里葉變換就能獲得被測場景的光譜分布[1]。

在麥克遜干涉光譜儀中，可以連續移動的臂（反射鏡），稱參考鏡或動鏡，另一個不動的臂稱為靜鏡，若在其臂中放入測量的樣品，當參考鏡的位置發生變化時，干涉儀的兩束相干光的光程差就會發生改變，伴隨光程差的變化干涉光的光強就會發生相應的變化。這時，接入顯示設備，就可以得到干涉圖像。在獲得干涉圖后，對在時域中得到的干涉圖在頻域內進行傅里葉變換，這樣的光譜技術稱為傅里葉變換光譜技術。由于圖像的輸入、采集、處理等環節將會被各種各樣的噪聲影響，特別是在圖像的輸入、采集中，噪聲的影響特別重要，它必然會影響處理的整個過程，因此抑制噪聲成為圖像處理中的重要步驟[2]。

1 傅里葉變換

傅里葉變換是數字信號處理領域一種重要的方法，任何連續測量的時域信號都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加[3]。而傅里葉變換算法對測量到的原始信號，以累加的方式來計算該信號中不同正弦信號的頻率、振幅和相位。因此，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成易于分析的頻域信號。連續傅里葉變換將平方可積的函數[f（t）]表示為復指數函數的積分或級數形式[4]。

這是將頻域的函數[F（ω）]表示為時域函數[f（t）]的積分形式。

連續傅里葉變換的逆變換為：

即將時域函數[f（t）]表示為頻域函數[F（ω）]的積分。

2 干涉圖數據處理方法

2.1 采樣

若光譜帶寬被限定為[fM，]信號[x（t）]采樣時間[T]滿足[2fM≤1T，]這樣光譜不會產生重疊；而如果[2T<2fM，]光譜會重疊。當光譜[x（t）]為未知時，為避免疊加出現，必須限制其光譜的范圍，其中[T]為[x（t）]的采樣時間間隔。若采樣合適，則[T=1（2fM）；]若采樣不足，則[T>1（2fM）；]若采樣過量，則[T<1（2fM）。]

研究表明，當光譜波數下限為[σmin]和光譜波數上限值為[σmax]時，為了在傅里葉變換過程中既不損失光譜信息，又不浪費計算時間，干涉圖采樣光程差間隔必須滿足的條件是：

這樣采樣所得到的干涉圖可以重構原模擬光譜圖像數據[5]。

2.2 灰度直方圖

圖像的基本描述有灰度、分辨率、信噪比、頻譜等，灰度直方圖是用于描述圖像的灰度分布情況的直方圖，有一維直方圖和二維直方圖之分。其中最為常用的是一維直方圖，定義是：對于數字圖像[f（x，y），]設圖像的灰度值為[r0]，[r1]，…，[rL-1]，則概率密度函數[P（ri）]為：

3 濾 波

3.1 干涉圖像的中值濾波處理

中值濾波法是具有低通性能的濾波器，中值濾波法對消除椒鹽噪音非常有效。中值濾波基本的原理[6]是把數字圖像或數字序列中某一點的值用該點的某一個領域中各點的值代替。其中值的定義如下：

對于一維組數[x0，x1，x3，…，xn-1。]把這[n]個數按照從小到大的順序排列： [x0≤x1≤x3≤…≤xn-1。]則得到其平均值[y]見式（5）：

[y=Med{x0，x1，…，xn-1}=xn-12，n為奇數12xn-22+xn+22，n為偶數] （5）

[y]為序列[x1，][x2，]…，[xn]的中值。例如，有一個序列{0，2，4，3，5，1，6}，重新排列后為{0，1，2，3，4，5，6}，則Med{0，2，4，3，5，1，6}=3即為該點的中值輸出量。

在一維的情況下，中值濾波器是一個含有奇數個點的窗口，在處理之后，將窗口正中那點的值用窗口內各點的中值代替。一維中值濾波算法定義如下：

設有一個一維序列[{xi，][i∈I}，][I]為自然數集合，取窗口長度為[2k+1，]對這樣的一維序列進行中值數字濾波，從輸入的序列中連續得到[2k+1]個數[xi-k，xi，xi+k，]其中[xi]為窗口中心點值，再將此[2k+1]個點值按其由小到大的排列，選取這數列中心點的量值作為濾波器的輸出值，使用公式表示為：

在一維情況下，中值濾波不影響斜坡函數和階躍函數，并且可以有效地消除單、雙脈沖，使得三角函數的頂端變平。中值濾波可以應用于二維圖像處理中，可以利用二維各種形狀、形式的窗口。通常采用的中值濾波的先取窗口為3×3的矩形窗口，共9個像素。實驗結果表明通過中值濾波可以在很好地消去了孤立噪聲點的干擾的同時，很好地保護邊界信息。

中值濾波可以推廣到二維，對于二維序列[xij]中值濾波， 濾波窗口也是二維的（見式（7）），但這種二維窗口可是各種不同的形狀，如方形、三角形、圓形甚至可以為圓環形和十字型等，不同的圖像內容和不同的應用要求選用不同的窗口尺寸和形狀，二維中值濾波窗口尺寸和形狀對濾波效果影響很大。

對于中心點一般處于感興趣點中，窗口尺寸一般先由3再變化到5，然后逐漸增大，直到達到滿意的濾波效果為止。對于具有緩慢變化輪廓線較長的圖像來說，一般采樣圓形窗口或者方形窗口為佳；對于具有尖頂角的圖像，一般采用十字形窗口為濾波的效果較好；窗口的大小以不超過圖像中最下端有效物體的尺寸為宜。

數字中值濾波是一種典型的具有低通性能的濾波器，它屬于非線性的濾波技術， 其目的是在保存圖像邊緣性能的情況下而能消除噪聲的影響。所謂數字中值濾波，是在以某一點[（x，y）]為中心的小窗口領域內，將所有象素的灰度按設定的順序排列好， 若領域內的象素為奇數個，則將中間值將設定為[（x，y）]處的灰度值；若窗口領域內中的象素為偶數個點，則選定某兩個中間值的平均值作為[（x，y）]處的灰度的代表值。數字中值濾波對去除椒鹽噪聲效果較好。數字中值濾波器的不足之處為對所有象素點都采用相同的值來取代，在消除噪聲的同時很有可能改變原來真正象素點的值，而引入相應的誤差，從而損壞圖像的邊緣和具體特征細節。該算法對高斯型的噪聲和均勻分布的噪聲幾乎沒有效果。它和平均濾波器相比，中值濾波器從總體上來說，將能夠比較好地保存原圖像中的突變部分的性能。

3.1.1 干涉中值濾波去噪聲

本文選取的圖像為二維干涉圖像信號，在信號中加入指定的椒鹽噪聲信號，然后利用中值數字濾波去除噪聲的干擾。Matlab軟件的工具箱中已經提供了中值濾波函數[7]，因此下面介紹利用數字中值濾波函數消除圖像中的噪聲的具體過程：

（1）將使用輸入函數imread（）讀入原始的彩色位圖文件的圖像；

（2）使用數字中值濾波器對灰度位圖圖像進行處理，利用函數rgb2gray（）將彩色位圖圖像轉化為灰度圖像；

（3）使用噪聲函數imnoise（）在灰度圖像中加入椒鹽噪聲；

（4）利用函數medfilt2（）進行數字中值濾波， 可直接在Matlab環境下運行。

3.1.2 中值濾波的主要優點

（1）中值濾波能有效地消除噪聲

對于輸入信號具有零均值正態分布的噪聲，中值濾波輸出的噪聲方差可以近似表示為式（8）：[σ2med=14mf2（m）≈πσ2i2m+π2-1] （8）

式中：[σ2i]是輸入噪聲的方差；[m]為中值濾波窗口的長度；[m]是輸入噪聲的平均值；[f（m）]是輸入噪聲的密度函數。由公式（8）可以看出中值濾波的輸出和輸入噪聲的分布有關。輸出噪聲方差與輸入噪聲密度函數的平方成反比。對隨機噪聲的抑制功能，中值濾波比平均均值濾波要差一些；但是對于脈沖干擾信號，特別是脈沖寬度小于[m2]時，中值濾波是特別有效的[8]。

（2）對輸入信號的不變性

對于某些特定的輸入信號，如在窗口內單調變化的序列，中值濾波輸出信號與輸入信號保持相同。即：[fi-k≤…≤fi≤…≤fi+k]或者[fi-k≥…≥fi≥…≥fi+k，]則[{yi}={fi}。]因此，相比較一般的線性濾波，中值濾波能更好的保護圖像的細節。中值濾波器的頻譜基本不變。

3.1.3 中值濾波的缺點

（1）中值濾波對脈沖噪聲和鹽掓噪聲擬制效果較好，而對高斯噪聲和均勻噪聲濾波的效果不佳，并在實際濾波中存在相當的盲目性；

（2）當濾波窗口內的干擾樣本數（像素數）大于窗口一半時，中值濾波沒有濾波效果。此時，依靠增加濾波窗尺寸來提高噪聲濾除的能力，但是同時也損失了圖像的一些細節；

（3）圖像中的一些尖銳邊角、細線、棱角等經過中值濾波后被消除，破壞了圖像原來的幾何結構；

（4）非常數信號受到脈沖干擾，中值濾波后會出現邊緣抖動，即使在低噪聲區，仍然會有邊緣位移。

為了提高中值濾波的濾波效果，人們從各個方面對其進行改進，得到了許多改進型的中值濾波器[9]。

3.2 高斯平滑濾波器

高斯濾波器是根據高斯函數的形狀來選擇權值的線性平滑濾波器。適用于消除高斯噪聲，高斯平滑濾波器對于抑制服從正態分布的噪聲非常有效。它是一個低通濾波器，一維零均值高斯函數如式（9）：

[g（x）=exp-x22σ2] （9）

對于圖像處理來說，常用二維零均值離散高斯函數作平滑濾波器[10]。在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用，特別是圖像光滑和光滑后探測邊界上很有用[11]。

在圖像處理中，高斯濾波一般有兩種實現方式，一是用離散化窗口滑窗卷積，另一種通過傅里葉變換。最常見的就是第一種滑窗實現，只有用滑窗計算量非常大的情況下，可能會考慮基于傅里葉變化的實現方法[12]。圖1為待處理干涉條紋。圖2為中值濾波后干涉圖像。圖3為高斯濾波后的圖像，可以看出它的邊緣要比圖2清晰許多。

高斯函數一些特性如下：

（1） 權因子隨從原點的距離逐步減少到零，這意味圖像離中心位置近的部分要比遠的部分重要；另外擴散參數[σ]表示相鄰的寬度，95%的權重表示包含在[2σ]范圍內。

（2）橫坐標對稱性，也就是旋轉對稱性。對它的翻轉函數進行卷積得到的內核相同。

（3）在頻率內對高斯函數進行傅里葉變化，將產生另外一個高斯形式，這說明在空間域內高斯掩摸的卷積將減小圖像的高頻部分。

（4）一維高斯函數的二階導數中心有一個負的瓣波和兩個正的瓣波，零點位于[-σ]和[+σ]處。它們分別對應高斯函數的拐點和它的一階導數的極值點。

（5）高斯函數的二階導數的拉布拉斯算子稱為對數濾波器。對數濾波器可以近似計算高斯函數的差值，見式（10），其中[c1，c2]為常數。當[σ1>σ2，]中心瓣波為正值。

4 總 結

數字濾波器就是建立的一個數學模型，通過這個模型來將圖像數據進行能量轉化，能量低的就排除掉，噪聲就是屬于低能量部分，其實編程運算的過程就是一個模板運算。高斯濾波器是平滑線性濾波器的一種，線性濾波器很適合去除高斯噪聲。而非線性濾波則很適合用于去除脈沖噪聲，中值濾波就是非線性濾波的一種。平滑濾波器就是用濾波掩模確定的鄰域內像素的平均灰度值去替代圖像的每個像素點的值，這很容易用硬件實現。而高斯濾波器是帶有權重的平均值，即加權平均，中心的權重比鄰近像素的權重更大，這樣就可以克服邊界效應。對于本實驗中干涉條紋圖像，亮條紋和暗條紋的中間區域的通區域來說，使用中值濾波處理中間點的像素值就等于連通區的像素值的均值，這樣達到平滑的效果。若使用理想濾波器，會在圖像中產生振鈴現象。在光學測量條紋圖象的相位分析處理方法中中值濾波有特殊作用。

參考文獻

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