基于部分噪聲子空間DOA估計的性能分析

摘 要： 基于子空間DOA估計的MUSIC算法，是將陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解后，利用與信號分量相正交的噪聲子空間來估計信號波達(dá)方向。然而在進(jìn)行譜估計之前，需要對信號源的數(shù)目進(jìn)行估計，以確定信號子空間和噪聲子空間的維數(shù)，這將增大DOA估計的復(fù)雜度。對利用部分噪聲子空間進(jìn)行譜估計的方法進(jìn)行了闡述，由于其不需要進(jìn)行信源數(shù)目的估計，因此可以減小譜估計的復(fù)雜度。計算機仿真實驗和性能分析驗證了該方法的性能。

關(guān)鍵詞： 噪聲空間； 波達(dá)方向； MUSIC； DOA估計

中圖分類號： TN911?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）07?0047?04

0 引 言

空間譜估計中，基于子空間DOA估計的算法，如多重信號分類（MUSIC）[1]算法、ESPRITE[2?3]算法等是一類經(jīng)典的高分辨算法。這一類算法的提出開創(chuàng)了空間譜估計算法研究的新時代，促進(jìn)了特征結(jié)構(gòu)類算法的興起和發(fā)展，該算法已成為空間譜估計理論體系中的標(biāo)志性算法。MUSIC算法的基本思想則是將任何陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，從而得到與信號分量相對應(yīng)的信號子空間和與信號分量相正交的噪聲子空間，然后利用這兩個子空間的正交性來估計信號入射方向等參數(shù)。

然而在進(jìn)行譜估計之前，需要對信號源的數(shù)目進(jìn)行估計，以確定信號子空間和噪聲子空間的維數(shù)，這將增大DOA估計的復(fù)雜度。有人認(rèn)為在對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解后，只有最小的特征值對應(yīng)的特征向量才是真正的噪聲子空間（本文稱為部分噪聲子空間）。因此如果直接利用該部分噪聲子空間進(jìn)行空間譜估計，將不再需要進(jìn)行信源數(shù)目的估計，可以降低系統(tǒng)在實現(xiàn)過程中的復(fù)雜度，以及提高譜估計的時效性。

本文對利用部分噪聲子空間進(jìn)行譜估計的方法進(jìn)行了闡述，并用計算機仿真進(jìn)行了對比說明。仿真結(jié)果顯示，利用部分噪聲空間進(jìn)行譜估計的性能和利用全部噪聲子空間進(jìn)行譜估計的性能接近。

1 均勻線陣模型

均勻線陣[4]由于其導(dǎo)向矢量矩陣具有Vandemonde矩陣的結(jié)構(gòu)，其分析較為容易，同時由于其可劃分子陣進(jìn)行平滑解相干，因此有許多基于子陣平滑的算法[5?6]，這里以均勻線陣進(jìn)行分析說明。其模型如圖1所示，均勻線陣共有M個陣元，共有N個信號[si]（t），i=[1，2，…，]N，第i個信號入射方向（與線陣法線的夾角）為[θi]，設(shè)最左邊的陣元為參考陣元，第[l]個陣元接收的數(shù)據(jù)為：

[xl（t）=i=1Nal（θi）si（t）+nl（t）， l=1，2，…，M] （1）

式中：[al（θi）=e-jω0τli]，[τli=（l-1）dsinθic]，[ω0=2πf=2πcλ]，c為電磁波傳播速度，l為波長；[nl（t）]為第[l]個陣元在t時刻的噪聲。整個陣列接收數(shù)據(jù)可寫成如下形式：

[X（t）=[x1（t） x2（t） … xM（t）]] （2）

寫成矢量形式如下：

[X（t）=AS（t）+N（t）] （3）

式中：X（t）為M×1維快拍數(shù)據(jù)矢量；S（t）為N×1維信號數(shù)據(jù)矢量；N（t）為M×1維噪聲數(shù)據(jù)矢量；A為空間陣列的M×N維導(dǎo)向矢量矩陣。其中：

[A=[a1a2…aN]] （4）

[ai=[1exp（-jωτ2i）…exp（-jωτMi）]H] （5）

[S（t）=[s1（t）s2（t）…sN（t））]H] （6）

[N（t）=[n1（t）n2（t）…nM（t）]H] （7）

均勻線性陣列模型

2 基于部分噪聲子空間的DOA估計

2.1 超分辨MUSIC算法[7]

MUSIC算法是一類經(jīng)典的超分辨算法，MUSIC算法是對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，利用噪聲子空間進(jìn)行譜峰搜索，得到高分辨的波達(dá)方向估計。

陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

[R=E[XXH]=AE[SSH]AH+δ2I=ARSAH+δ2I] （8）

對[R]進(jìn)行特征分解有：

[R=USΣSUHS+UNΣNUHN] （9）

式中：令[Σ=ΣS+ΣN=λ10…00λ2…000??00…λM]，為矩陣經(jīng)過特征分解之后的特征值矩陣。[US]是由大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即是信號子空間，而[UN]為由小特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間也即噪聲子空間。考慮到實際接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長的，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的最大似然估計為：

[R=1Li=1LXXH] （10）

對[R]進(jìn)行特征分解可以計算得到噪聲子空間特征矢量矩陣[UN]。由于噪聲的存在[a（θ）]與[UN]并不能完全正交，因此實際上求DOA是以優(yōu)化搜索實現(xiàn)的，即求[aH（θ）UNUHNa（θ）]的最小值。所以MUSIC算法的譜估計公式為：

[PMUSIC=1aH（θ）UNUHNa（θ）] （11）

需要說明的是，此處的噪聲子空間是經(jīng)過信源數(shù)目估計后而確定。比如，當(dāng)陣元數(shù)目為M，而信號數(shù)目為P時，則噪聲子空間為M-P個小特征值對應(yīng)的噪聲子空間。

2.2 基于部分噪聲子空間進(jìn)行DOA估計

本節(jié)介紹由部分噪聲子空間進(jìn)行譜估計的原理及方法。由上節(jié)內(nèi)容可知，若整個陣列有M個陣元，P個信源，且P

在無噪聲的理想情況下，信號子空間和噪聲子空間是完全正交的，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣經(jīng)過特征分解后的特征值滿足：

[λ1λ2…λP>λP+1=…=λM] （12）

得到的M-P個小特征值應(yīng)該相等，即[λP+1=…=λM]。但是，由于各種因素的影響，導(dǎo)致噪聲子空間的各特征值并不完全相等，其特征值具有如下形式：

[λ1>λ2>…>λP>λP+1>…>λM] （13）

由于特征值不再具有式（12）的特點，因此需要用到關(guān)于信號源數(shù)估計的方法，如AIC準(zhǔn)則[8]、MDL準(zhǔn)則[9]、及CCT[10]等方法進(jìn)行信源數(shù)目的估計。

但是，如果進(jìn)一步分析，可以發(fā)現(xiàn)，正是由于噪聲、有限的數(shù)據(jù)長度等因素的存在，使得信號子空間和噪聲子空間的不完全正交，噪聲子空間的特征值在一定程度上變大。因此，可以考慮將最小的特征值[λM]對應(yīng)的矢量作為噪聲子空間，從而進(jìn)行空間譜估計。這是因為，由于在所有特征值當(dāng)中，[λM]的值最小，也就意味著其受各種非理想因素的擾動也是最小的，其更接近實際的噪聲子空間。

由于將最小特征值對應(yīng)的噪聲矢量作為噪聲子空間時，只需要考慮一個特征值及其對應(yīng)的噪聲矢量，因此在進(jìn)行譜估計的過程中無需進(jìn)行信源數(shù)目的估計，這可以大大簡化整個譜估計的過程及復(fù)雜度，提高時效性。

獲取部分噪聲子空間的原理圖圖2中[U1～UP]為[P]個大特征值對應(yīng)的特征向量，[VP+1～VM]為M-P個小特征值對應(yīng)的特征向量，部分噪聲子空間采用最小特征值對應(yīng)的特征向量[VM]作為空間譜估計的噪聲空間向量。得到噪聲子空間后，即可進(jìn)行空間譜估計。

獲取部分噪聲子空間

2.3 改進(jìn)的基于部分噪聲子空間進(jìn)行DOA估計

上節(jié)對利用部分噪聲子空間進(jìn)行DOA估計的方法進(jìn)行了說明，雖然利用最小特征值對應(yīng)的噪聲向量進(jìn)行DOA估計時，不需要估計信源數(shù)目，但其在一定程度上減小了噪聲子空間的維數(shù)，因此其估計的穩(wěn)定性會有所下降，因此這里給出一種改進(jìn)的基于部分噪聲子空間DOA估計方法。

其思想是對基于部分噪聲子空間DOA估計的直接推廣，其噪聲子空間不再由最小特增值對應(yīng)的噪聲子空間直接構(gòu)成，當(dāng)陣元數(shù)目足夠大時，用最小的某幾個特征值對應(yīng)的噪聲向量構(gòu)成噪聲子空間。該方法能夠增強譜估的穩(wěn)定性，達(dá)到和利用全噪聲子空間方法接近的性能，但同樣免去了對信源數(shù)目的估計。

因此，這里將采用部分噪聲子空間進(jìn)行空間譜估計的步驟總結(jié)如下：

（1）由陣列的接收數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣[R]；

（2）對[R]進(jìn)行特征分解；

（3）找出最小的特征值或最小的某幾個特征值對應(yīng)的特征向量，確定噪聲子空間[VM]；

（4）進(jìn)行譜峰搜索；

（5）找出極大值點對應(yīng)的角度就是信號入射方向。

下面將通過仿真對采用部分噪聲空間的進(jìn)行譜估計的性能進(jìn)行驗證。

3 性能仿真

不失一般性，陣列采用4陣元均勻線陣，陣元間距采用最高頻率的半波長，即[d=λ2]，快拍數(shù)為256。

仿真實驗1：部分噪聲子空間和全噪聲子空間測向比較

對于4陣元均勻線陣，MUSIC測向算法最多可以測3個獨立信號，此時子空間為由最小的特征值對應(yīng)的噪聲向量構(gòu)成，因此，和利用部分噪聲空間的情況一致，因此，用2個信號來比較利用部分噪聲子空間和利用全噪聲子空間測向時的性能。設(shè)信號為窄帶調(diào)頻信號，中心頻率3 GHz，信號個數(shù)為2，波達(dá)方向為[23°，45°]噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比為10 dB，采用50次獨立實驗的均值。利用部分噪聲子空間和全噪聲子空間的測向結(jié)果

不同信噪比條件下的誤差

中可以看出，對于部分噪聲子空間和全噪聲子空間，兩種方法都能夠?qū)聿ㄟM(jìn)行精確的測向。雖然部分噪聲子空間法在其他角度的空間譜較全噪聲子空間法而言，值要大些，但部分噪聲空間的峰值也更加尖銳。總的來說，本仿真中，兩種方法的測向性能接近。

仿真實驗2：部分噪聲子空間和全噪聲子空間測向均方根誤差比較

本仿真比較部分噪聲子空間法和全噪聲子空間法測向時，在不同信噪比條件下的均方根誤差性能。設(shè)有一感興趣信號，該信號為窄帶調(diào)頻信號，中心頻率3 GHz，波達(dá)方位角為35°，噪聲為加性高斯白噪聲，采用50次獨立實驗的均值。進(jìn)行50次獨立仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

不同信噪比條件下的均方根誤差（實驗2）

可以看出，在較低信噪比條件下，全噪聲子空間表現(xiàn)出較好的估計性能，而部分噪聲子空間的性能則差于全噪聲子空間法。但是隨著信噪比的不斷提高，部分噪聲子空間的估計精度逐步提高，在較高信噪比條件下，其估計性能和全噪聲子空間法是一致的。因此，在較低信噪比條件下，由于部分噪聲子空間法使得噪聲子空間的維數(shù)下降，造成在一定程度上譜估計的穩(wěn)定性有所下降，但隨著信噪比的提高，其估計性能會逐步提高。

仿真實驗3：改進(jìn)的部分噪聲子空間法和全噪聲子空間法測向均方根誤差比較

本實驗采用最小的兩個特征值對應(yīng)的向量構(gòu)成噪聲子空間進(jìn)行仿真，設(shè)信號為窄帶調(diào)頻信號，中心頻率3 GHz，波達(dá)方位角為35°，噪聲為加性高斯白噪聲，進(jìn)行50次獨立實驗，仿真結(jié)果如圖5所示。

不同信噪比條件下的均方根誤差（實驗3）

可以看出，本仿真中部分噪聲子空間法的性能已經(jīng)和全噪聲子空間很接近，這是由于噪聲子空間由兩個特征值對應(yīng)的向量構(gòu)成，因此它的穩(wěn)定性相對仿真實驗2中的子空間法有所增強。

因此，在信噪比較高的條件下，以及陣元數(shù)較多時，可以采用固定的特征值對應(yīng)的向量構(gòu)成噪聲子空間進(jìn)行譜估計，其性能和先進(jìn)行信源數(shù)估計，然后進(jìn)行譜估計的性能是接近的。但其優(yōu)點在于能夠減少信源數(shù)目估計這一環(huán)節(jié)，同時由于噪聲子空間的維數(shù)也是固定不變的，因此能夠大大減少計算的復(fù)雜度，提高時效性。

4 結(jié) 語

本文對利用部分噪聲子空間進(jìn)行譜估計的方法進(jìn)行了闡述，該方法不再需要進(jìn)行信源數(shù)目估計，可以降低系統(tǒng)在實現(xiàn)過程中的復(fù)雜度，以及提高譜估計的時效性。最后用計算機仿真進(jìn)行了對比說明。仿真結(jié)果顯示，在高信噪比條件下，利用部分噪聲子空間進(jìn)行譜估計的性能和利用全噪聲子空間進(jìn)行譜估計的性能接近，但是其復(fù)雜度降低，時效性更好。同時，可以采用某幾個最小特征值對應(yīng)的向量構(gòu)成噪聲子空間的方法，其相對于最小特征值直接構(gòu)成噪聲子空間而言，其穩(wěn)定性及估計性能有大幅提高。

參考文獻(xiàn)

[1] SCHMIDT R. Multiple emitter location and signal parameter estimation[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1986， 34（3）： 276?280.

[2] ROY R， PAULRAJ A， KAILATH T. ESPRIT?a subspace rotation approach to estimation of parameters of cisoids in noise[J]. IEEE Transactions on Acoustics， Speech and Signal Processing， 1986， 34（5）： 1340?1342.

[3] ROY R， KAILATH T. ESPRIT?estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J]. IEEE Transactions on Acoustics， Speech and Signal Processing， 1989， 37（7）： 984?995.

[4] 楊小牛，樓才義，徐建良.軟件無線電技術(shù)與應(yīng)用[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2010.

[5] 令瀚，黃志清，張麗婭.基于均勻線陣的混合源波達(dá)方向估計方法[J].通信技術(shù)，2009，42（1）：123?125.

[6] 程小震，唐宏，付紅衛(wèi)，等.一種改進(jìn)的全陣空間平滑技術(shù)[J].電訊技術(shù)， 2010，50（3）：37?41.

[7] 王永良，陳輝.空間譜估計理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[8] AKAIKE H. A new look at the statistical model identification [J]. IEEE Trans. on Automatic Control， 1974， 19（6）： 716?723.

[9] RISSANEN J. Modeling by shortest data description[J]. Automatica， 1978， 14： 465?471.

[10] CHEN W， REILLY J P， WONG K M. Detection of the Number of Signals in Noise with Banded Covariance Matrices[J]. IEE Proceedings?Radar，Sonar and Navigation， 1992， 143（5）： 289?294.