基于指數矩的圖像描述

摘 要： 論證一種基于T指數構建的圓諧?傅里葉矩——指數矩（ EFMs），分析其定義原理及其與基于三角函數構建的圓諧?傅里葉矩的關系，驗證指數矩作為一種正交不變矩所具有的多畸變不變性質。通過在Matlab軟件平臺上進行的仿真實驗，證明了指數矩的旋轉、縮放不變性，得出了指數矩作為一種高度濃縮的圖像特征，無信息冗余，抽樣性能好，抗噪聲能力強，與其他矩相比更適用于多畸變不變圖像描述和識別的結論。

關鍵詞： 數字圖像； 指數矩； 圖像歸一化； 不變量

中圖分類號： TN964?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2013）14?0112?04

Image description based on exponent moments

WU Yu， ZHAO Jia?ji， PING Zi?liang， DU Hao?xiang

（Century College， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing 102613， China）

Abstracta： The circular harmonic?Fourier moments established on the basis of exponent， i.e. exponent moments （EMs） are demonstrated in this paper. The analysis of its principle and its relation with the CFMs verifies the multi?distorted invariance that EMs as the orthogonal invariant moments possess. Through a series of simulation experiments on Matlab platform， the rotation invariance and position invariance of EMs were proved. A conclusion that the EMs are more suitable for image description and recognition than other moments since it is a highly?concentrated image characteristic which has good sampling performance and strong anti?noise ability， but has no information redundancy.

Keywords： digital image； exponent moment； image normalization； invariant

數字圖像處理技術以其信息量大、處理和傳輸方便、應用范圍廣等優點，成為人類獲取信息的重要來源和利用信息的重要手段，并在宇宙探測、遙感、生物醫學、工農業生產、軍事、公安、辦公自動化等領域得到了廣泛應用，顯示出廣泛的應用前景。在圖像處理的應用中，目標識別技術[1]就是使用對目標的抽象描述來有效地進行目標表示與比較，這種描述一般定義為從各種圖像中提取的特征。矩在統計學中用于表征隨機量的分布，而在力學中用于表征物質的空間分布，若把二值圖像或灰度圖像看作是二維密度分布函數，矩就可以提取為用于描述一幅圖像的特征[2]。1962年，M.K.Hu根據幾何不變量理論引進了幾何矩的概念。Teague等提出的正交矩解決了如何用較少的矩更好地描述圖像的問題，Y.L.Sheng提出的正交傅里葉?梅林矩（OFFMs）在描述圖像方面優于其他正交不變矩。2002年，平子良等提出了切比雪夫?傅里葉矩（CFMs），獲得了與OFFMs相似的結果。2003年，任海萍等提出采用三角函數構建圓諧?傅里葉矩（CFMs），并從歸一化圖像重建誤差、噪聲靈敏度等方面對其圖像描述能力進行了分析，證明它在各種描繪圖像的矩中性能最好[3?4]。2010年，平子良等提出一種基于指數構建的圓諧?傅里葉矩——指數矩（EFMs） ，與基于三角函數構建的圓諧傅里葉矩相比，指數矩不僅性能優良，而且形式簡單、計算速度快。

矩和矩函數已被廣泛應用于圖像識別、圖像分類、圖像變換、圖像傳輸、圖像壓縮等圖像信息處理技術領域。本文旨在研究指數矩的圖像描述能力，對指數矩的理論依據進行推導驗證，并基于指數矩進行了圖像的恢復重建等仿真實驗，驗證了指數矩不變量的旋轉、縮放不變性。

1 指數矩

1.1 圓諧?傅里葉矩

圓諧?傅里葉矩[5]這種正交矩本身不是多畸變不變量，經過適當的變換可以得到多畸變不變性。圓諧?傅里葉矩不變量對圖像的平移、縮放、旋轉具有不變性。圓諧?傅里葉矩定義在極坐標下，它的基函數是由徑向函數，和角向的傅里葉因子組成：

（1）

式中：n為非負數；m為整數；r的取值范圍為，θ的取值范圍為。圓諧?傅里葉矩的徑向基函數主要由正交完備的三角函數系構成：

在內，徑向基函數，是加權正交的：

（2）

根據上式和角向傅里葉因子的性質，圓諧?傅里葉矩的基函數在單位圓，內是正交的：

（3）

圓諧?傅里葉矩實際上就是將函數圖像投影在圓諧?傅里葉矩的基函數上得到的系數，它在極坐標下的表達式可寫為：

（4）

式中是圖像函數的圓諧?傅里葉矩。

1.2 指數矩

指數矩是通過以更為簡潔的復指數函數代替三角函數，從而實現的一種基于指數構建的圓諧?傅里葉矩[5]。

根據歐拉公式：

（5）

可知，正弦函數和余弦函數可以表示為復指數函數的形式，將圓諧?傅里葉矩徑向基函數中的三角函數用復指數形式表示，即：

（6）

式中：n的取值范圍是所有整數；r的取值范圍為。

在極坐標系中，定義基函數系，為：

（7）

式中：為徑向基函數；為角向基函數，m的取值范圍是所有整數。

根據和角向傅里葉因子的性質可知，函數系在單位圓內是正交的，即

（8）

按照函數正交理論，在極坐標系中圖像函數可以分解為函數系的無限加權和，即：

（9）

式中為展開式的系數。對一個圖像函數，稱其在基函數上的展開式系數為階指數——傅里葉矩（Exponential?Fourier moments，EFMs），定義表達式為： （10）

2 圖像重建

圖像函數是定義在直角坐標下的函數，指數矩是定義在極坐標下圖像函數和基函數的積分，為了計算的方便，傳統的計算指數矩的方法是在直角坐標下進行的。首先將極坐標下指數矩的表達式轉化為直角坐標下的表達式，然后根據直角坐標下的公式計算圖像的指數矩。極坐標下指數矩的表達式由前文給出，若要得到直角坐標下的表達式，首先要進行極坐標和直角坐標之間的轉換，二維坐標平面上任一點的極坐標和直角坐標轉換公式為：

（11）

（12）

積分微元在兩種坐標下的轉換公式為：

（13）

根據式（11）和（12），可以將被積函數中的變量由極坐標形式轉化為直角坐標形式，根據式（13），可以將微元表示為直角坐標下的形式，這樣通過坐標變換就可以將指數矩表示為直角坐標下的表達式

（14）

根據直角坐標下的指數矩的積分表達式（14）可看出，在計算圖像指數矩時，積分變量的變化范圍是，所以首先需要將圖像歸一化到單位圓內，并使圖像的中心位于單位圓的圓心，將圖像歸一化后所計算的指數矩就具有了縮放不變性。將圖像歸一化到單位圓內后，取每個像素所確定的小區域的中心點作為被積函數的函數值的抽樣點，將像素坐標轉化為單位圓內的離散坐標而后進行函數值抽樣，則像素坐標轉化為單位圓內的坐標公式為：

（15）

（16）

（17）

（18）

對于一個的圖像，上述公式將像素坐標轉化為外接單位圓內的坐標，且圓心位于圖像中心。表示在每個像素確定的小區域的中心點的坐標值，滿足，每個像素確定的小區域的面積為。在每個像素所確定的小區域內，積分變量和被積函數的取值點為，像素點的圖像函數值為，指數矩的基函數值為：

（19）

由此再根據指數矩在直角坐標下的積分表達式可得出直角坐標下指數矩的離散形式的表達式：

（20）

對圖像函數，由上式計算出它的指數矩之后，可以利用有限個指數矩來近似重構圖像函數。極坐標下利用有限個指數矩近似重構圖像函數的表達式寫為：

（21）

可將上式表示為直角坐標下重構圖像函數的表達式：

（22）

對于不同圖像不同階數的分解重構仿真結果分別如圖1～圖3所示。

圖1 字母圖像重構

圖2 RGB圖像重構

圖3 文字圖像重構

在Matlab軟件平臺上的仿真實驗結果表明：對于字母圖像，用10階的指數矩即可成功重構可辨認的圖像；對于普通圖像，用15階的指數矩即可成功重構可辨認的圖像；對于文字圖像，用20階的指數矩即可成功重構可辨認的圖像。因此，指數矩與其他描述圖像的矩一樣具有非常有效的圖像描述性能，能夠完整、無冗余的重構圖像。

3 旋轉不變性

指數矩的模具有旋轉不變的性質。設為極坐標下的圖像函數，其指數矩為，將原圖像旋轉角度生成圖像，圖像的指數矩為，根據指數矩的計算公式，極坐標下的指數矩為：

（23）

對上式兩端取模：

（24）

由上式可知，將圖像旋轉一個角度后的指數矩的模與原始圖像的指數矩的模是相等的，也就是說指數矩的模具有旋轉不變性。對比兩圖像的指數矩，還可以得出圖像的旋轉角度。對文字圖像進行30°，150°，210°，330°的旋轉變換仿真結果如圖4所示。對圖像分別旋轉30°，150°，210°，330°，變換后指數矩的模始終不變，三維直方圖如圖5所示。

4 縮放不變性

計算縮放不變的指數矩時，對一個給定的圖像函數，找到圖像半徑的，則的變化范圍為，其歸一化的圖像函數：

（25）

其中的變化范圍為，為歸一化后的圖像函數，利用歸一化的函數計算所得到的指數矩就具有縮放不變性。因為，同一圖像函數，縮放而得到的任一圖像按照式（25）最終都歸一化為同一個函數，所以歸一化后的圖像指數矩就具有了縮放不變性。

圖4 圖像旋轉

圖5 指數矩模值三維直方圖

對文字圖像進行放大2倍、縮小2倍的縮放仿真結果如圖6所示。對圖像分別進行放大2倍、縮小2倍，變換后指數矩的模始終不變，三維直方圖如圖7所示。

在Matlab軟件平臺上的仿真實驗結果表明：在對圖像進行30°，150°，210°，330的旋轉變換后，圖像質量沒有受損，指數矩模值沒有改變；對圖像進行放大2倍、縮小2倍的縮放變換后，圖像質量沒有受損，指數矩模值沒有改變。因此，驗證了指數矩的不變量具有旋轉不變性和縮放不變性。

圖6 圖像縮放

圖7 指數矩模值三維直方圖

5 結 論

本文論證了一種基于指數構建的圓諧?傅里葉矩——指數矩（EFMs）以及其在圖像描述中的應用。對比探究了指數矩與基于三角函數構建的圓諧?傅里葉矩（CFMs）的關系，推導了指數矩的定義及其不變性的理論依據。

通過在Matlab平臺上的一系列仿真實驗，驗證了指數矩能夠重構圖像等優良的圖像描述能力以及其旋轉不變性和縮放不變性。由此，證明了指數矩可以作為一種多畸變不變的圖像特征而被應用于數字圖象處理與識別等領域當中。

參考文獻

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[4] 孟敏，平子良. 基于指數矩的圖像分解和重建[J].內蒙古師范大學學報：自然科學漢文版，2011，40（3）：56?58.

[5] 銀國瑞.基于圓諧?傅里葉矩的抗幾何攻擊數字水印算法研究[D].內蒙古：內蒙古師范大學，2009.

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