淺議數(shù)學(xué)中的形象思維

摘要：數(shù)學(xué)是思維的體操，是思維的工具，甚至可以說數(shù)學(xué)的教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)。指出形象思維與抽象思維是科學(xué)研究中不可缺少的思維手段，我們以前對抽象思維研究較多，而對形象思維則缺少認(rèn)識，以致用電子計(jì)算機(jī)處理各種理論問題時勢如破竹，而用它來處理圖像領(lǐng)域中的大量問題時卻步履艱難。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；形象抽象；教學(xué)概念

中圖分類號：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）25-0174-02

數(shù)學(xué)是思維的體操，是思維的工具，甚至可以說數(shù)學(xué)的教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)。

我國著名科學(xué)家錢學(xué)森的許多文章和講話對于建立思維科學(xué)問題提出了許多有長遠(yuǎn)戰(zhàn)略意義的寶貴意見。指出形象思維與抽象思維是科學(xué)研究中不可缺少的思維手段，我們以前對抽象思維研究較多，而對形象思維則缺少認(rèn)識，以致用電子計(jì)算機(jī)處理各種理論問題時勢如破竹，而用它來處理圖像領(lǐng)域中的大量問題時卻步履艱難。他還指出，形象思維應(yīng)是思維科學(xué)中三大基礎(chǔ)科學(xué)之一，必須給以足夠的重視。錢學(xué)森同志的這些倡導(dǎo)無疑對我國科學(xué)技術(shù)教育的發(fā)展有深遠(yuǎn)的意義。筆者結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐就形象思維的若干問題做一些初步探索分析，以引起人們對思維科學(xué)特別是數(shù)學(xué)思維的關(guān)注與思索。

一、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與學(xué)生的實(shí)際

數(shù)學(xué)知識是抽象思維的典型產(chǎn)物，這是中外任何一部數(shù)學(xué)專著都要論述到的。這既是數(shù)學(xué)這門科學(xué)的特點(diǎn)也是它的優(yōu)點(diǎn)。這個優(yōu)點(diǎn)也就決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，數(shù)學(xué)在中學(xué)階段是一門十分重要的基礎(chǔ)課，因此老師們下很大功夫改進(jìn)教學(xué)方法千方百計(jì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。數(shù)學(xué)本身抽象的特點(diǎn)客觀上給數(shù)學(xué)的教與學(xué)都帶來了一定的困難。有的學(xué)生越學(xué)越感到乏味枯燥成績上不去，包袱很重。當(dāng)然學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難并非完全由于數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)造成，原因是多方面的：諸如學(xué)生的年齡、氣質(zhì)、心理上的差異，知識與經(jīng)驗(yàn)的不同。思維發(fā)展的內(nèi)在因素的傾向性，教材教法等因素都密切關(guān)系到數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低。教學(xué)中有意識地培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維無疑是正確的、必須的，但不能形成數(shù)學(xué)對抽象思維的完全依賴。即便是數(shù)學(xué)的抽象思維過程也并非與形象思維形成對立而割裂開來，否則教學(xué)就要脫離學(xué)生的思維實(shí)際，難以實(shí)現(xiàn)良好的愿望。事實(shí)上學(xué)生在思維方式這方面存在著三種情況；一部分人在處理數(shù)學(xué)問題時傾向于抽象思維，另一部分人傾向于形象思維，還有二者皆有的。就形象型的思維特點(diǎn)而言，蘇聯(lián)著名心理學(xué)家克魯切茨基指出“這個類型的代表人物的思維特點(diǎn)是有發(fā)展的非常好的視覺形象成份，而且我們可以暫時說，它比已經(jīng)發(fā)展良好的語言邏輯成份還占優(yōu)勢。這些學(xué)生感覺有這樣的需要.即形象地解釋抽象的數(shù)量關(guān)系，而且在這方面，表現(xiàn)出巨大的創(chuàng)造性；在這個意義上，相對地說，對于他們來講，圖形表示經(jīng)常取代邏輯。”這個類型的學(xué)生的弱點(diǎn)是當(dāng)他們用形象的模式或圖形去解答問題未獲成功時，便猶豫迷惑，表現(xiàn)出抽象思維能力的貧乏，這也是在實(shí)際中常見到的。

我們的教學(xué)如果能使這兩種基本類型的人在各自已經(jīng)具備的特點(diǎn)或者說優(yōu)勢的基礎(chǔ)上克服自已的弱點(diǎn)彌補(bǔ)自已的不足，使抽象思維與形象思維相互滲透，緊密配合得以健全發(fā)展，我想這樣定會增添學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。數(shù)學(xué)自身的抽象特點(diǎn)再加上從抽象來到抽象去的傳統(tǒng)教學(xué)方式不僅會使相當(dāng)多的人對數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏難情緒，而且也達(dá)不到培養(yǎng)和形成學(xué)生健全的、辯證的抽象思維能力特別是創(chuàng)造性的思維能力。數(shù)學(xué)中的形象思維研究現(xiàn)在不僅僅是開始，許多理論與實(shí)踐的問題還呈空白狀態(tài)。筆者認(rèn)為.數(shù)學(xué)形象思維問題的研究不僅是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的必然，也是數(shù)學(xué)教學(xué)改革提高教學(xué)質(zhì)量的需要，也是深入調(diào)動師生積極性、充分發(fā)揮大腦兩半球功能開發(fā)智力的需要。

二、數(shù)學(xué)中的形象思維

大家知道數(shù)學(xué)中的抽象思維是根據(jù)數(shù)學(xué)問題所提供的直接、間接信息，運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行判斷、推理、論證以直接揭示其問題規(guī)律的思維狀態(tài)，其特點(diǎn)主要取演繹法，縱向聯(lián)系，思路單純有程序，人們把它稱為“線性思維”。而數(shù)學(xué)中的形象思維則是著眼于數(shù)學(xué)問題的感性整體結(jié)構(gòu)，通過豐富而合情的聯(lián)想產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)反映模式或圖形，間接反映其問題本質(zhì)規(guī)律的思維狀態(tài)，其特點(diǎn)主要取綜合法，縱橫聯(lián)系，思路寬闊而靈活，人們把它稱為“平面思維”。

實(shí)際中，任何思維過程既沒有純而又純的形象思維也沒有純而又純的抽象思維。數(shù)學(xué)中的任何一個抽象概念都是離不開形象的。就拿函數(shù)概念的形成和發(fā)展來看便是如此。現(xiàn)在公認(rèn)最早的函數(shù)定義是由法國數(shù)學(xué)家萊布尼茲給出的。他在1673年的一篇數(shù)學(xué)手稿里，將任何一個隨著曲線上的點(diǎn)變動而變動的幾何量，如切線、法線、次切線的長度等都稱為函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)這條曲線是由一個方程式給出的。這是函數(shù)定義的最早幾何起源。在以后漫長曲折的發(fā)展中函數(shù)概念的完善都未離開實(shí)踐特別是物理模型的支持，如此經(jīng)歷了多次擴(kuò)張才有函數(shù)定義的現(xiàn)代化處理方法，而將函數(shù)概念建立在集合概念的邏輯基礎(chǔ)上，用“對應(yīng)”或“映射”來定義函數(shù)。到此人們對函數(shù)概念的認(rèn)識也未停止。在本世紀(jì)，科學(xué)家們又通過對新的微觀物理現(xiàn)象的研究，創(chuàng)立了一門嶄新的學(xué)科——量子力學(xué)。在其研究中根據(jù)實(shí)際的需要使用了一個與原函數(shù)定義不同的前所未見的函數(shù)，叫做狄拉克-8函數(shù)。新問題的出現(xiàn)必然導(dǎo)致對它的探求和解決。后來由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家索別列夫和法國數(shù)學(xué)家施瓦茲引入了廣義函數(shù)的概念，把函數(shù)、測度及狄拉克-8函數(shù)等概念統(tǒng)一起來，從而創(chuàng)立了廣義函數(shù)論，在許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支上得到應(yīng)用，使人們對函數(shù)概念的認(rèn)識再一次獲得升華。

由此可以看到一個數(shù)學(xué)理論乃至一個抽象的數(shù)學(xué)概念的形成決非數(shù)學(xué)家頭腦中憑空隨意創(chuàng)造，而是社會實(shí)踐在人們頭腦中逐步反映的結(jié)果。在其形成過程中，直接間接地都離不開幾何的或物理的模型的支持。

數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題或數(shù)學(xué)推理論證中的數(shù)學(xué)形象是什么？有的人把數(shù)學(xué)中的形象簡單理解為看圖識字般的視覺表象，這是片面的；實(shí)際上它是通過抽象加工創(chuàng)造出的典型形象或概括形象，我們稱它為理想形象。就某一個數(shù)學(xué)問題而言，可能產(chǎn)生的理想形象是不唯一的。關(guān)于它的產(chǎn)生及其規(guī)律性正是需要更多的人參與實(shí)踐共同探討的問題。我們不能等到有朝一日在這方面全面而系統(tǒng)的理論產(chǎn)生之后再去運(yùn)用這些理論進(jìn)行形象思維的教學(xué)，應(yīng)該是邊實(shí)踐邊總結(jié)過研究。我們所創(chuàng)造的形象不見得是理想形象，還可能有一定的模糊性，但通過逐步修正提煉總可以達(dá)到理想的目的。