從高考視角探析學生數學思維能力的培養

摘要：本文以普通高中課程標準為指導，以高中數學課程中模塊的數列知識為載體，以往年高考試題中的數列問題為切入點，探析其教學方法和手段，實現培養學生數學思維能力和提高數學教學質量的目標。

關鍵詞：數列；思維能力；教學方法

形成性思維是培養學生具有社會責任感、學會批判性思考的基本環節和要素，數學思維能力在其中起著獨特的作用。從學校教育的角度而言，高中各門課程的教學都承載著培養學生思維能力的重任。中華人民共和國教育部頒布的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》在課程基本理念中指出“注重提高學生的數學思維能力”。表明數學課程對學生數學思維能力培養的重要性。圍繞這一主題，本人試圖通過對高考數學中的數列問題的分析，反思教與學對學生數學思維能力培養過程的利弊，進而促進學生數學思維能力培養和數學教學質量的提高。

縱觀歷年高考復習資料和高考試卷，涉及數列問題的解決方法主要采用：直接運用公式法、觀察法與歸納法、累加累乘法、輔助數列法、倒序相加法、錯位相加法、裂相相消法、分組求和法。下面選擇性地給出5個案例分析，探究數學思維能力的培養。

一、直接運用公式法

直接運用公式是解答高考數列試題的常用方法之一，通常直接運用等差數列的求和公式與等比數列的求和公式。

案例1 （2011年全國理4）設Sn為等差數列a■的前n項和，且a1=1，公差d=2，sk+2-sk=24，則k=

A．8B.7C.6D.5

分析：因為知道sk+2-sk=24，直接運用公式得到ak+1+ak+2=24，從而代入公式得到4k+4=24，則得到結論k=5。

解：因為sk+2-sk=ak+1+ak+2

又ak+2=ak+1+d且ak+1=a1+kd則ak+1+ak+2=4k+4

又sk+2-sk=24所以k=5

【評析與教學啟示】該類試題主要用于考查學生對數列概念和基本公式內涵的掌握，從數學思維能力的角度而言，主要檢測學生發現關系的能力、發現屬性的能力和數學通則通法的能力。在教學過程中，需要引導學生理解概念的內涵和外延，靈活巧妙地應用數學變式，恰當有效地應用公式。

二、倒序相加法

所謂倒序相加法，是指在一個數列之中，與首末兩項距離相等的兩項之和等于首末兩項之和。在求數列時，通常將所求數列的各項分別順序和逆序列出，將這兩個順序和逆序排列的數列對應項相加得到所求數列和的2倍，以實現問題的解決。

案例2 （2003上海春，12） 設f（x）=■.利用課本中推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值為_____

分析：首先，從全局視角觀察所求多項式中各項的 間的關系，發現以“0”為中心，5與-4、6與-5形成了“x 與1-x”的對應關系，因此以尋找f（x）與f（1－x）的關系為突破口，實現解決問題的目標。

解：依題意可知， f（1－x）=■，所以，f（x）+f（1－x）=■，

于是，采用倒序相加法知：S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）=3■.

【評析與教學啟示】倒序相加法適用于首相、公差未知，通項為函數的解析表達式，且需要求出多個函數值和的情形。一般隱藏有“相等距離兩項之和等于首末兩項之和”的條件。該類題目主要用于檢測考生觀察能力和模式識別能力。教學時需要注意引導學生不斷地經歷直觀感知、觀察發現、反思與構建等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體體現，它們有助于學生對客觀事物中蘊含的數學模式作出思考和判斷，在形成理性思維能力中發揮著獨特的作用。

三、錯位相減法

所謂錯位相減法，是指一個數列是兩個數列之積且這兩個數列一個為等差數列，另一個為等比數列，對此類題目通常采用錯位相減法以解決問題。

案例3 （2010新課標寧夏、海南；黑龍江理科17） 數列a■滿足a1=2，an+1-an=3·22n-1

（1）求數列a■的通項公式。

（2）令bn=nan，求數列b■的前n項和sn。

分析：本題通過觀察并由遞推關系式知an+1-an=3·22n-1，由此可以將an改寫為a1+a2+…+an-（a1+a2+…+an-1），整理得到an=32n-1；要求解sn，很容易得到sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1，觀察發現以sn與22sn作為突破口，則22sn-sn=（1-22）sn=2+（23+25+…+22n-1）-n22n-1，則：

sn=■[（3n-1）·22n-1+2]

【評析與教學啟示】運用錯位相減一般是只知道首項，但是知道某兩個相鄰的數之差為某一個數，并且an-an-1， an-1-an-2，…a2-a1成一定的規律，即得到一個為等差數列，另一個為等比數列，用錯位相減法便可以求出數列的前n項和。錯位相減法需要學生不斷地思考，展開想象，構建數學思維能力，這是培養學生用基礎知識解決問題的能力，更是培養學生活學活用，在面對問題時多方面思考，冷靜處理問題的能力。

四、裂項相消法

裂項相消法，是指一個數列能夠折成兩項或者能夠折成若干項。如果將它們相加，則除了首項與尾項或者只剩下少數幾項之外，其他的項則能正負抵消，從而解決問題。

案例4 （2011，新課標全國理17）等比數列a■的各項均為正數，且2a1+3a2=1，a■■=9a2a6

（1）求數列a■的通項公式。

（2）設bn=log■■+log■■+log■■+…+log■■，求數列■的前n項和.

分析：要求an，觀察知道2a1+3a2=1，a■■=9a2a6，并且各項都為正數，則直接代入公式可以求出q=■與a1=■，則： an=3-n。

要求數列■的前n項和sn，通過觀察發現將■裂項得到■=-2（■-■），則：sn=■+■+……+■=-21-■+■-■+…+■-■=-■

【評析與教學啟示】求一個數列的前n項和，但是所得到的數列的通項公式卻不成一定規律，如果將此數列裂項后可以得到一定規律，比如：等差數列或者等比數列，便可以用裂項相消法便求出數列的前n項和，此類題目在于培養學生兩個方面的能力：第一，解決問題時要冷靜，有的問題看起來很難，但是仔細思考卻是容易的。第二，培養學生發散思維能力，面對問題時從另外的角度去思考便會迎刃而解。這是現在教學注重對學生全面培養的要求，更是時代發展的需要。

五、分組求和法

分組求和法，是指在一個數列中，如果此數列的通項公式可以寫成某兩個數列的和或某兩個數列的差的形式，如：an=bn+cn。則采用分組求和法以實現問題的解決。

案例5 （2011山東理）等比數列a■中，a1，a2，a■分別是下表第一，第二，第三行中的某一個數，且a1，a2，a■中的任何兩個不在下表的同一列。

（1）求數列a■的通項公式。

（2）差數列滿足：bn=an+（-1）nln■，求數列b■的前n項和sn。

分析：觀察發現當a1取不同值會有不同的情況，①當 a1=3時，不滿足題意。

②當a1=2時，當且僅當a2=6，a3=18時符合題意。

③當a1=10時，不滿足題意。

所以an=2·3n-1

由bn=an+（-1）nln■發現當n取不同值sn會有不同的值，則：

當n為偶數時，

sn=an+bn+cn=3n+■ln3-1

當n為奇數時，

sn=an+bn+cn=3n-■ln3-ln2-1

【評析與教學啟示】對于求一個數列的前n項和卻不容易求解，如果能將其分成若干個數列之和，對于此種數列問題用分組求和法便可以解決問題，分組求和法注重培養學生面對問題時全面思考的能力，不急不燥；同時也培養學生化整為零的逆向思維。

提高學生的數學思維能力是數學教育的基本目標，《普通高中數學課程標準（實驗稿）》自始至終體現有助于提高數學思維能力這一基本理念。數學思維能力的培養需要提高數學素材進行訓練和培養，且有一個日積月累的過程。因此，作為處于準備期的“準教師”，在教學素材的選取和收集整理方面，應從有助于培養數學思維能力著眼和入手，開發學生的潛能，培養其創造性思維。在教學設計上注意概念、規律的提取過程、知識的形成和發展過程，注意體現數學思想方法、數學探究的規律，從而使數學課程教學成為培養學生思維能力的最好工具。

感謝：本文在寫作過程中得到了蔡老師的悉心指導，在此表示感謝！

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：北京師范大學出版社，2003.

[2]葉堯城.高中數學課程標準教師讀本[M].武漢：華中師范大學出版社，2003.

[3]劉元忠，宋兵，馮朋，劉金柱.狀元筆記（數列與不等式）[M].湖北教育出版社，2012：68-70.

[4]劉增利，張志華，楊希，等.教材解讀與拓展[M].開明出版社，2012：72-81.

[5]劉元忠，宋兵，馮朋，劉金柱.各個擊破（數列與不等式）[M].湖北教育出版社，2012：31-56.