物理課程中矢量與微積分

摘要：大學(xué)物理是我國(guó)大學(xué)工科專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，由于矢量與微積分的引入，使大學(xué)物理在中學(xué)物理的基礎(chǔ)上提高了一個(gè)層次。本文針對(duì)大學(xué)物理學(xué)習(xí)中矢量與微積分的掌握與應(yīng)用這一知識(shí)重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行探討，給出了矢量與微積分在物理學(xué)中的特點(diǎn)及其關(guān)鍵問題的解決方法。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；矢量；微積分

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）42-0153-02

一、引言

中學(xué)物理與大學(xué)物理的最大的區(qū)別之一就是大學(xué)物理中引入了矢量與微積分。矢量與微積分不僅僅是數(shù)學(xué)上的提高，更重要的是拓寬了物理的方法和認(rèn)識(shí)，是大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因此，掌握好矢量和微積分在物理中的應(yīng)用，是學(xué)好大學(xué)物理的基本前提。本文就這個(gè)問題提出自己的見解。

二、矢量的概念與作用

矢量是既有大小又有方向的量。在物理學(xué)中很多物理量（如速度、力矩、電場(chǎng)強(qiáng)度等）均是具有大小和方向的量，因此這些物理量都是用矢量來表示。自然，這些物理量不論從定義還是從計(jì)算都離不開矢量的運(yùn)算。矢量的運(yùn)算有加、減、點(diǎn)乘和叉乘。

兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘和叉乘在表達(dá)形式上雖然只是一個(gè)“·”和“×”的差異，但是兩者有著本質(zhì)的區(qū)別。首先兩個(gè)矢量點(diǎn)乘的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，而兩個(gè)矢量的叉乘的結(jié)果是一個(gè)矢量；其次，乘積的結(jié)果在大小上也是不相等的，點(diǎn)乘的大小是一個(gè)矢量在另一個(gè)矢量上的投影的大小再乘以另一個(gè)矢量的大小。而叉乘的大小事一個(gè)矢量在垂直另一個(gè)矢量方向上的投影再乘以另一個(gè)矢量的大小。因此，兩者不可混淆。在中學(xué)課程中，有左手定則和右手定則，在大學(xué)物理中，叉乘的方向判別方法就可以完全取代左右手定則。

對(duì)于矢量的加法，我們更關(guān)注多個(gè)矢量的加法，實(shí)際操作中有三角形法則（或者叫多邊形法則）和直角坐標(biāo)法。三角形法則是將多個(gè)矢量的頭尾相連，其結(jié)果是第一個(gè)矢量的尾部和最后一個(gè)矢量的頭部相連所得到的矢量就是多個(gè)矢量相加的合矢量（見圖一）。

直角坐標(biāo)法是基于一個(gè)矢量可以合成也可以分解，先將每個(gè)矢量都分解到x，y，z三個(gè)方向上，然后分別將三個(gè)方向上的分量在一起，再合成：

■=A■■+A■■+A■■■=B■■+B■■+B■■

■=■+■=（A■+B■）■+（A■+B■）■+（A■+B■）■

我們知道，積分的本質(zhì)就是加法，換句話說積分是一種無限多項(xiàng)的連續(xù)分布問題的加法，因此，直角坐標(biāo)法奠定了矢量積分的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中微積分的計(jì)算都是針對(duì)標(biāo)量進(jìn)行的，如何進(jìn)行矢量積分，其基本思路就是將所有的矢量分解到x，y，z三個(gè)方向上，再分別在這三個(gè)方向上進(jìn)行標(biāo)量積分，然后將三個(gè)方向的積分結(jié)果用矢量合成的方法進(jìn)行合成，最終得到矢量的積分結(jié)果。例如，在電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算中，可以先將點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分解到x，y，z三個(gè)方向上，分別求出電場(chǎng)強(qiáng)度在x，y，z三個(gè)方向上的分量，最后通過矢量的合成，得到最終的結(jié)果。

三、微積分的思想和方法

微積分是解決連續(xù)不均勻問題的基本工具。在實(shí)際的問題中，連續(xù)而且不均勻是很常規(guī)的狀態(tài)。如何利用微積分有效而且便利地解決問題是物理學(xué)中最為關(guān)注的方法。微積分的基本思想是先“微”后“積”。我們知道，很多不均勻的物理量分布，當(dāng)我們將其分割成非常微小的部分時(shí)候，在這些微元的區(qū)域就變成了均勻分布，進(jìn)一步的在這些均勻分布的情況下，我們的物理公式就可以直接應(yīng)用來求解相關(guān)的物理量。當(dāng)我們把這些微元中相關(guān)的物理量求解出來后，再通過積分的方法疊加在一起，就得到我們的結(jié)果。

在數(shù)學(xué)上為了保證在任何情況下都滿足微元區(qū)域內(nèi)的函數(shù)是均勻的，往往強(qiáng)調(diào)要將微元無限的小。可是在物理上，我們提出的思想是在滿足函數(shù)是均勻的條件下，將微元盡可能的大，這樣的結(jié)果是我們可以將多重積分的問題簡(jiǎn)化，也就是可以將三重積分變成二重積分，將二重積分變成一重積分。例如，求解均勻圓盤在粗糙桌面上繞中心軸旋轉(zhuǎn)情況下圓盤所受到的摩擦力矩問題，由于摩擦力矩在半徑不同的地方不同而半徑相同的地方一樣，因此選取一個(gè)圓環(huán)作為微元而不是選擇一個(gè)點(diǎn)作為微元，可以將二重積分的問題轉(zhuǎn)換為一重積分。

物理中，積分函數(shù)中的物理量往往有多個(gè)變量，有些與空間相關(guān)，有些量表面上看是與空間無關(guān)的，比如質(zhì)量m，電量Q，而一個(gè)積分中只能有一個(gè)變量才能進(jìn)行積分，因此物理量的統(tǒng)一是一個(gè)關(guān)鍵。在很多物理問題中，哪些看似與空間無關(guān)的物理量，往往是在空間進(jìn)行非均勻分部，因此它們是與空間緊密相關(guān)聯(lián)的，采用下面的變換，可以將這些物理量轉(zhuǎn)換為空間量，從而進(jìn)行變量統(tǒng)一。

例如，求解細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，公式中有r和dm，將dm變換為λdr就可以方便地求解出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量了。

四、結(jié)論

大學(xué)物理中矢量與微積分是十分重要的基礎(chǔ)，而對(duì)于學(xué)習(xí)本課程的學(xué)生而言，對(duì)這個(gè)問題的掌握是比較困難的，因此本文從自己多年教授的課程中提煉出相關(guān)的內(nèi)容，希望能對(duì)學(xué)子們有所幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]（美）海徹特（Hecht.E.）.物理：以微積分為基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

作者簡(jiǎn)介：榮健（1962-），男，博士，教授/博士生導(dǎo)師，研究方向：空間光電系統(tǒng)及生物醫(yī)學(xué)影像。