談談分類討論思想

摘要：分類討論思想方法是一種重要的解題策略。分類思想方法實質上是按照數學對象的共同性和差異性，將其區分為不同的種類的思想方法，其作用是克服思維的片面性，防止漏解。要注意在分類時，必須按同一標準分類，做到不重不漏。

關鍵詞：分類討論；數學思維；解決問題

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）42-0154-02

所謂分類討論就是對問題所給對象的條件、結論、圖形等不能進行統一研究時，就需要將研究對象按某個標準分類，然后對分類中的每一部分分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類的結果得到整個問題的解答。它體現了化整為零、各個擊破、再積零為整的數學策略。它反映了數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納知識，提高思維的條理性和概括性。分類的原則：①每次分類按同一個標準；②分類中的每一部分相互獨立；③分類討論應逐級進行，做到既不重復，也不遺漏。

用分類討論思想解決問題的一般步驟是：①先明確要討論的對象及討論對象的取值范圍；②正確選擇分類的標準，進行合理分類；③逐類討論解決；④歸納并給出結論。引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面：

一、涉及的數學概念是分類定義的

例：比較3a與-3a的大小。

分析：這兩個數的大小同a符號有關系。

討論對象為a，a的取值范圍分三種情況。

解：當a是正數時，3a是正數，-3a是負數，3a>-3a；

當a是0時，3a是0，-3a也是0，3a=-3a；

當a是負數時，3a是負數，-3a是正數，3a<-3a。

二、運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的

例：已知實數a，b滿足a2+b2=1，ab>0，求a■+b■的值。

分析：因為a·b>0，所以a，b同號，即同正數或者同負數。去掉二次根號時，要根據二次根式的性質。

這里討論的對象是a，b，討論范圍是a，b的符號

解：a>0，b>0，原式=a（a）+b（b）=a2+b2=1

a<0，b<0，原式=a（-a）+b（-b）=-a2-b2=-1

三、由已知條件不明確而引起的討論

例：在Rt△ABC中，∠C=900，AC=5，BC=12.若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是_____。

分析：題目中只說有一個公共點，可以是相切，也可以是相交。這里討論的對象是圓的半徑，討論的范圍：從■到12。

解：當r=■時，圓與斜邊相切，即圓與斜邊只有1個公共點；

當■

當5

所以當r=■或5

四、數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的

例：已知關于x的函數y=ax2+5x-1（a為常數），若函數的圖象與x軸恰好有一個交點，求a的值。

分析：討論對象為a，當a取不同的值，函數類型也不同。有兩種情形：一次函數或者是二次函數，所以要分類。

解：1.此函數是一次函數時，a=0，求得與軸的交點為（0.2，0）。

2.當此函數是二次函數時，a≠0，Δ=25+4a

Δ=0，即a=-■時，有一個交點（-■，0）；

綜上所述，a=0.2或-■。

五、由解決問題所需要的限制條件所引起的分類討論

例：關于a的分式方程■-■=1無解，求a的值。

分析：當分母為0時，分式方程無解；當一次項系數為0時，一元一次方程無解，所以原分式方程也無解。

解：去分母，得（x-a）（x-1）-2x=x（x-1）

整理，得（a+2）x=a

當a+2=0時，即a=-2時，新方程無解，所以原方程也無解；

當x=0時，原方程無解，此時a=0；

當x=1時，原方程無解，

綜上所述，當a的值為0或-2時，原分式方程無解。

六、由動點問題引起的分類討論

例：如上圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，動點P從D出發，沿射線DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發，經線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點P、Q分別從D、C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動時間為t秒。

1.設△BPQ的面積為S，求S與之間的函數關系式。

2.當t為何值時，以B、P、Q三點為項點的三角形是等腰三角形？

解：1.如圖，過點P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形，∴PM=DC=12

∵QB=16-t，∴S=■×12×（16-t）=96-6t

2.由圖可知，CM=PD=2，CQ=t，若以B、P、Q三點為項點的三角形是等腰三角形，可分為三種情況：

①由圖可知，PQ=BQ

在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2，得t2+122=（16-t）2，解得t=■。

②若PQ=BQ.在Rt△PMB中，

BP2=（16-t）2+122，由BQ2=BQ2，得（16-2t）2+122=（16-t）2

即3t2-32t+144=0，∵△=-704<0，

∴解得無解3t2-32t+144=0無解，∴BP≠BQ。

③若PB=PQ.在Rt△PMB中，由BP2=QP2，得t2+122=（16-2t）2，解得t1=■，t2=16（不合題意，舍去）。

所以，當t=■秒或t=■秒時，以B、P、Q三點為項點的三角形是等腰三角形。

綜上所述，分類討論思想在中學數學教育中是非常實用的。只要學生掌握方法和技巧，許多問題就不會漏解、少解。要重方法，而不要重題海。教師在平時的教學中要善于引導和鼓勵學生經常運用分類討論思想。善于運用分類討論思想的同學，將能解決更多的數學問題，有利于提高對學習數學的興趣，同時還能培養思維的條理性、縝密性、科學性。這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和重要的影響。

參考文獻：

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