分形理論在瀝青混凝土疲勞開裂過程中的應用

孫長軍，崔衛平，陳 雷，秦麗娟

（1.唐山曹妃甸發展投資集團有限公司，唐山 063210；2.武漢理工大學硅酸鹽建筑材料國家重點實驗室，武漢 430070）

瀝青混凝土是一個具有復雜幾何特征的由多種級配集料組成的復合材料體系，其內部微觀粘結裂縫的分布不僅總體具有分形特征，而且具有自相似性，可用分形幾何學來加以描述和分析。瀝青混凝土疲勞開裂過程是其內部微觀裂縫不斷生長并擴展的過程。該文通過建立分形維數與疲勞開裂過程的關系，用分形理論來探究疲勞開裂過程中瀝青混凝土裂縫的生長與擴展過程，為瀝青混凝土的開裂過程研究提供一種新的方法和思路。

1 分形理論概述

分形（fractal）是由美國哈佛大學的教授Mandelbrot于1975年首次提出來的。分形幾何是一門以非規則幾何形狀為研究對象的幾何學。混凝土作為典型的多孔介質，其內部圖形是如此的不規則，以致它的整體與局部都不能用傳統的幾何語言來描述，因此可用分形集合來討論和分析。

分形幾何圖形最基本的特征就是自相似性和它的標度不變形。表征這兩種分形性質的定量參數為分形維數（Fractal Dimension），它是用來描述一個復雜系統的復雜、不規則程度的參數。分形集的維數有多種多樣的定義，常見的有豪斯道夫（Hausdorff）維數、相似維數DS（similarity Dimension）、分配維數Dd（Divider Dimension）、盒維數（又稱Bouligand維）等。

因盒維數是由相同形狀集覆蓋確定的，計算比較容易，其應用較為廣泛。以分形曲線為例介紹盒維數的概念。把曲線放在一個邊長為ε1的網格內，如圖1（a）。數出和曲線相交的網格（即盒子）數Ni（ε1）＝13。如把碼尺縮小一倍，ε2＝ε1/2，即把網格變小（一個盒子成為4個盒子），如圖1（b）。

這時和曲線相交的盒子數N2＝29。繼續這個過程，網格不斷變小，對一組ε1，ε2，ε3，…，εi，可測出一組N1，N2，N3，…，Ni。令r＝εi（r和εi均是相對值），N＝Ni，根據分形維數定義

可得

式中，A為比例常數。

對上式取對數并作圖，則logNi和logεi的雙對數坐標上就會出現一條直線，用最小二乘法來擬合logNi～logεi，求出斜率即為對應的分形維數值D，稱之為盒維數。在直線上取兩點（Ni，εi）和（Ni＋1，εi＋1），則盒維數為

2 實驗方法

按照《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗規程》JTG E20—2011要求成型馬歇爾試件。試驗在UTM－25動態材料試驗系統中進行，在25℃下將試件保溫4h。試驗加載模式為應力控制模式，加載頻率2Hz，加載波形為正弦波，荷載大小采用試件破壞荷載的0.4倍。按照上述參數控制對試件進行疲勞加載，同時在加載過程中記錄試件縱向變形量S。

在疲勞加載過程中，用數碼相機提取不同加載階段下試件的表形貌圖，如圖2（a）～2（d）所示。圖2（a）和圖2（d）分別對應于疲勞加載破壞的開始階段和疲勞開裂破壞階段。

在獲得疲勞加載破壞不同階段試件表面裂縫形貌圖后，還需要對圖片進行軟件處理。剪除圖像中無用部分，挑選成像質量較好并無干擾的區域作為計算區域，并盡量全部覆蓋裂縫，然后轉換為灰度圖像。然后對圖像進行增益降噪處理，增益除噪的目的是使裂縫與其他圖像信息最大程度地分離。處理后得到比較清晰的裂縫圖像，以最終破壞形貌圖2（d）為例，處理前后如圖3所示。

3 結果與分析

3.1 裂縫的分形特征

以時間最終破壞時裂縫形貌為例，對處理后的圖3（b）進行盒維數覆蓋，計算分形維數D。用不同大小網格覆蓋得到的結果如表1和圖4所示。然后對log（1/ε）與log（N（ε））的雙對數關系進行線性回歸分析，回歸得到的直線斜率即為分形維數D。

表1 盒覆蓋處理結果

由圖4可知，相關系數為0.994 1，log（N（ε））與log（1/ε）呈現良好的線性相關性，說明開裂裂縫有明顯的統計相似性，裂縫具有明確的統計意義上的分形特征。從回歸結果可知該裂縫對應分度維數（圖4中直線的斜率）為1.388。

3.2 開裂過程的分形特征

試件經過近6 000s出現徹底破壞，計算不同階段提取圖像的分形維數，得到在加載不同階段的縱向變形位移S與分形維數D的關系，如圖5所示。

由圖5可知，試件疲勞開裂裂縫的分形維數隨著裂縫的生長與擴展而增大，且在破壞不同階段增大的趨勢也不同。隨著加載的進行，試件疲勞開裂主要分為三個階段，短期內迅速變形，此時分形維數主要表征試件表面原有細觀裂縫；平穩破壞階段，變形位移平穩增加，裂縫逐漸生長擴展，表現出分形維數逐漸增加；當試件疲勞破壞明顯開裂時，縱向形變量S短時間迅速上升，分形維數繼續增大到破壞時的1.388且上升趨勢也相應增加。

4 結 語

瀝青混凝土開裂裂縫有明顯的統計相似性，裂縫具有明確的統計意義上的分形特征；在疲勞加載開裂過程中，瀝青混凝土具有分形演變特征；隨著瀝青混凝土裂縫的生長與擴展，分形維數和縱向形變位移變化相一致，共為3個階段，分別是短時間內迅速增加、較長時間平穩增加、短時間迅速增大。

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