用虛功平衡原理分析非線性自治電路

韋忠海 黃炳華

摘要：用基波平衡原理求得注入網絡的基波電流Is1。它的流向代表網絡在脫離激勵源以后，為維持自激振蕩關于實功與虛功的盈虧情況，其是判斷網絡穩定性和振蕩性狀的有力依據。當實功與虛功同時取得平衡時，如果能夠求得基波解的振蕩頻率ωS和幅值Um，則網絡必然存在有對應的周期解。以含阻尼項的Duffing方程為例，說明虛功平衡和振蕩頻率的密切關系。

關鍵詞：非線性；穩定性；虛功功率；杜芬方程；虛功平衡；振蕩頻率

中圖分類號：TN722 文獻標識碼：A 文章編號：1009-2374（2013）05-0135-03

1 非線性方程的第一形式

設非線性電路模型如圖1，電路中各參數和非線性元件的伏安特性如式（1），式中是等效基波電導，是壓控非線性電感。無阻尼方程式（2）和含阻尼方程式（3）是Duffing方程去掉強迫項后的自治形式，本文統稱為第一形式，它們都只有一個平衡點。式（2）基波解頻率和幅值的關系為式（4）。

2 非線性方程的第二形式

若改變非線性電感特性為，則可建立第二形式的杜芬方程為式（5），兩種形式Duffing方程的主要區別在于，式（5）中前面的負號，使方程的性質發生根本的變化：稱之為第二形式，由式（5）用基波平衡原理可以解出式（6）。和是基波解的頻率和幅值。

由式（7）用基波平衡原理解出式（8）。當時，無法找到一對正值解滿足式（8）。這個結論用Matlab驗證是正確的，不論初激值的大小，相點最后落入兩個穩定焦點。當時，是不穩焦點，三個平衡點排列成結構，其中表示不穩焦點，表示鞍點。可以找到一對正值解滿足式（8），不管初激值的大小如何，相圖總顯示有極限環。當時，相圖的性狀和初激值的關系比較復雜，當初激值進入吸引區時，網絡沒有振蕩；圖2和圖3表示在避開吸引區初激值下的平面相圖和極限環。圖2表示由內趨向極限環的相圖；圖3表示由外趨向極限環的相圖。可以發現只用為原點的一個座標體系，關于不同刺激值引起相圖性狀的變化，無法找出其中的規律性。

如果改成以為座標體系的原點，式（7）改成式（9）則可分析出，在小刺激值時是穩定的，在大刺激值時會產生周期振蕩有極限環。新的座標體系，可以確定穩定平衡點的吸引區，其范圍和的大小有關。圖4表示當時吸引區的范圍。由多個平衡點建立多個不同的座標體系，分析相圖的性狀應該得出同一個結論。但多個座標體系可以分析相圖全局結構的變化規律。

3 用虛功平衡分析非線性保守系統·非線性方程的第三形式

例如取時，為要使取負值，可由式（11-1）解出式（11-2），則的范圍應為或。當可解出式（11-3），程序Duffing還顯示，使取正值的兩族閉軌線的大體范圍是，小閉軌線對應的基波解幅值大約為，大閉軌線的大體范圍是，在這兩個范圍內，式（10）的括號項構成一個恢復力。可以找到一定的正實數值使，其意義是在恢復力范圍內，有一個振蕩頻率能滿足虛功平衡故振蕩存在。

用Matlab仿真分析證明，當初激值在左右變化時，相圖顯示存在兩組大小不同的閉軌線，時出現小閉軌線；當時出現大閉軌線，如圖5和6。這兩組閉軌線都不是極限環，圖5-1的初激值，圖5-2的初激值，當時，相圖出現大閉軌線如圖6。兩者幅值范圍差別很大，相點是從跳至，以上結果用Math程序分析和用Matlab仿真驗證獲得一致的結論。

在滿足，的條件下，只要有合適的正實數解存在，則電路存在有周期解，式（10）從Math程序Duffing以及Matlab相圖5和6可以看出，閉軌線的幅值不會出現在的區間，在這個范圍內，若要有一個頻率使取正值，則從式（11）可見恒有，說明在此范圍內虛功無法平衡，式（10）的括號項構成一個排斥力，振蕩不存在。由此可見，力學的保守系統在于機械能守恒，在電路系統表現為實功平衡恒成立，這類非線性保守系統，虛功平衡成為確定振蕩性狀的唯一依據。只有在虛功平衡的范圍內或，才有可能建立振蕩。

參考文獻

[1] 黃炳華.各類自激振蕩的基波分析法[J].固體電子學研究和進展，2005，25（1）：102-107.

[2] 黃炳華.用基波平衡原理分析非線性電子網絡穩定性

[J].固電研究和進展，2006，26（1）.

[3] 黃炳華.電子網絡振蕩與穩定的基波分析法[J].電子科技大學學報，2006，35（1）.

[4] Leon O. Chua.Linear and Nonlinear Circuits[M].New York： McGraw-Hill Company Inc，1987：432.

[5] 黃炳華.用基波平衡原理分析非線性振蕩與混沌[J].通信學報，2008，29（1）：65-70.

[6] 黃炳華.功率平衡基礎上的基波分析法[J].電子學報，2007，35（10）：1994-1998.

（責任編輯：文 森）