地-電離層中水平激發(fā)極低頻場(chǎng)的勒讓德展開(kāi)算法

彭懷云 潘威炎 郭立新

(1.西安電子科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710071；2.中國(guó)電波傳播研究所，山東 青島 266071)

引 言

水平激發(fā)的極低頻(Extremely Low Frequency，ELF)(30 Hz以下)電磁波，主要應(yīng)用于深潛通信和深部地質(zhì)勘探.人工發(fā)射源均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，可作為水平電偶極子源考慮.場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算主要基于J. R. Wait[1]和J. Galejs[2]提出的地-電離層波導(dǎo)理論，場(chǎng)可表示為不同模階數(shù)的勒讓德函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的級(jí)數(shù)和.其中，勒讓德函數(shù)的復(fù)階數(shù)ν由電磁波頻率、地-電離層高度等參數(shù)確定.

當(dāng)勒讓德函數(shù)復(fù)階數(shù)ν?1時(shí)，勒讓德函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)存在漸近表達(dá)式，地-電離層中水平偶極子激發(fā)的場(chǎng)存在近似解析解[2].Bannister據(jù)此提出了包含長(zhǎng)大圓距和短大圓距兩條傳播路徑的低頻場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算公式[3]，其計(jì)算結(jié)果的正確性已被超低頻頻段的大量試驗(yàn)所證實(shí)[4].

當(dāng)勒讓德函數(shù)復(fù)階數(shù)不滿足ν?1條件時(shí)，勒讓德函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)近似漸近表達(dá)式誤差隨頻率降低而增大，不能準(zhǔn)確描述低頻場(chǎng).對(duì)此問(wèn)題，1999年Donald E. Barrick提出了球諧級(jí)數(shù)算法[5].該方法采用球諧級(jí)數(shù)的加速收斂算法，可以計(jì)算不同頻率的垂直偶極子在地-電離層空腔中激勵(lì)的場(chǎng)，但頻率越低收斂越慢，計(jì)算量越大.國(guó)內(nèi)學(xué)者利用球諧級(jí)數(shù)算法和時(shí)域有限差分法對(duì)此問(wèn)題也進(jìn)行了分析研究[6-7]，但這些方法均為數(shù)值計(jì)算方法，收斂緩慢，表達(dá)式物理意義不明確.

針對(duì)上述問(wèn)題，作者在文獻(xiàn)[8]中提出了對(duì)于橫磁波(Transverse Magnetic Wave，TM波)模及勒讓德一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值積分算法，解決了ELF垂直偶極子在地-電離層中場(chǎng)的求解問(wèn)題.本文將在已有工作基礎(chǔ)上，同時(shí)考慮橫電波(Transverse Electrical Wave，TE波)和TM波傳播模式及勒讓德二階導(dǎo)數(shù)的展開(kāi)方法，提出一種水平電偶極子激發(fā)的ELF電磁波在地-電離層空腔中場(chǎng)的求解方法，并分析了ν?1時(shí)的傳播特點(diǎn).

1 理論分析

圖1 地-電離層空腔模型

如圖1所示的球坐標(biāo)系，場(chǎng)源為位于θ=0，r=a+z0處的水平電偶極子，地面和電離層理想化為位于r=a和r=a+h處的兩個(gè)均勻反射壁，其表面阻抗分別用Δg和Δi表示.場(chǎng)強(qiáng)觀察點(diǎn)位于r=a+z處，取時(shí)諧因子為e-iωt，則在地-電離層空腔中傳播的超低頻(Super low frequency，SLF)及以下頻段的電場(chǎng)可表示為文獻(xiàn)[4]中式(10.3.14)，由此可知ELF的各個(gè)電磁場(chǎng)分量可理解為波導(dǎo)中各個(gè)傳播波型的疊加，包含TM、TE波.在ELF頻段，如果觀察點(diǎn)遠(yuǎn)離發(fā)射源，發(fā)射與接收天線架設(shè)高度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)及電離層高度，高度增益變化很小，則水平電偶極子產(chǎn)生的場(chǎng)的表達(dá)式為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

為便于后續(xù)分析計(jì)算，若令

(15)

有:

(16)

2(z-1)cosθ·F(z-1，θ)+

(z-1)·F(z-2，θ)].

(17)

則式(1)～(6)可改寫(xiě)為：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

因此，上述場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算重點(diǎn)為F(νn,θ)和F(μm,θ)等函數(shù)的計(jì)算.參考文獻(xiàn)[2]所示的數(shù)值積分計(jì)算方法，F(xiàn)(ν,θ)的數(shù)值計(jì)算選取自適應(yīng)Gauss-Kronrod積分方法[9]，其計(jì)算精度可達(dá)10-10.

2 計(jì)算分析與討論

2.1 計(jì)算精度分析

1) 頻率與TEM模復(fù)階數(shù)關(guān)系

橫電磁波(Transverse Electrical Magnetic Wave，TEM波)模為地-電離層空腔中可傳播模，其它模均為速衰減模，因此，TEM模復(fù)階數(shù)ν為ELF場(chǎng)強(qiáng)分布的關(guān)鍵影響因素，其實(shí)部和虛部隨頻率變化規(guī)律如圖2所示.

圖2 ν的實(shí)部和虛部隨頻率的變化

由圖2可見(jiàn)：在100 Hz以上ν的模為10以上，可認(rèn)為ν?1； 2 Hz以下ν的模為0.1以下，可認(rèn)為ν?1.

2) 近場(chǎng)精度驗(yàn)證

當(dāng)觀察點(diǎn)離發(fā)射源距離小于電離層等效高度時(shí)，為驗(yàn)證本文算法近場(chǎng)計(jì)算精度，將近場(chǎng)結(jié)果與半空間偶極子近場(chǎng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.由文獻(xiàn)[2]知半空間偶極子電場(chǎng)、磁場(chǎng)水平分量計(jì)算公式為：

(kD)2]exp(ikD)；

(24)

(25)

(26)

(kD)2]exp(ikD) .

(27)

式中D=aθ.

在f=100 Hz，偶極子電流矩Idl=1，地面導(dǎo)電率為10-3S/m，電離層等效高度為85 km，發(fā)射、接收點(diǎn)均位于地面條件下時(shí)，本文算法計(jì)算至100階模，半空間偶極子水平電場(chǎng)、磁場(chǎng)按式(24)～(27)計(jì)算，其結(jié)果對(duì)比如圖3、4所示.

圖3 水平電場(chǎng)計(jì)算對(duì)比

圖4 水平磁場(chǎng)計(jì)算對(duì)比

從圖3、4可以看出：在離開(kāi)發(fā)射源10～70 km范圍內(nèi)，電離層影響較小，兩種算法計(jì)算結(jié)果基本一致；離開(kāi)發(fā)射源距離小于10 km時(shí)，由于本文算法僅計(jì)算至100階模，導(dǎo)致結(jié)果與半空間偶極子輻射存在一定差異，理論上若本文算法計(jì)算至∞階模，則兩種算法將完全一致.

3) SLF頻段遠(yuǎn)場(chǎng)精度驗(yàn)證

當(dāng)ν?1時(shí)，Bannister(dir.+ind.)公式的漸近表達(dá)式適用，為驗(yàn)證本文算法遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算正確性，將本文算法與Bannister(dir.+ind.)公式計(jì)算結(jié)果對(duì)比.計(jì)算條件為：f=100 Hz，偶極子電流矩Idl=1，地面導(dǎo)電率為10-3S/m，電離層導(dǎo)電率為10-5S/m，電離層等效高度為85 km，發(fā)射、接收點(diǎn)均位于地面.計(jì)算結(jié)果如圖5、圖6所示.在對(duì)極點(diǎn)附近，由于Bannister(dir.+ind.)方法中勒讓德函數(shù)漸進(jìn)式存在奇點(diǎn)，其計(jì)算誤差較大，導(dǎo)致兩種算法在對(duì)極點(diǎn)附近存在差異.在15 000 km內(nèi)，兩種算法結(jié)果一致，由此驗(yàn)證了本文算法的遠(yuǎn)場(chǎng)計(jì)算精確性.

圖5 遠(yuǎn)場(chǎng)水平電場(chǎng)對(duì)比

圖6 遠(yuǎn)場(chǎng)水平磁場(chǎng)對(duì)比

2.2 SLF頻段低端和ELF頻段傳播特性分析

在SLF頻段低端和ELF頻段，TEM模不滿足ν?1條件，Bannister(dir.+ind.)公式的漸近表達(dá)式逐漸不適用，如圖7、8所示.其中偶極子電流矩為1 Am，地面導(dǎo)電率為10-3S/m，電離層導(dǎo)電率為10-5S/m，電離層等效高度為85 km，源點(diǎn)和觀察點(diǎn)均位于地面(以下計(jì)算結(jié)果均采用基于上述計(jì)算參數(shù)).

圖7 10 Hz遠(yuǎn)場(chǎng)水平電場(chǎng)對(duì)比

圖8 10 Hz遠(yuǎn)場(chǎng)水平磁場(chǎng)對(duì)比

Bannisters公式中勒讓德函數(shù)的漸近表達(dá)式誤差很大，尤其在源點(diǎn)和對(duì)極點(diǎn)附近，而本文算法在對(duì)極點(diǎn)附近結(jié)果為一恒定值，符合物理規(guī)律，適合與ELF頻段場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算.

當(dāng)ν?1且ν→0時(shí)，即頻率低于2 Hz時(shí)其水平分量隨傳播距離的變化如圖9、10所示.兩種算法差異更大.此時(shí)Bannister(dir.+ind.)公式的漸近表達(dá)式基本不適用.

圖9 1 Hz遠(yuǎn)場(chǎng)水平電場(chǎng)對(duì)比

圖10 1 Hz遠(yuǎn)場(chǎng)水平磁場(chǎng)對(duì)比

本文算法計(jì)算的水平分量場(chǎng)強(qiáng)隨距離的等值線分布及其方向變化，如圖11、12所示.

圖11 f=1 Hz電場(chǎng)水平分量等值線及場(chǎng)方向圖

圖12 f=1 Hz磁場(chǎng)水平分量等值線及場(chǎng)方向圖

由圖11、12可以看出：電場(chǎng)、磁場(chǎng)水平分量在2 000 km以后高階速衰減模影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于TEM模影響，場(chǎng)強(qiáng)等值線分布呈圓形，且在等值線分布圖中水平電場(chǎng)方向平行于電偶極矩方向，磁場(chǎng)方向垂直于電偶極矩方向.另外，與圖13所示100 Hz電場(chǎng)水平分量等值線圖的等值線和方向圖特性不同，表明在ν?1時(shí)，ELF低頻端(2 Hz以下)水平電場(chǎng)分布的特有規(guī)律.產(chǎn)生此種不同于高頻分布規(guī)律的主要原因如下：

圖13 f=100 Hz電場(chǎng)水平分量等值線及場(chǎng)方向圖

據(jù)文獻(xiàn)[10]中的式(8.762.1)

(28)

當(dāng)ν→0時(shí)，Pν(-cosθ)可展開(kāi)為

(29)

若取一階近似，則當(dāng)ν→0時(shí)，有

(30)

在頻率較低時(shí)(2 Hz以下)，TEM模的ν→0，且其它高階模在遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)強(qiáng)貢獻(xiàn)可忽略，那么遠(yuǎn)區(qū)水平電場(chǎng)、磁場(chǎng)存在以下關(guān)系：

(31)

地-電離層腔體中遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的水平方向分量Et、Ht可表示為：

(32)

(33)

其幅度為

|Et|=|Eθ|,|Ht|=|Hφ| .

(34)

表明ELF低端遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的切向分量?jī)H隨傳播距離(或θ)變化，與方位角φ無(wú)關(guān)，與圖9至12所示的ELF傳播特性計(jì)算結(jié)果一致.

3 結(jié) 論

本文提出了一種地-電離層空腔中，水平偶極子激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算方法.該方法在近場(chǎng)、遠(yuǎn)場(chǎng)情況下所計(jì)算結(jié)果與半空間偶極模型、球形波導(dǎo)遠(yuǎn)區(qū)模型計(jì)算結(jié)果一致，印證了本文算法的正確性和精度.將本算法應(yīng)用于幾Hz以下的頻點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果可獲得良好的數(shù)學(xué)解釋?zhuān)砻鞅疚乃惴ㄔ诮鼒?chǎng)、遠(yuǎn)場(chǎng)或更低頻率計(jì)算方面，具有更好的適應(yīng)性.

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