矩量法精確求解磁場積分方程的有效方法

吳君輝 曹祥玉 袁浩波 高 軍

(1.空軍工程大學信息與導航學院,陜西 西安 710077；2.西安電子科技大學 天線與微波技術國防重點實驗室,陜西 西安 710071)

引 言

矩量法[1]是數(shù)值計算積分方程的經典算法，得到了國內外眾多學者的認同和深入研究. 特別是1982年RWG(Rao-Wilton-Glisson)三角形網格函數(shù)的提出，將其作為矩量法求解理想導體電場積分方程(Electric Field Integral Equation,EFIE)的基函數(shù)和權函數(shù)[2]，使矩量法成為求解目標電磁特性的主要方法. EFIE計算結果精確，是電磁數(shù)值計算的最常用公式[3]，但它存在迭代求解難以收斂的問題. 磁場積分方程(Magnetic Field Integral Equation，MFIE)具有較好的迭代收斂性，但在前人的研究中發(fā)現(xiàn)它的計算精度遠不及EFIE，通常只在混合場積分方程(Combined Field Integral Equation，CFIE)中出現(xiàn)，用于改善EFIE的收斂性. 但CFIE的未知量翻倍，計算電大目標將增加巨大的計算量. 若MFIE可以取得良好的精度，單獨采用其求解電大目標，不失為一種優(yōu)秀的方法. 為了提高MFIE的精度，文獻[4]給出了MFIE近奇異性的處理方法，但并不能完全解決問題. 文獻[5]分析了MFIE精度低的原因，文獻[6]對立體角進行了修正，文獻[7]指出MFIE中隱含弱奇異性.

特別分析了MFIE隱含的外層積分弱奇異性，在不對積分方程做額外修正的情況下，僅通過簡單有效的積分變換消除了MFIE的奇異性，使矩量法求解MFIE可以獲得良好的精度，準確地計算目標雷達散射截面(Radar Cross Section ，RCS)，為以后開發(fā)基于MFIE的快速算法求解電大目標問題打下基礎.

1 基于RWG函數(shù)的MFIE

矩量法計算的一個關鍵因素是基函數(shù)的選取. 由于三角形網格具有良好的描述復雜外形的能力，并且RWG函數(shù)滿足電流連續(xù)性的性質，采用RWG基函數(shù)求解EFIE得到了廣泛的研究與應用[2]，并解決了EFIE求解中1/R項奇異性的問題[8]. 因此對MFIE進行矩量法求解仍采用RWG基函數(shù)并使用伽略金法，RWG基函數(shù)表達為[9]

(1)

(2)

ZmnIn=Vm.

(3)

式中:

由于與權函數(shù)作內積，Zmn具有內外兩層積分. 內層積分中的 ▽′G(r,r′)可提取出 1/R2強奇異點，使它的奇異性處理比EFIE更加復雜.

2 MFIE奇異性的消除

2.1 內層積分中的奇異性處理

首先將Zmn中奇異點所在的內層積分提出并帶入基函數(shù)展開單獨分析[5],有

(4)

(5)

圖1 觀察點與源點各矢量及標量含義示意圖

由式(5)可以看出，MFIE包含 1/R2的奇異點，因此當R→0需進行奇異點處理，即將式(5)右邊展開為兩部分，使前半部無奇異性,有

(6)

(7)

=g1i+g2i.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

通過上述推導，去除了MFIE中內層積分的奇異性，采用高斯積分計算內層積分，可以完成矩量法基于RWG基函數(shù)計算MFIE. 但僅處理內層積分的奇異性無法獲得精確計算結果.

2.2 外層積分弱奇異性處理

文獻[7]推測MFIE無法獲得精確結果是由于MFIE的積分核奇異性過強，即使處理了上述的內層積分奇異性，外層積分中仍然存在奇異性. 首先為檢驗此結論，不失一般性，單獨對內層積分的奇異點 1/R2進行積分，其中積分源點和觀察點分別為r=(x,y,0)，rd=(0,0,D) ，積分區(qū)域為一頂點位于原點，兩邊分別在x軸和y軸，邊長為1的等腰直角三角形. 積分過程推導如下:

(13)

接著計算如圖2所示兩個三角形面片模型，當源點所在三角形a與觀察點所在三角形b有公共邊存在時，在b上沿公共邊的垂線由近到遠取多個觀察點，分別帶入阻抗矩陣Zmn的公式進行計算.

圖2 共邊的觀察點、源點弱奇異性示意圖

根據圖2顯示的計算結果，當觀察點逐漸遠離公共邊，計算值趨于零；而當觀察點接近公共邊，計算值迅速下降，趨于負無窮，呈現(xiàn)對數(shù)函數(shù)形式. 可見2.1中的方法雖消除了MFIE中存在的強奇異性，但當源點三角形和觀察點三角形共邊時，確實仍存在ln(R) 形式的弱奇異性.

為解決此問題，文獻[7]借鑒了加減奇異項的方法，從公式中分割出奇異項的分式單獨分析. 但是MFIE表達式復雜，難以推導包含ln(R) 的解析表達式，并且外層積分的奇異性并不是標準對數(shù)函數(shù)，是否可以將 ln(R) 作為奇異項還有待驗證.

這里通過對Hi(r) 的外層積分作積分域變換來解決上述問題. 將Hi(r) 與RWG函數(shù)做內積，得到它的外層積分，積分域為觀察點所在三角形,有

(14)

首先對式(14)積分域作Duffy變換：

ξ=(1-y)x,η=y;

(15)

將積分域擴展為一個正方形，則積分式(14)變?yōu)?/p>

Hi(r)(1-y)dxdy.

(16)

對式(16)的積分上下限再作一次變換：

x=u2,y=y，

(17)

有

Hi(r)(1-y)2ududy.

(18)

Jacobi式為J2=2u，其中u將會與 ln(R) 的弱奇異性相抵消，從而去除積分式的奇異性.

上述方法解決了MFIE外層積分 ln(R) 形式的弱奇異性問題，相對于其它方法，積分域變換的方法更加簡潔也更加嚴謹.

3 數(shù)值算例及結果分析

首先計算如圖3所示球體的RCS并與Mie級數(shù)對比以驗證算法的準確性. 球直徑為1 m，剖分尺寸為0.06 m，剖分為2 724個三角形面片，未知數(shù)4 086個. 激勵平面波的波長為1 m，由 -z方向入射，沿x方向極化.

如圖3所示，本文方法計算MFIE的RCS結果與Mie級數(shù)解及EFIE吻合良好，與EFIE相比，均方根誤差(RMS)=0.027 dB[11]. 圖4顯示MFIE在迭代求解時收斂速度遠遠快于EFIE.

接著計算如圖5所示導彈模型，剖分尺寸為0.25 m，共剖分為3 420個三角形面片，未知數(shù)5 130個，入射波長4 m，由 -z方向入射，沿x方向極化. 計算其RCS時采用了三種矩量法：電場積分方程(EFIE)；未處理外層弱奇異性的MFIE(oldMFIE)；和處理了外層弱奇異性的MFIE(newMFIE).

由圖5可見，未處理弱奇異性的MFIE計算RCS與EFIE的結果有明顯差異，經過弱奇異性處理后的MFIE能與EFIE較好吻合，RMS=0.45 dB. 從圖6可見MFIE在迭代求解時收斂速度遠遠快于EFIE.

圖3 球體xoz面上歸一化RCS

圖4 計算球體RCS時廣義最小余量法(GMRES)收斂速度

圖5 導彈xoz面上RCS

圖6 計算導彈RCS時廣義最小余量法收斂速度

4 結 論

針對矩量法求解MFIE計算結果不精確的問題，通過提取奇異點，消除了MFIE積分核所包含的1/R2強奇異性；并驗證了外層積分中殘留ln(R) 形式的弱奇異性，通過簡單的積分域變換將其抵消，從而完全消除了MFIE的奇異性. 通過實例計算，驗證了弱奇異性對于MFIE計算精度的影響，與EFIE結果的對比說明在完全消除奇異性后，矩量法求解MFIE可以達到較高的精度.

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