一類階群的構造

車方馳 梁美珊

摘 要 利用群的擴張理論和有限群的性質，證明了Sylow p —子群為循環(huán)子群時階的構造，其中<為奇素數(shù)。

關鍵詞 群擴張 群構造 自同構群 Hall子群

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A

0 引言

在大學期間，我們學習了近世代數(shù)這一門課程，從中學習了群基本知識。其中，我們主要學習了有限群相互之間的關系與其基本定義和性質。有限群是代數(shù)學的一個重要分支，它在群論中占有非常重要的地位。在研究群的時候，我們的理想目標是對所有的群做同構分類，但是對任意群進行分類很困難。然而在有限群G中，當有限群的階Hg（）給定后，要求它們有多少個互異的同構類，是有限群理論中的一個經典問題。我國代數(shù)學家張遠達教授解決了階群的構造，得出結論：階群（為奇素數(shù)，且≠3，7），在≡3（mod4）時，有12型；在≡5（mod8）時，有14型；在≡1（mod8）時，有15型。文獻[7，9]證明了Sylow p-子群為循環(huán)群時的階群和階群的構造，文獻[8]證明了Sylow p-子群為循環(huán)群時的2·11·階群的構造。但是對于任一個階群的構造給出一個十分簡單而有效的解決方法還是很困難的，本文對一般的奇素數(shù)，（<）證明了Sylow p-子群為循環(huán)群時階為的群之構造。

1 預備知識

定理1

a）I$I$，I$I$ H！ I$I$。

b）I$I$，I$ H！ I$。

定理2 （拉格朗日定理）：設是一個有限群，是的子群，則

∣∣=∣∣[：]（即Hg（）=Hg（）[：]）

定理3 設 = {}為循環(huán)群，如果Hg（） = ，則恰有（）個生成元，且是的生成元的充分必要條件是（，） = 1（這里，（）是歐拉函數(shù)）。

定理4

a）若 ≡ （mod）， ≡ （mod），則 + ≡ + （mod）。

b）若 + ≡ （mod），則 ≡ （mod）。

c）若 ≡ （mod），>0，則 ≡ （mod）。

d）若 ≡ （mod）， ≡ （mod），則 ≡ （mod），特別的，若 ≡ （mod），則 ≡ （mod）。

定理5（Sylow定理） （第一Sylow定理）若是有限群，是素數(shù)。設||Hg（），即|Hg（），但HsHg（）。則中必存在階子群，叫做的Sylow p-子群。

（第二Sylow定理） 的任意兩個Sylow p-子群皆在中共軛。

（第三Sylow定理） 中Sylow p-子群的個數(shù)是Hg（）的因子，并且 ≡ 1（mod）。

定理6（霍爾特（Holder）定理） 階群包含一個階循環(huán)正規(guī)子群且其商群有是階循環(huán)群的充要條件是 = {，}而其定義關系 = 1， = ， = ，式中整數(shù)，滿足 ≡1（mod）與 ≡ 0（mod）。

定義1（子群的定義） 設是群，是的一個非空子集。如果關于的運算也構成群，則稱為的一個子群，記作<。

定義2（循環(huán)群的定義） 若群之每元可寫為中某元的冪，就叫為循環(huán)群，記為 = {}，并叫為的生成元（或叫由元生成）。

定義3（群的同構定義） 設與是兩個群，是到的一一對應，使（） = （）·（），HO，

則稱為群到的一個同構映射，簡稱同構。并稱群與同構，記作：H敗？

定義4（特征子群的定義） 是的子群，如果H眨我獾氖粲詰淖醞谷海虺莆奶卣髯尤海親鱻I$I$。

定義5 稱群為群被群的擴張，如果是的正規(guī)子群，并且/H敗？

定義6 設是群的子群，如果存在的子群使 = ，并且∩ = 1，則稱為在中的補群。

定義7 設是群的子群，如果（Hg（），[：]）=1，則稱是的Hall子群。

2 引理

引理1 設是的正規(guī)子群（記作I$），（Hg（），Hg[/]）=1，則是的特征子群（記作I$I$）。

證：設Hg（）= ，Hg（） = ，則Hg（） = 。因為（Hg（）， Hg[/]）=1，所以有（）=1，對HO，有，屬于之自同構群（記作（） ），使 = ，因Hg（） = Hg（），故Hg（）∣，所以有（Hg（），）= 1。有以為生成元的循環(huán)群{}，因為（Hg） = = Hg（）所以有也是循環(huán)群{}的一個生成元，即有{} = {}。又 = H！ H！ {} = {}H？H！ H！ H鍘9蕗I$I$。

引理2 設是的正規(guī)Hall子群，則在中有補群。

證：參見文獻[2]112頁。

引理3 設，是同余方程 ≡ （mod）（，為奇素數(shù)且<）在的模單位群（記作，且）中的兩個根 = {}， = = 1， = ， = {}， = = 1， = ，則H？H# {} = {}。

證：（ H！ ）設是到上的一個同構映射，因中階元為（（，） = 1），故可設 = ， = 。則一方面 = = = ，另一方面 = = = = ，故 = H！ ≡ （mod） H！ ≡ （mod） H！ {}H調}。同理對稱的可證得{}H調}，故 {} = {}。

（ G？）若{} = {}，由于中滿足 ≡ 1（mod）的解是中的1，2，，2階元，

①若Hg（） = Hg（） = 1，則顯然有 = ；

②若Hg（） = Hg（） = 2， ≡ （mod）時，則顯然有 = ；

③若Hg（） = Hg（） = ， ≡ （mod）時，顯然有 = ；

④若Hg（） = Hg（） = 2， ≡ （mod）時，顯然有 = ；

故設 ≠ （mod）， ≡ （mod）（1<<）時，

若是奇數(shù)，定義：→，→，若是偶數(shù)，定義：→，→，易證均為同構映射，故有H敗？

引理4 階為2的群不是單群。

證：設Hg（） = 2，是的一個子群，且Hg（） = 。對任意的，若，則 = = 。若，則與是的兩個不同的陪集。因為[：] = = 2，說明在中的陪集的個數(shù)為2，所以 = ∪，同理有 = ∪。因為∩ = HT，而H？= ∪，所以H眨磧衻H鍘K？= ，因此I$。顯然不是的單位元群，且≠，所以階為2的群不是單群。

3 主要結論

設群的階Hg（） = 2，<為奇素數(shù)，由引理4可知不是單群且有一個階為的正規(guī)子群，即I$且Hg（） = 。設 = {}是的一個Sylow p-子群，由Sylow定理知的Sylow p-子群個數(shù) = 1，。因<，故≠， = 1。所以I$，又（Hg（）， Hg（/）） = （， ） = 1，由引理1知I$I$，又I$，故I$，即只有唯一一個Sylow p-子群，又（Hg（）， Hg（）） = （， 2） = 1，故是的正規(guī)Hall子群，由引理2知，在中有補群，即存在的子群滿足 = ，∩ = 1，顯然Hg（） = 2，由文獻[1]之284頁知道有二型，故下面分兩種情況討論。

3.1 當 = {}， = 1時的構造

此時，為循環(huán)群 = {}被階循環(huán)群的擴張。取中階為的一元，于是 = + = {，}，據(jù)定義關系 = = 1， = ，式中 = 1（mod）（霍爾特定理），由數(shù)論知識， = 1（mod）在中有個解：，…，，其中 ≡ （mod）（1≤≤）， = （2，（）），（） = ，為模的一個原根。由引理3可得

當 = 1時，則有（2，（）） = 1，又因為，是奇素數(shù)，所以有（2， ） = 1，即有為奇數(shù)，即為偶數(shù)，與題設是奇素數(shù)相矛盾，所以得出≠1。

當 = 時，則有（2， （）） = ，又因為<為奇素數(shù)，所以有（2， ） = ，即有不被2整除，所以有為奇數(shù)，即為偶數(shù)，與題設是奇素數(shù)相矛盾，所以得出≠。

3.1.1 當 = 2時， ≡ 1， 1（mod），故此時有2型：

） = {，}， = = 1， = ，即 H？。

） = {，}， = = 1， = 。

3.1.2 當 = 2時， ≡ （mod）， =1，2，…，2，的階只可能是1，2，，2，此時有4型：），）和

） = {，}， = = 1， = 。

） = {，}， = = 1， = 。

3.2 當 = {，}， = = 1， = 時群的構造

此時，取中階之一元，則 = + = {，，}定義關系是 = = 1， = ，以及 = 1， = ， = ，式中，（），因 = = 1，故 = = 1。

若≠1，由 = H！ = = （） = （） = = = H！ H！ H！ 1 H！ Hg（） = 2，又 = 1，故2/，與為奇素數(shù)矛盾，所以 = 1。

當 = 2，2時 = 或， = 1，故此時有2型：

） = {，，}， = = = 1， = ， = ， = 。

） = {，，}， = = = 1， = ， = ， = 。

綜上所得：

定理 設 = （2，（）），則Sylow p-子群均是循環(huán)群的2（<為奇素數(shù)）階群的構造：

當 = 2時，有4型：） ） ） ）；

當 = 2時，有6型：） ） ） ） ） ）。

4 結束語

本文利用循環(huán)群的擴張和構造理論，構造出階群，得到兩類共十型的同構分類。在寫這篇文章的過程中，我進一步鞏固了群、子群、正規(guī)子群、循環(huán)群和同余式等基本知識，同時也認識了很多以前沒有見過的數(shù)學符號，并自行學習了單群、自同構群、特征子群等概念，而且還大致了解了群的擴張理論和群的構造方法。文中我所做的工作有利用前人的思路和前人所做的論文進行整合證明出結論，并對一些小地方進行了細化。

參考文獻

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