數學建模在課標課程教學中的實踐

朱振榮

把“數學活動”、“數學實驗”、“數學探究”、“數學建模”作為研究性學習的重要形式，是課標課程改革的靚點.它旨在豐富學生的數學學習方式，倡導自主探究、獨立思考、動手實踐、合作學習、閱讀自學等，并將其納入課程計劃.為此，《普通高中數學課程標準（實驗）》明確規定：高中數學課程應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，開展“數學建模”的學習活動.

用數學語言對實際現象進行描述和解釋的過程就是構建數學模型（簡稱數學建模）.我們可以用下面的流程圖加以說明：

這里，ABC→→是學生的難點，CD→學生相對熟悉，DE→是發現錯誤、調整偏差的過程，而EA→則是不可忽略的，數學建模解決實際問題往往不是一蹴而就，有時需要修改重構模型，有時要從構建的多個模型中進行遴選優化.數學建模的各個環節都有著不同的思維訓練的價值.因此在教學設計時應充分發揮其功能.

1 精選例題，創設情境

研讀教材，精選課本例題，創設情境，開展數學建模.宋朝理學家朱熹曾說過：“觀書，先須熟讀，使其言皆若出于吾之口；繼而精思，使其若出于吾之心；然后有所得耳.”這就是說教師要通過研讀教材，理解課標課程的數學教學理念，把數學知識技能、數學思考方法、數學實際應用、數學文化價值的教學有機地融為一體.

例1 樹頂A離地面a米，樹上另有一點B離地面b米，在地面的C處看此樹上的A，B兩點，離此樹多遠時視角最大？

這是高中課標課程實驗教科書上的一道習題（此處解答略）.該問題反映了實際生活中常見的最大視角問題，也可以作為數學建模教學的基本背景.

問題1 足球比賽場地寬m米，球門寬n米，在比賽中攻方球員帶球沿邊線推進，如圖1所示.試問該球員在距守方底線多遠處起腳射門，能使命中角度最大？

圖1 足球攻方射門的數學模型

問題2 國際曲棍球比賽標準場地的長為91.4m，寬為55m.球門寬AB 3.66m，如圖2所示.射門必須在射門弧（由弧？PQ、線段QR和弧？RL圍成）內進行.其中，？PQ是以一側門柱A為圓心，以14.63m為半徑的1/4圓，同樣，？RL是以另一側門柱B為圓心，以14.63m為半徑的1/4圓.請問，曲棍球場上哪些點屬于射門最佳點，即命中率較高的點？哪些點命中率相同？

圖3 虛擬出的兩種物質的溶解度與溫度關系的函數圖象

從化學的角度，我們還可以用勒夏特列原理對上述解答給出解釋.該原理指出：如果改變影響平衡的條件之一（如溫度、壓強以及參加反應的化學物質的濃度），平衡將向著能夠減弱這種改變的方向移動.當物質M，N的水溶液處于飽和狀態時，可以視為在一定溫度下的一種平衡.當溫度升高（或降低）時，平衡將向能夠減弱這種改變的方向移動，即飽和溶液的飽和程度降低（或升高）.因此，物質M的溶解度降低（小于10克），物質N的溶解度升高（大于10克），問題的答案不言而喻是B.

化學中的勒夏特列原理與物理學中的楞次定律何其相似.楞次定律指出，閉合電路中感應電流的方向，總是使得它激發的磁場來阻礙引起感應電流的磁通量的變化（簡言之，來時拒，去時留）.“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”.上述的原理和定律的數學模型就是圖象的平移.大家熟悉三角函數平移的法則：“左加右減，上加下減”.這個法則指出：當改變（ ）yf x=中x，y的值時，圖象向著能夠減弱這種改變的方向移動.具體地說，對于（ ）yf x=，在x上加上或者減去幾個單位，它的圖象就沿著x軸向左（減小的方向）或向右（增大的方向）平移幾個單位；同理，在y上加上或者減去幾個單位，它的圖象就沿著y軸向下（減少的方向）或向上（增大的方向）平移幾個單位，反之亦然.

課標課程十分重視學科間縱橫聯系，教材編寫者的良苦用心，旨在提醒教師要探究數學與其他學科之間千絲萬縷的聯系，各學科都在用不同的方式言說著同一個大千世界，數學建模是它們之間溝通的橋梁之一.當我們面對現實生活中 “只緣身在此山中”的困惑時，數學建模給我們帶來“柳暗花明又一村”的頓悟，大有“吹盡黃沙始見金”的發現和“千樹萬樹梨花開”的驚喜.

3 重在理解，靈活運用

用數學建模解決實際問題對學生的閱讀理解能力有較高的要求.在精細閱讀的基礎上，要通過觀察、分析、篩選、區分獲得的信息，洞察實際問題的結構，準確、恰當地將文字語言向數學語言轉化.這種轉化過程就是把實際問題描述得具體、直白、但不簡約.有些會引出歧義的文字，翻譯成指意簡明、書寫簡練、含義深刻的符號語言，或者是表象直觀、易于思辨的圖形語言.這個過程就是靈活運用數學知識技能、數學思想方法建立可并求解的數學模型的過程.

例3 通過采購經理指數（簡稱PMI）可以及時監測和預測經濟與商業活動中出現的問題和趨勢，使政府對宏觀經濟有更好的把握.一般而言，PMI在50以上，反映經濟總體擴張；接近60時，有經濟過熱的風險；低于50，反映經濟衰退；接近40時，有經濟蕭條的憂慮.

從國家統計局的經濟統計分析資料，截取我國2000年1月份到10月份的PMI數據如下表：

試根據以上數據預測當年我們11月份的PMI.

分析 本題以實際問題為載體，給出新信息情境，意在培養學生的閱讀理解能力和知識遷移能力.

首先，要引導學生將表格中直觀數據的變化規律刻畫出來，其基本的數學模型就是函數.其次，結合教材相關內容，回顧建立函數模型解決實際問題的六個基本步驟，用手工描點或借助excel在電腦上畫出散點圖.再次，引導學生觀察和討論散點圖，尋找擬合程度最佳的函數.在備選的對數函數、冪函數、分段函數中，根據散點變化規律和數據增長比較平緩的特點，以對數函數模型為首選.第四，在應用待定系數法確定對數函數表達式時，會隨著選取的散點不同而不同.經過甄別，在計算機的幫助下，取3.8ln46.6yx=+來刻畫PMI與月份x的函數關系.

根據函數模型，可以預測11月份的PMI.在分析經過幾個月是否會出現經濟過熱的現象時，還要借助二分法求解方程近似解的方法.

可以看出，在建立實際問題的數學模型的過程中，首先要突破的關鍵是將描述現實問題的文字語言翻譯成數學語言.也不難發現，在問題解決過程中，教材的知識點進一步顯性化、結構化、系統化，有利于學生新知識網絡的意義建構.

例4 “今日說法”欄目報道，某公司利用傳銷手段詐騙投資人，謊稱：“每位投資者投資1股460元，買一件商品（價值10元），半年后可得到540元的回報.每一期到期限后若繼續投資，投資股數是上一期的2倍.”

某退休工人開始投資1股，以后不斷地追加投資.但在投資到32股時，被告知該公司破產.

試問：（1）假如該退休工人在前一期停止投資，他的投資回報率是多少？（2）傳銷最終要失敗的，試估算該退休工人損失的金額.

分析 這是一個揭露傳銷危害性的問題，“今日說法”的編輯以通俗直白簡約的語言描述了傳銷詐騙的事實.在構建數學模型時，要深度剖析，通過表格將數據顯性化.投資1股460元，半年后可得540元.回報率 =（回報金額—投資額）/投資額.因此投資1股的回報率是（540-450）/450×100%=20%.由于每一期投資的股數是上一期投資股數的2倍，因此我們可以算出從第二期開始以后各期追加的投資額和回報率.如下表：

分析表中數據，在不斷注資投入時，期末回報率顯然可以刺激獲利心態，但回報率的增幅卻在逐漸減小.如果退休工人在投資16股時果斷中止投資且公司能如約兌現，尚可得高回報率47.7%.但是高回報率必有高風險性和高欺騙性，在傳銷人員游說和投資心理驅動下，到第6期時，退休工人累計投資達到11610元，公司倒閉人去樓空，11610元血本無歸損失慘重，教訓深刻，發人警醒.

從構建數學模型解決實際問題的過程看，期間經歷的閱讀理解、推理演算、抽象思維等數學活動，實質上是現實問題的文字語言與數學語言各種形態間的轉換互譯的過程，用合理、準確、簡潔的數學語言描述現實問題的內容是數學建模的關鍵，也為解決問題的數學思維鋪平道路.因此，在數學建模教學中，傳統優勢要弘揚，教學理念要更新，思想認識要到位，日常教學要滲透，有效訓練要落實.

數學模型是數學思維的支撐點，也是數學知識的附著點，也是數學應用的突破點.數學模型的建構過程是遵循先直觀后邏輯的順序進行的，要用邏輯檢驗、駕馭數學直覺.數學教學中，對教材中數學模型的理解與建構要有足夠的重視，它不僅承載著數學信息，也是數學應用的基本途徑.因此，我們要結合學生認知水平循序漸進地開展數學模型的理解、建構與應用的教學活動.學生有比較豐富的基礎模型作為支撐，才能在合情推理、邏輯推理中構建解決實際問題的數學模型.作為課改的實踐者，我們要糾正認識上的偏頗，精心設計數學建模活動，豐富學生的學習方式，使之成為有意義的接受式學習的補充，成為改變學生學習方式的重要途徑.

[2]張思明.中學數學建模教學的實踐與認識.數學通報，1996（6）：10[3]單墫.解題研究.上海：教育出版社，2007

[4]劉向征.曲棍球場上的數學.中學數學教學參考，2009（6）：33

[5]徐章韜.從物理角度看三角函數圖象中的有關問題.中學數學教學參考，2009（4）：14-15

[6]吳增生.數學模型理解與建構的心理機制及其教育啟示.基礎教育論壇，2010（1）：3-7